浅谈化归思想在小学数学教学的应用

章子扬

(江苏省昆山市花桥徐公桥小学 江苏 昆山 215300)

化归思想，实质是把未知的问题转化为已知问题亦或是把复杂问题转化为简单问题来解决的基本数学思想。可以说，我们数学解题的过程就是转化的过程，化归思想既是一种技巧更是一种能力，它贯穿了我们学习的始终。

匈牙利的著名数学家P?罗莎曾在她的《无穷的玩艺》中对“化归法”作过这样生动的比拟：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在你的任务是烧水，应当怎样去做？”。只要有一点生活经验的人就会知道正确的回答是：“在水壶中倒上水，点燃煤气，然后把水壶放上煤气灶。”重点是罗莎的第二个问题：“那么假设所有的条件都不变，只是水壶中已有了足量的水，这时你应该怎么做？”。对这样微不足道的变式，人们的回答往往是：“点燃煤气，然后把壶放到煤气灶上。”但是罗莎认为这并不是最佳答案，因为“只有物理学家才这样做，而数学家会倒去壶中的水，并且声称我已经把后一个问题化归成前面的问题了。”这回答不免有些夸张，但它却形象地道出了化归思想的本质特征：比起去追溯一些熟识的结果，我们情愿后退一步，回归到原本的问题上。相比其他学者，数学家更擅长用化归的方法考虑和解决问题[1]。尽管在某些情况下，化归显得有些赘余，但是它将新问题化为已知的问题这种方式，显然更有逻辑性和严密性。

1.研究化归思想是我国数学课程标准的要求

在《义务教育数学课程标准(2011年版)》中明确提出了“引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验[2]”的“四基”概念。因此在教学中渗透数学的思想方法，教育学生用数学思维解决问题也是素质教育的重要内容。那么研究化归思想在义务教育学段的应用就不失为发展教育、优化教学的必然要求了。

2.化归思想的重要作用

化归思想的渗透有助于完整的知识体系建构。化归思想作为数学的核心思想之一贯穿于义务教育教材的始终，学生在学习过程中会逐渐认识到新知识与旧知识的联系，并且学会用化归思想整理所学知识，在头脑中逐渐形成结构严谨的知识体网络。

3.化归思想以及相关理论

3.1 笛卡尔坐标系。笛卡尔创建坐标系，创建了解析几何学科，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。用代数表示几何本身就是一种化归方法。这说明化归思想在历史上同样有十分重要，对数学的发展以及人类文明的进步有着至关重要的作用。

3.2 学习迁移理论。学习迁移是指一种学习对另一种学习的影响，或习得的经验对完成其他活动的影响。这种迁移作用是双向的，被广泛应用于知识、技能、行为规范等学习过程中。正因为这种迁移作用，学生才能将学到的数学知识应用到解题中。学习迁移理论最早开始于18世纪中期，从早期到现代迁移理论，有桑代克的“共同要素说”、贾德的“概括化理论”、格式塔心理学的“关系转换说”直到现代迁移理论的“类比迁移理论”等。桑代克的“共同要素说”认为相同要素，即相同的刺激与反应的联结，相同联结越多，迁移作用越大，反之就越少[3]。后来相同要素被改为共同要素，即认为两情境中有共同成分时可以产生迁移。因此要求学生在解题过程中广泛联想，将新问题与已知问题相联系，而教师应当努力帮助学生建立起这种联系。

4.化归的原则

化归过程中应遵循以下三条基本原则：

4.1 化归目标简单化原则。将复杂问题简单化处理。

4.2 熟悉化原则。将陌生的、较难的问题转化为认知结构中已知的问题，通过迁移已有知识来解决问题。

4.3 直观化原则。对于一些抽象的问题，孩子们会一下子找不出其中的数量关系。但在老师的引导下，学生通过化归的方法将抽象的问题用直观的方法表示，转化为具体问题轻松找出解题方法。

5.化归思想在学生数学解题中的运用

5.1 简单化原则的应用。

计算：0.125×6.25×1.6×0.8

本体原来是一个比较复杂的小数乘法，按照运算法则死算的话，中间得数会非常复杂，极易出现计算错误。但是注意到这几个小数都是特殊值，我们可以通过将小数转化为分数进行计算。将小数转化为分数后不难发现，发现这些数都能通过约分来消去，最终得数1。

=1

5.2 熟悉化原则的应用。

例题：求下面两个多边形面积。

学生已经学习了三角形内角和相关知识，接下来便是多边形的内角和求解问题。乍一看多边形面积似乎无法求解，但是如果在多边形内部添加如图所示的辅助线，将多边形通过化归法将多边形分成多个三角形，那么问题的答案就显而易见了。通过这样的方法，将陌生的问题转化为已经解答过的旧问题，将复杂的求多边形内角和转化为简单的求多个三角形的内角和。四边形内角和等于两个三角形的内角和，五边形内角和等于三个三角形内角和。

5.3 直观化原则的应用。小宁和小春共有邮票72枚，小春比小宁多12枚。问小春小宁各有邮票多少枚？

分析：学生遇到这类复杂问题一下子很难看出其中的数量关系，但是通过引导使用画线段图的方法则能使数据直观化，题中关系变的清晰起来。利用线段图可以一目了然的看出，将小春邮票数减去12就是小宁邮票数的两倍，同样的给小宁加12就是小春邮票数的两倍。用这样的方法先算出其中一人的邮票数量，另一人的邮票数量也就迎刃而解。

根据两种不同思路，我们有两种解法。

解法一：72-12=60(枚)

小宁：60÷2=30(枚)

小春：30+12=42(枚)

答：小宁有邮票30枚，小春有邮票42枚。

解法二：72+12=84(枚)

小春：84÷2=42(枚)

小宁：42-12=30(枚)

答：小宁有邮票30枚，小春有邮票42枚。

5.4 化归思想有利于学生养成良好的思维习惯。数学是一门思考性极强的学科，在日常数学教学中，教师应当鼓励学生积极思考、独立思考，培养学生独立思考的良好思维品质。化归思想本质上是将新问题转化为已知的旧问题，所以在教学中渗透数学思想有利于学生独立思考时越过障碍这点毋庸置疑，使学生在解题中应用化归思想，能使学生更好的适应未来的发展需要。在化归思想的作用下，学生的解题能力将会得到进一步的提高。

5.5 化归思想有利于提高学生解题思路的灵活性。数学思维的灵活性通常体现在学生的日常学习思维中。无论是教学还是解题，学生总会遇到各式各样的问题，而化归思想就是帮助学生调整原有方法的思考方向一块方向盘，让已经学习的数学知识发生各种各样的迁移，使学生的思维灵活性更上一层楼。

例题：小明吃早饭时看到时钟分针和时针有一定夹角，吃完早饭后再看时钟发现时针与分针夹角不变。问小明吃早饭最快花了多少时间？

分析：这道题设中是时钟问题，用从问题想起的通常方法看上去很难解决，但是通过化归我们可以发现其实可以把这道题看成追赶问题。要求夹角不变的最短时间实际上就是分针比时针正好多走360°的时间，而时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°，那么根据数量关系式可以设时间为t分钟并列出简易方程：6t-0.5t=360解得时间是72/11分钟。

5.6 化归思想在小学数学教材的解题中的应用。

5.6.1 在“数与代数”板块的体现。在“数与代数”模块中，化归思想主要有三年级上“分数的初步认识”、五年级上“小数加减法”、六年级上“分数除法”等。小学生在学习新知识时一般从具体的生活经验以及过去已经学习的旧知识入手，利用这些知识形成新知识。这是知识的同化，化归正是其中的核心思想。

5.6.2 在数的运算方面的体现。在学习分数除法时，有如下例题：量杯中有果汁五分之四升，平均分给两个小朋友问每人分得多少。

题中当然涉及到学生学习的旧知识中的除法。将五分之四除以二是利用既学知识的常规解法，书中给出通过每人分得一杯果汁的二分之一也能解决问题。然后在学生解决完第一题后抛出下一个问题：分给三个小朋友喝每人分得多少？这里发现4÷3除不尽，通过引导学生的计算让学生发现除法可以转化为乘除数的倒数，将除法计算化归为乘法计算，将不熟悉的分数除法化归为熟悉的分数乘法的知识，化生为熟，很好的体现了化归思想的应用。

学生在学习小数乘法时，同样也利用了化归思想。书中利用情境导入提出买3千克0.8元一千克的西瓜要多少元即0.8×3等于几的问题。利用旧知识学生可以知道既可以用小数加法求解，也能将元转化为角即8×3来解题。之后便将这两种知识结合求0.8×3的竖式解法。通过旧知识的迁移，让学生发现小数乘法和整数乘法的共同点和不同点，让学生知道小数乘法比整数乘法多一个点小数点的过程。学生在之后进行小数乘法运算时，同样也是将小数乘法先化归为整数乘法然后点上小数点。可见化归思想是深入到解题的根子里去的。

5.6.3 在“图形与几何”中的体现。化归思想同样体现在图形与几何中[4]。在五年级下的“解决问题的策略”、同样是五年级下的“圆的认识”相关章节以及“圆柱的侧面积表面积和体积”中都有化归思想的渗透。化归思想在其中主要是起到化繁为简、降维以及体积的计算等方面。

例题：比较图形面积大小。

分析：五年级的学生们已经学习了数格子求面积和长方形面积。而图中的图形较为复杂，对学生来说较难通过计算和数方格的方式比较面积。此时通过教师的引导，让学生发现可以通过割补将复杂图形化归成已经学过的长方形，从而轻松求出面积进行比较。最终发现两个图形都能够转化成同样大小的长方形。长方形面积与原图形相等，所以两图形面积相等。

在六年级下册“圆柱的表面积”中对圆柱表面积中也使用了化归法。

例题：一种圆柱形罐头的底面直径是11厘米，高是15厘米。它的侧面有一张商标纸，商标值得面积大约是多少平方厘米？

从生活常识入手，通过动手操作的方法让学生理解到圆柱侧面能够展开成一个长方形那么测面积大小就是这个长方形的面积大小，用化曲为直的方法巧妙地引出圆柱的侧面积。在学生的探索之后顺理成章的引入圆柱测面积的计算方法，这样的引入可以说是非常自然得体了。之后学生就会发现长方形的长就是圆柱的底面周长，长方形的宽就是圆柱的高。通过化归的思想不仅教会学生圆柱侧面积的求法，更教会学生“化曲为直”的化归方法，让学生在解题中拥有更多方法[5]，解题能力更上一个新的台阶。

6.结论

在日常的数学教学中，学生分析问题和解决问题的能力不断提高，换言之，学生的知识掌握得越来越牢固，更便于教师达成教学目标。想要学生的解题能力得到提高，这当然对教师也提出了更高的要求。教师在教学中应当将掌握知识和渗透化归思想相结合，将化归思想的培养整合进教学目标；教师应当深挖教材，思考如何将化归思想结合进日常教学之中；教师还应当在鼓励学生解题时深入分析数量关系，看能怎样将问题转化得更简单。我们要努力培养学生在解题中应用化归思想，让学生遇到一些难题时将其转化，从问题的另一方面分析问题，将复杂问题化归为一个或多个简单的、已知的数学问题，最终获得答案。教学中教师应当指明使用的化归方法，帮助学生理解化归在其中的作用，以便于学生在以后的解题中运用化归法。