小学数学符号思维的培养策略

李金灵

(湖州师范学院教师教育学院 浙江 湖州 313000)

1.培养数学符号思维的重要性

罗素在《西方哲学史》中对符号进行了描述，他说道：“数学的真理，正如柏拉图所说，乃是与知觉无关的；它是非常奇特的一种真理，并且仅只涉及符号。”[2]由此可见，数学符号可谓在数学中发挥了重要的作用。数学离不开数学符号，数学的形成和发展都与符号息息相关。学生在学习数学的道路上会不断接触数学符号，理解数学符号，培养符号思维是十分必要的。第一，数学符号具有高度的概括性和抽象性。符号是信息高度凝练的产物，数学符号亦是如此。利用一个或几个数学符号便能表示一系列复杂的数学信息，每个数学符号都是不同数学信息高度概括的产物。第二，数学符号在表征数学信息和数学关系中起到了关键的作用。每一个数学符号包含着特定的含义，传达着不同的数学信息，数学信息和数学关系的呈现依靠数学符号来传递。学生在学习数学的道路中会遇到诸多数学符号，它们贯穿于数学学习的整个过程，在数与代数领域、空间与图形领域得到了广泛的应用。第三，数学符号是一种国际化语言。由于数学符号本身的国际通用性，来自不同国家和地区的人们都能理解它的含义，获取数学符号中传递的意思。即使语言背景不同，对数学符号的认知也是相同的。第四，数学学习需要培养学生的符号思维。理解不同符号的意义与作用，根据符号理解数与数之间的关系，运用符号解决一系列问题能够帮助学生在数学学习中培养良好的数学符号思维。

在义务教育阶段，小学数学学习的中包含了十大核心思维，符号意识便是其中之一。《义务教育数学课程标准(2011年版)》中指出要注重发展学生的符号意识，具体包括：能理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律；能使用符号进行运算和推理，得到一般性的结论[3]。建立符号意识，培养符号思维不仅有助于学生理解符号的深层次意义，而且锻炼了数学表达与思考的能力，培养了学生的抽象概括能力。但是在教学中，教师往往只意识到教授数学符号的含义和作用，却忽略了符号思维的培养。

2.小学数学教材中符号的分类与特点

2.1 小学数学符号的分类。数学符号内容丰富，邵光华根据其表示的意义将符号分为六类，分别为元素符号、运算符号、关系符号、结合符号、约定符号、缩记符号[4]，每一类符号都有着不同的含义，在数学学习中起到了不同的作用。

2.1.1 元素符号。元素符号常用于表示数或几何图形。在小学阶段，出现的元素符号主要有阿拉伯数字，表示数的字母，表示常数的字母，表示几何图形或线段、直线的字母。这些元素符号起到了直观地、简洁地呈现数与几何图形的作用，因而广泛地应用于数学信息的表达。

2.1.2 运算符号。运算符号指进行数学运算时所使用的一系列符号。小学阶段常用的运算符号包括“+”、“-”、“×”、“÷”四种，运算符号连接了数字之间的关系，在列式计算中起到了连结数字的作用，在解决问题中起到了将数学信息用算式的方式呈现的作用。

2.1.3 关系符号。关系符号是一类表示数学对象之间关系的符号。用于数值大小比较的数学符号有“=”、“≈”、“<”、“>”，用于表示位置关系的数学符号有“∥”、“⊥”，(1，2)能用两个数判断位置关系，含有未知数的等式可以表示数与数之间的关系。

2.1.4 结合符号。结合符号是一类能改变运算顺序的符号，表示将某些数学对象先进行结合后运算的符号。小学阶段出现的结合符号是小括号，用于在算式中改变计算顺序。有了小括号的帮助，学生在列式计算时可以进行简便计算，提高学生的运算速度和运算能力。

2.1.5 约定符号。约定符号规定了某些符号表示的特定含义。例如长度单位有“mm”、“cm”、“dm”、“m”、“km”，面积单位有“cm2”、“dm2”、“m2”、“km2”，体积单位有“cm3”、“dm3”、“m3”，质量单位有“g”、“kg”、“t”，这些符号都是用于表示特定的含义。

2.1.6 缩记符号。缩记符号表示某些符号的缩写形式，也是符号的简便表示方法。小学阶段常见的缩记符号主要有两类，一类是循环小数的表示，用点表示小数点后面数字的循环；另一类是乘号的省略形式，6和a相乘可以表示为6a，乘号可以省略不写。

笔者根据以上六类符号的分类依据，对人教版小学数学一年级至六年级中常出现的符号进行了整理与分类，具体见表1。

表1 人教版小学数学符号表

2.2 小学数学符号的特点。第一，数学符号具有较高的概括性，是一种具有高度抽象性的数学语言。数学符号的高度概括性也决定了它的简洁性，用言语表示的一句话往往只需要使用一个或者几个符号便能简便地表示出来。第二，数学符号具有多样性。数学符号根据不同的分类依据可分为不同的类别，除了本文列举的一种分类方法之外，还可以选取不同的标准进行分类，分类标准与方法是多样的。此外，同一个数学符号也具有多样性，即一个符号在不同情况中的拥有不同的含义。第三，数学符号具有抽象性。数学符号是在数学史的演变中逐渐形成的，许多符号来自拉丁文与希腊字母，数学符号的形状大多与它具体指代的含义无直观形象的联系。在小学阶段，学生的直观思维程度较高，抽象思维程度较低，因而数学符号对于小学生来说具有一定的抽象性。

3.培养小学生数学符号思维的策略

3.1 体会数学符号的优越性和符号意义的多样性。学生在学习之初对符号的理解为汉字的替代物，并没有理解符号的作用，体会它的优越性。数学符号蕴含着丰富的数学信息，是具有一定概括性和普遍适用性的数学信息的抽象产物。正确理解符号概念有助于把握符号的本质内涵，理清数量之间的关系。数学注重于理解，教学的目的并非让学生一字不落地复述出每一个符号的含义与作用，而是要理解它的本质内涵、适用条件等。教师需要引导学生在数学学习中意识到符号的优越性，体会符号的高度概括性和凝练性。当学生体会到数学符号的作用时，便能激发并保持学生对符号探索的积极性，体会符号中蕴含的数学思维。

在大多数小学生的认知中，一种符号只包含了一种意义，是一一对应的，事实上并非如此。阿拉伯数字0～9是小学生最先接触到的数学符号，在学生的认知中，数字即物品的数量。但并非如此，数字不仅表示事物的数量，也可以用来指代具体的事物。例如数字“1”，既可以表示某个物品的数量为1，也可以用来指代一个物品或一堆物品。在分数中，“1”指代的是单位“1”，也就是学生在部分与整体意义中理解的整体。由此可见，同一种符号在不同的情境中表达着不同的意义，传递着不同的信息。符号的含义并非具有单一性，在不同的情境中包含着不同的含义，需要根据具体的情境进行判断。

3.2 考虑学生认知发展水平，采取合适的教学语言。不同学段的学生拥有不同的认知发展水平，随着学段的上升，学生的认知水平不断得到发展。教师应根据学生的实际情况，适当地调整教学语言，在教学中选择合适的教学语言促进学生符号思维的发展，这是十分重要的。低年级的学生认知发展水平处于起步的阶段，教师在教学过程中应采用通俗易懂的语言去解释符号的含义，在具体例子的解释中促进低年级学生理解数学符号的意义与作用。随着年级的增长，学生认知发展到了一定的水平，教师应使用概括性较高的语言去描述和概括符号的含义。除了教授之外，教师还可以引导学生自主对数学符号进行主动探究与总结，在探究中理解符号的意义与作用，在实践中体会符号表示的数量关系。

3.3 教学遵循循序渐进性，引导学生经历数学符号的形成过程。符号思维的培养要遵循循序渐进性，在逐步的探究中得到发展。实践是培养符号思维的重要途径之一，符号思维的形成与实践息息相关。教师应在教学中寻找合适的时机引导学生对符号进行探究，在探索中形成符号意识，发展符号思维。具有探索性的例题是帮助学生培养符号思维的载体，例如一些探索规律题“找规律，填一填：1.1×1.1=，11.1×11.1=，111.1×111.1=，1111.1×1111.1=，11111.1×11111.1=......”针对该类型的探究题，学生在观察中可以发现其中的规律，再用符号表示规律并且进行验证。首先，学生通过观察可以发现算式中乘数的规律，即每个数位上的数字都是1，并且算式依次增加了一个数位。其次，引导学生尝试运用符号表示算式中的规律，得出一般结论。最后，教师可以引导学生验证得到的规律是否成立，进一步体会符号的作用与意义。在这三个环节中，教师应不断引导学生进行探究，实现从直观算式到抽象规律的形成过程。学生在探究中经历了符号的作用和意义，才能促进学生符号思维的发展，形成用符号解决问题的意识。

3.4 创设问题情境，在协作中共建数学符号思维。问题情境的创设有利于激发学生的认知冲突，学生带着疑问中融入数学探索。教师在此基础上阐述与明确探索的主题，引导学生进行思考，建构并阐述自己的观点，这是学生自主建构知识的过程。学生的学习包括个体认知和社会认知，在教学中教师往往会忽略学生之间的协作建构而注重学生与知识之间的个体建构，即在教学中忽略了社会建构的作用。社会建构是促进学生知识理解的重要途径，在社会协作中，学生在协作学习中进行社会化互动，即通过协作交流共同探索符号的意义，理解符号表示的数量关系。学生在个体建构的过程中产生对数学符号的理解和疑问，社会建构利于学生呈现自己的观点与不足，学生之间可针对彼此的观点进行补充或提出质疑，促进认知冲突的解决，最终促进符号思维的发展。该策略的目的是利用协作对话的交互作用，使学生持续改进自己对于符号的观点，从而实现学习的深层次的转变，促进符号思维的发展。