N型PM函数的非单调高度

吴 馗, 李 林, 朱 红, 陈嘉怡

(嘉兴学院 数据科学学院, 浙江 嘉兴 314001)

给定正整数n和一个有限区间I⊂R,如果

fn(x)=F(x), ∀x∈I,

作为动力系统和函数方程理论的一个重要课题,迭代根问题已经在各个方面进行了深入的研究.除了早期Babbage[1]、Schröder[2]和Bödewadt[3]的工作外,Kuczma[4-5]于1961年对区间上的单调自映射迭代根给出非常漂亮的结果.值得一提的是,Kuczma等[6-7]又系统阐述了单调迭代根的构造理论.由于单调迭代根中的逐段定义法无法应用于非单调的情形,非单调迭代根一直是个非常复杂的问题.

1983年,张景中等[8]率先引入逐段单调函数(简称PM函数),并通过定义此类函数的非单调高度来刻画迭代根的存在性,提出特征区间的概念.具体地说,PM函数非单调高度为1的等价条件是该函数存在特征区间.在文献[9-14]中,针对函数的非单调高度,学者分别提出非单调高度等于1和大于1情形下迭代根的两个公开问题.随后,对于这2个公开问题,陆续取得一些进展.例如,孙太祥等[11,14]讨论了单位区间上所有N型和反N型函数的迭代根问题;Zhang等[15-16]得到一类保端点且非单调高度等于迭代指数的多峰映射不存在C0迭代根的充分条件.

最近,该结果又被推广到非保端点的情形,彻底解决迭代指数临界状态下的迭代根问题[17].Liu等[13]将迭代根分成“几乎递增”的τ1类与“几乎递减”的τ2类,并得到映射存在τ1类迭代根的充分必要条件.但要注意的是,上述的结果主要是处理非单调高度为有限值的情况.文献[17]证明高度为无穷的PM函数在所有PM函数集合中是稠密的.因此,讨论函数的非单调高度,特别是非单调高度为无穷的情况对研究PM函数的动力学性质至关重要.

为了证明的阐述更为清楚,本文将从N型PM函数(具有2个非单调点且单调区间由增到减再到增的PM函数)开始,充分利用该函数的非单调点在迭代下的变化规律,确定此类函数的非单调高度分类,从而刻画N型PM函数的动力学性质.

1 准备知识

下面给出逐段单调函数及其相关的概念.

定义 1.1[8-9](逐段单调函数的定义) 假设F:I→I是连续映射,c为I的内点.若F在c的某领域内严格单调,则称c为映射F的单调点;反之,称c为映射F的非单调点.进一步,称具有有限多个非单调点的连续函数F:I→I为严格逐段单调连续函数(简称PM函数),记PM(I,I)为区间I上所有连续自映射PM函数全体.

令F∈PM(I,I),定义S(F)为映射F的所有非单调点集合,N(F)为F的非单调点个数,得到下面有用的结论.

引理1.2[13]令函数

F:[a,b]→R,G:[p,q]→R

为连续函数,其中

p,q∈R,p

则有

S(G°F)=S(F)∪{c∈(a,b),F(c)∈S(G)}.

显然,PM函数在迭代下的非单调点个数是非减的.因此,可以定义PM函数的非单调高度.

定义 1.3[13](非单调高度的定义) 令

F∈PM(I,I),

H(F)为满足等式

N(Fk)=N(Fk+1)

的最小整数k,这里的k可以是个有限数,也可以是无穷,这样的H(F)称为F的非单调高度(或简称为高度).

根据非单调高度的定义,可以得到以下等价条件.

定义 1.4[9-10](特征区间的定义) 假设

H(F)=1,

那么F在某个区间[p,q]上是严格单调的,其中

p=minF,q=maxF.

适当地扩充F的单调区间,可以找到2个点

a′,b′∈I,a′

使得:

(i)a′和b′是非单调点或端点;

(ii) (a′,b′)内没有非单调点;

(iii) [a′,b′]⊃[p,q].

以上获得的唯一区间[a′,b′]被称为F的特征区间.

利用上述的非单调高度和特征区间的定义,讨论N型PM函数的高度分类.为了方便起见,不妨令I为单位区间,即I=[0,1],其中a和b为N型PM函数的2个非单调点.

首先,引入下列有用的结果.

定理 1.5[17]令函数

F∈PM(I,I),

若存在子区间I′⊆I使得

I′⊆F(I′)

且

S(F)∩intI′≠∅,

则有

H(F)=+∞.

特别地,当F(I)=I时,有

H(F)=+∞,

其中intI′表示I′的内部.

2 主要结果

利用特征区间的定义,容易得到下面的结果.

定理 2.1令函数

F∈PM(I,I),

当F(I)⊂[0,a]([a,b]或[b,1])时,则

H(F)=1.

事实上,这里F的特征区间为[a,b].

定理 2.2令函数

F∈PM(I,I),

若

F(0)=0,F(a)>a,

则有

H(F)=+∞.

证明当

F(0)=0,F(a)>a,

根据F的连续性可知,存在点c1∈(0,a)使得F(c1)=a,其中c1是F2的非单调点.由于

F(0)=0,F(c1)=a>c1,

于是存在点c2∈(0,c1)使得F(c2)=c1,其中c2是F3的非单调点.进而可推断出,存在一个严格单调递减的数列{cn},n=1,2,3,…使得因此,根据非单调高度的定义,可以得到

H(F)=+∞.

证毕.

推论 2.3令函数

F∈PM(I,I),

若

F(b)

则有

H(F)=+∞.

为了方便定理的阐述,令Fix(F)为F的所有不动点集合.

定理 2.4令函数

F∈PM(I,I),

若

F(a)≤a, 0∈Fix(F).

若

Fix(F)∩(b,1]≠∅,

则有

H(F)=+∞；

若

Fix(F)∩(b,1]=∅,

则有

H(F)∈[1,+∞).

证明1) 若Fix(F)∩(b,1]≠∅,由0∈Fix(F)以及定理1.5可得H(F)=+∞.

H(F)=1.

假设F(1)∈(a,1),则存在点c1∈(b,1]使得F(c1)=a.由F的连续性可知,存在点c2∈(c1,1]使得F(c2)=c1.这里可以得到一个单调递增数列{cn}.又因为F(1)<1,所以数列中元素仅有有限个,即H(F)为有限值,于是

H(F)∈[1,+∞).

证毕.

推论 2.5令函数

F∈PM(I,I),F(b)≥b, 1∈Fix(F),

若

Fix(F)∩[0,a)≠∅,

则有

H(F)=+∞；

若

Fix(F)∩[0,a)=∅,

则有

H(F)∈[1,+∞).

定理 2.6令函数

F∈PM(I,I),

其中

F(a)∈(0,a], F(b)∈[0,a).

若

Fix(F)∩(b,1]≠∅,

则有

H(F)=+∞；

若

Fix(F)∩(b,1]=∅,

则有

H(F)∈[1,+∞).

证明1) 若Fix(F)∩(b,1]≠∅,由于F(b)

2) 若Fix(F)∩(b,1]=∅,若F(1)≤a,F(I)⊂[0,a],由特征区间的定义直接得出

H(F)=1.

假设F(1)∈(a,1),则由介值性定理可知,存在点c1∈(b,1]使得F(c1)=a.又由F的连续性可知,存在点c2∈(c1,1]使得F(c2)=c1.这里产生了一个单调递增数列{cn},n=1,2,3,….因为F(1)<1,所以数列中元素仅有有限个,即得H(F)为有限值.于是,可知H(F)∈[1,+∞).证毕.

推论 2.7令函数

F∈PM(I,I),

其中

F(a)∈(a,b],F(b)∈[a,b).

若

{[0,a)∪(b,1]}∩Fix(F)≠∅,

则有

H(F)=+∞；

若

{[0,a)∪(b,1]}∩Fix(F)=∅,

则有

H(F)∈[1,+∞).

推论 2.8令函数

F∈PM(I,I),

其中

F(a)∈(b,1],F(b)∈[b,1).

若

{[0,a)∪(b,1]}∩Fix(F)≠∅,

则有

H(F)=+∞；

若

{[0,a)∪(b,1]}∩Fix(F)=∅,

则有

H(F)∈[1,+∞).

定理 2.9令函数F∈PM(I,I),其中

F(a)∈(a,b],F(b)∈[0,a).

若

{[0,a)∪(b,1]}∩Fix(F)≠∅,

则有

H(F)=+∞；

若

{[0,a)∪(b,1]}∩Fix(F)=∅,

进一步,令l为经过(a,F(a))和(F-1|[a,b](a),a)的直线,则当|kl|≤1时,有

H(F)∈[1,+∞);

当|kl|>1时,有

H(F)=+∞,

其中kl表示直线l的斜率.

证明1) 若{[0,a)∪(b,1]}∩Fix(F)≠∅,类似定理2.6的结论,可知H(F)=+∞；

2) 若{[0,a)∪(b,1]}∩Fix(F)=∅,因F(a)>a且F(b)

∃c∈(a,b),

使得F(c)=a.

若|kl|<1,则有F(a)-a

若|kl|=1,则有F(a)-a=c-a,即F(a)=c.因此,对∀x∈(a,b)都有F(x)≠c,即在区间(a,b)内通过迭代不存在异于a、b的非单调点产生,再由定理2.6以及推论2.8可得H(F)∈[1,+∞).

若|kl|>1,则有F(a)-a>c-a,即F(a)>c.又由F(c)=a

F(c2)=c1.

再根据

F(c1)=c>c2,F(c2)=c1

可知,存在点c3∈(c1,c2),使得

F(c3)=c2.

……

于是,这里分别产生了一个单调递增数列

{c2k+1},k=1,2,…

以及一个单调递减数列

{c2k},k=1,2,…

并且这2个数列都是收敛于F的不动点.因此,得到

H(F)=+∞.

证毕.

推论 2.10令函数

F∈PM(I,I),

{[0,a)∪(b,1]}∩Fix(F)≠∅,

则有

H(F)=+∞；

若

{[0,a)∪(b,1]}∩Fix(F)=∅,

H(F)∈[1,+∞);

当|kl|>1时,有

H(F)=+∞,

其中kl表示直线l的斜率.

定理 2.11令函数

F∈PM(I,I),

当

F(a)∈(b,1],F(b)∈[0,a)

时,有

H(F)=+∞.

证明由F(a)∈(b,1],F(b)∈[0,a)可知,存在点c,d∈(a,b)使得

F(c)=b,F(d)=a.

对于区间(a,d),记l为经过点(a,F(a))、(d,F(d))的直线.由F(a)∈(b,1],F(d)=a可知,|kl|>1,那么由推论2.10可知

H(F)=+∞.

证毕.

推论 2.12令函数

F∈PM(I,I),

当F(a)∈[b,1],F(b)∈[0,a](F(a)=b和F(b)=a不同时成立)时,则有

H(F)=+∞.

最后,F(a)∈(a,b]，F(b)∈[0,a)且F(0)∈(0,a)以及F(a)∈(b,1],F(b)∈[a,b)且F(1)∈(b,1)这2种情况都可以按照上述的方法讨论.

3 结论

从上述讨论可知,对N型PM函数(增→减→增)所有情况下的非单调高度已经给出完整的结果,如表1所示.利用此方法,反N型PM函数(减→增→减)的非单调高度情况也可以类似讨论.由于本文只讨论2个非单调点的情况,那么对于有限多个非单调点函数的非单调高度该如何去讨论呢？这将是接下来要继续研究的问题.

表 1 不同条件下的非单调高度

致谢国家级大学生创新创业训练计划项目(202110354039)对本文给予了资助，谨致谢意.