引理 1.1(Sadovskii不动点定理) 设E是Banach空间,U是E中的有界凸闭集,若T:U→U为凝聚映射,则T在U中有不动点.
定义 1.3[10]一个广义区间R的子集I,要么是一个区间([a,b],(a,b),(a,b],[a,b));一个点{a};或者是空集.
定义 1.4[10]如果I是一个广义区间,I的分割是包含在I中的广义区间的有限集P中,使得I中的每一个元素x正好位于P中的一个广义区间J中.
定义 1.5[10]设I是一个广义区间,设f:I→R是一个函数,P是I的一个分割,对于每一个J∈P,f是一个关于p的分段常数,f在J上是常数.
定义 1.6[10]设I是一个广义区间,函数f:I→R在I上称为分段常数,如果存在I的分割P,使得f是关于P的分段常数.
引理 1.2[12]设D⊂E有界时,则存在D的可数子集D0⊂D,使得
α(D)≤2α(D0).
引理 1.3[12]设B⊂C(J,E)有界且等度连续,则α(B(t))在J上连续,且
αC(B)=maxt∈JαC(B(t))=αC(B(J)).
引理 1.4[12]设B={un}⊂C(J,E)有界,则α(B(t))在J上可测,且
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2 主要结果
假设下列条件成立:
(H1) 设P={[0,T1],(T1,T2],(T2,T3],…,(TN*-1,T]}(N*是给定的自然数)是有限区间[0,T]的一个分割,又设q(t):[0,T]→(1,2]是关于P的分段常数函数,即
其中,1(H2) 存在常数c0,c1>0,使得
‖f(t,u)‖≤c0+c1‖u‖, ∀t∈J,u∈E.
(H3) 存在常数L,满足
使得对任意的t∈J及有界集D⊂E,有
α(f(t,D))≤Lα(D).
为了得到主要结论,首先对方程(1)进行分析.根据条件(H1),有
因此,可得到
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(2)
方程(1)可写成
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/dee4121f4316e4bfaa02ea9bbda777d2f9f40409.webp)
0方程在[0,T1]可写成
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/fa3e57267d8f00d6e5ff85ca9e2b23650857d18b.webp)
0(3)
方程在(T1,T2]可写成
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/90cbaf9b8e29be4607e67c6edc4c4ad5b9971fc4.webp)
T1(4)
方程在(T2,T3]可写成
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/2c54b986fadb3823dc4bf3b1061544e77b9c2730.webp)
T2(5)
同理,方程在(Ti-1,Ti],i=4,5,…,N*,(TN*=T)可写成
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/8a7d5e031908f3d316893dabf7020b0baec9c520.webp)
Ti-1(6)
定义 2.1如果存在函数ui(t),i=1,2,…,N*,使得u1∈[0,T1]满足方程(3)且
t2-q1u1(0)=0;
u2∈[0,T2]满足方程(4)且
t2-q2u2(0)=0;
u3∈[0,T3]满足方程(5)且
t2-q3u3(0)=0;
ui∈[0,Ti]满足方程(6)且
t2-qiui(0)=0,i=4,5,…,N*,TN*=T,
那么,方程(1)有一个解.
注 1如果定义2.1的函数ui(t)是存在的,则方程(1)至少存在一个解,i=1,2,…,N*.
根据前面的论证,有如下结果.
定理 2.2假设条件(H1)~(H3)成立,那么初值问题(2)在区间[0,T]上至少存在一个解u(t).
证明令Ui={u(t)|u(t)∈C[0,T],
u(0)=0, ‖u(t)‖≤R,
t∈[0,T](i=1,2,…,N*(TN*=T))},
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/2bdbcfcd5509a9cec110c7edfbcbb550cb8430c8.webp)
u(t)=c1tq1-1+c2tq1-2+
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/bf3015525a69e9f25a08768541265cd2e060d13c.webp)
其中
t2-q1u(0)=0.
由方程(1)的初值条件和函数f的假设,可得
c1=c2=0.
定义算子T:C[0,T1]→C[0,T1],
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/61462b3bee160e0e136bd82444c75bcdb95a37d9.webp)
0(7)
则算子T在U1的不动点就是方程(3)的解.
对任意的u(t)∈U1,由于Tu(0)=u(0)=0,Tu(t)在[0,T1]上是连续的,由方程(7)得
‖Tu(t)‖=
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/ec151436ada74e01c81a7096e32bfe852244bd50.webp)
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因此,T是U1映到U1的.
对任意的
u∈U1, ∀ε>0,t1,t2∈[0,T1],t1取
那么当0‖(Tu)(t1)-(Tu)(t2)‖=
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/1b977f8bea97be5d605554ee6350076a48bef96a.webp)
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(t2-s)q1-1]‖f(s,u(s))‖ds+
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/2db077ec5e630afa0b5a03bc5fdcabd3e8e3a072.webp)
(c0+c1‖u‖)≤
因此,TU1是等度连续的,显然也是一致有界的.令B⊂U1,由引理1.2知存在可数子集
B1={un}⊂B,n=1,2,…,N*,
那么由引理1.3有
α
对任意的t∈J,根据引理1.4可得
αC(T(B1(t)))=
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/6858311f2dc36717dda9d0754b91b8b23379d87b.webp)
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根据非紧性测度的性质及条件(H3),有
α(f(s,B1(s))≤LαC(B1(s))≤
LαC(B1)≤LαC(B).
于是
αC(T(B1(t))≤
2Lαds,
对该式两边取最大值,得
α
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αC(T(B))≤2αC(T(B1))<
从而T:U1→U1凝聚.
由Sadovskii不动点定理知,T在U1中有不动点且该不动点为方程(1)的解.方程(2)在区间(T1,T2]可改写成方程(4),为了考虑方程(4)解的存在性结果,可以讨论方程(4)在区间(0,T2]的定义
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/ed139ded0b81c0a2859c479c6341f224480c9866.webp)
0(8)
由此可见,如果函数u∈C[0,T2],满足方程(8),那么u(t)一定满足方程(4).事实上,如果
t2-q2u*∈C[0,T2]
是方程(8)的一个解,那么
Dq20+u*(t)=
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/7bdfc77f5a2ea2423ecbcc5fcc53318f1c83c40d.webp)
0(9)
且t2-q2u*(0)=0.因此,可以得到
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/28b36725470e5c172e10cce184dc1fc27830e2f3.webp)
T1因此,u*∈C[0,T2]与t2-q2u*(0)=0满足方程
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/90cbaf9b8e29be4607e67c6edc4c4ad5b9971fc4.webp)
T1![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/0c65ec7bca50111a9524d65bccd2fce3e8716f27.webp)
u(t)=c1tq2-1+c2tq2-2+
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/50622be7711ce60835d36a9b70e994c84347cac5.webp)
其中t2-q2u(0)=0.由方程(1)的初值条件和函数f的假设,可得
c1=c2=0.
定义算子T:C[0,T2]→C[0,T2],
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/d09cf885380c4cb9534f4a1975932c55b3b86368.webp)
0(10)
则算子T在U2的不动点就是方程(4)的解.
对任意的u(t)∈U2,由于Tu(0)=u(0)=0,Tu(t)在[0,T2]上是连续的,由方程(10)得
‖Tu(t)‖=
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/c876caa3f217a108a37f35a7457b03ebf998cfa9.webp)
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因此,T是U2映到U2的.
对任意的
u∈U2, ∀ε>0,t1,t2∈[0,T2],t1取
那么当0‖(Tu)(t1)-(Tu)(t2)‖=
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/0f0ddff89f68aa2b545b2932311aee6562f0f516.webp)
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所以,TU2是等度连续的,显然也是一致有界的.令B⊂U2,由引理1.2知存在可数子集
B2={un}⊂B,n=1,2,…,N*,
那么由引理1.3有
αC(T(B2))=maxt∈JαC(T(B2(t))).
对任意的t∈J,根据引理1.4可得
αC(T(B2(t)))=
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/39c83efc0c1c2651c8645b5b9d63abdb78a3f2bc.webp)
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根据非紧性测度的性质及条件(H3),有
α(f(s,B2(s))≤LαC(B2(s))≤
LαC(B2)≤LαC(B).
于是
αC(T(B2(t))≤
2Lαds,
对该式两边取最大值,得
α
![](https://img.fx361.cc/images/2023/0318/765848efb7f5c08fd0803142564bc59d57c78844.webp)
αC(T(B))≤2αC(T(B1)<
从而T:U2→U2凝聚.
由Sadovskii不动点定理知,T在U2中有不动点且该不动点为方程(1)的解.
同理,对于i=3,4,…,N*,得到定义在(Ti-1,Ti]的方程(2)有解xi(t)∈Ui和t2-qixi(0)=0,(TN*=T).因此,得到初值问题(1)至少存在一个解.
致谢西北师范大学参与式研讨课教学改革项目对本文给予了资助,谨致谢意.