方程φe(n)=2ω(n)(e=8,12)的正整数解

余 礼, 廖群英

(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)

1 引言及主要结果

由广义欧拉函数的定义易知

φ1(n)=φ(n)

且

近年来,Cai等[3-4]利用勒让德符号和雅可比符号得到了φe(n)(e=3,4,6)的准确计算公式.最近,Yang等[5]得到了广义欧拉函数φe(n)(e=8,12)的准确计算公式.此外,许多学者对欧拉函数和广义欧拉函数的相关方程进行了研究.例如:文献[6-9]用初等方法研究了e∈{1,2,3,4,6}时,方程

φe(n)=2ω(n)

的可解性,并给出了全部正整数解,其中ω(n)定义为n的所有不同素因子的个数,ω(1)=0;金明艳等[10]完全确定了方程

φ2(n)=2Ω(n)

的正整数解,其中Ω(n)定义为n的所有素因子的个数(按重数算),Ω(1)=0;邓桂林等[11]研究了方程

φe(n)=2tω(n),e=2,3,4,6

的可解性,给出了其部分正整数解.

本文利用初等的方法和技巧,完全确定了方程φe(n)=2ω(n)在e=8,12时的全部正整数解,即证明如下2个主要结果.

定理 1.1方程

φ8(n)=2ω(n)

(1)

的全部正整数解为

n=17,19,23,27,32,35,51,58,62,68,80,
96,154,182,186,170,204,228,240.

定理 1.2方程

φ12(n)=2ω(n)

(2)

的全部正整数解为

n=25,27,29,31,55,63,65,69,86,88,92,94,
104,106,112,144,195,230,238,260,266,280,
282,306,312,336,342,360,714,780,840.

2 相关引理

为证明本文主要结果,需要以下几个引理.

引理 2.1[5]若n=2α,α>0,则

引理 2.2[5]若

n=2

其中pi(1≤i≤k)是不同的奇素数.记

Pk={p1,p2,…,pk},

RPk={ri|pi≡ri(mod8),

0≤ri≤7,1≤i≤k},

则

φ8(n)=

引理 2.3[5]若

n=2α3β≥12,

则

引理 2.4[5]若

n=2α3

其中pi(1≤i≤k)是不同的奇素数且

gcd(pi,6)=1, 1≤i≤k.

记

Pk={p1,p2,…,pk},

0≤ri≤11,1≤i≤k},

则

φ12(n)=

3 主要结果证明

定理1.1的证明容易验证,当n≤8时,均不是方程(1)的解.下面讨论n>8时,方程(1)的解的情况.

情形 1若n=2α>8,由引理2.1,方程(1)即为φ8(n)=2α-4=2,解得α=5,此时n=32.

(Ⅰ) 当α∈{0,1},RPk={5,7},{5}时,由引理2.2,方程(1)即为

(3)

1)α=0.由(3)式有

即

若Ω(n)为奇数,则

若Ω(n)为偶数,则

因为6=2·3,所以k=2,并且α1=α2=1,于是

此式有解

p1=5,p2=7,

所以方程(1)有解n=35.

2)α=1.由(3)式有

即

若Ω(n)为奇数,则

因为18=2·32,所以k=2,α1=α2=1,于是

此式有解p1=7,p2=13,则方程(1)有解n=182;

若Ω(n)为偶数,则

(Ⅱ) 当α∈{0,1,2},RPk={3,7},{3}时,由引理2.2,方程(1)即为

(4)

1)α=0.由(4)式有

即

若Ω(n)为奇数,则

有解k=1,α1=1,p1=19和k=1,α1=3,p1=3,则方程(1)有解n=19,27;

若Ω(n)为偶数,则

有解k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=15,这与p2为奇素数矛盾,所以方程(1)无解.

2)α=1.由(4)式有

即

若Ω(n)为奇数,则

有解k=2,α1=α2=1,p1=7,p2=11和k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=31,则方程(1)有解n=154,186;

若Ω(n)为偶数,则

有解k=1,α1=1,p1=35,这与p1为奇素数矛盾,所以方程(1)无解.

3)α=2.由(4)式有

即

若Ω(n)为奇数,则

有解k=1,α1=1,p1=15,这与p1为奇素数矛盾,所以方程(1)无解;

若Ω(n)为偶数,则

有解k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=19,则方程(1)有解n=228.

(Ⅲ) 当α∈{0,1,2},RPk={7}时,由引理2.2,方程(1)即为

(5)

1)α=0.由(5)式有

即

若Ω(n)为奇数,则

有解k=1,α1=1,p1=23,则方程(1)有解n=23;

若Ω(n)为偶数,则

有解k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=11,此时与RPk={7}矛盾,所以方程(1)无解.

2)α=1.由(5)式有

即

若Ω(n)为奇数,则

有解k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=35,这与p2为奇素数且RPk={7}矛盾,所以方程(1)无解;

若Ω(n)为偶数,则

有解k=1,α1=1,p1=31,则方程(1)有解n=62.

3)α=2.由(5)式有

即

若Ω(n)为奇数,则

有解k=1,α1=1,p1=15,这与p1为奇素数矛盾,所以方程(1)无解;

若Ω(n)为偶数,则

有解k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=19,这与RPk={7}矛盾,所以方程(1)无解.

(Ⅳ) 其他.方程(1)即为

(6)

1)α=0.(6)式可化为

有解k=1,α1=1,p1=17和k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=17,则方程(1)有解为n=17,51.

2)α=1.(6)式可化为

有解k=2,α1=α2=1,p1=5,p2=17时,则方程(1)有解为n=170.

3)α=2.(6)式可化为

有解k=1,α1=1,p1=17和k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=17时,则方程(1)有解为n=68,204.

4)α=3.(6)式可化为

有解k=1,α1=1,p1=9,这与p1为奇素数矛盾,所以方程(1)无解.

5)α=4.(6)式可化为

有解k=1,α1=1,p1=5和k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=5,则方程(1)有解n=80,240.

6)α=5.(6)式可化为

有解k=1,α1=1,p1=3,则方程(1)有解n=96.

7)α≥6.(6)式可化为

由25-α<1可知此方程无解,所以方程(1)无解.

这就完成了定理1.1的证明.

定理1.2的证明容易验证,当n≤12时,均不是方程(2)的解.下面讨论n>12时,方程(2)的解的情况.

情形 1若n=2α3β>12.

(Ⅰ)α∈{0,1}.由引理2.3,方程(2)即为

1)α=0.(7)式可化为

3β-1-3(-1)Ω(n)=12.

当Ω(n)为奇数时,3β-1=9,有解β=3,则方程(2)有解n=27;当Ω(n)为偶数时,3β-1=15,此方程无解,所以方程(2)无解.

2)α=1.(7)式可化为

3β-1-3(-1)Ω(n)=24.

当Ω(n)为奇数时,3β-1=21,此方程无解,所以方程(2)无解;当Ω(n)为偶数时,3β-1=27,此方程无解,所以方程(2)无解.

(Ⅱ)β∈{0,1}.由引理2.3,方程(2)即为

1)β=0.(8)式可化为

2α-1+4(-1)Ω(n)=24.

当Ω(n)为奇数时,2α-1=28,此方程无解,所以方程(2)无解;当Ω(n)为偶数时,2α-1=20,此方程无解,所以方程(2)无解.

2)β=1.(8)式可化为

2α+4(-1)Ω(n)=48.

当Ω(n)为奇数时,2α=52,此方程无解,所以方程(2)无解;当Ω(n)为偶数时,2α=44,此方程无解,所以方程(2)无解.

(Ⅲ)α≥2,β≥2.由引理2.3,方程(2)即为

即

2α3β-1=48,

有解α=4,β=2,则方程(2)有解n=144.

情形 2若

其中pi(1≤i≤k)是满足p1

(9)

1)α=0,β=0.由(9)式有

即

2)α=1,β=0.由(9)式有

即

k=2,α1=α2=1,p1=7,p2=19,

则方程(2)有解n=266;

(10)

1)α=0.由(10)式有

即

k=1,α1=1,p1=7,

k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=11,

2)α=1.由(10)式有

即

3

k=1,α1=1,p1=15,

k=1,α1=1,p1=19,

则方程(2)有解n=342.

k=1,α1=2,p1=3

和

k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=7,

当β≥4时,3(-1)Ω(n)+1=8.当Ω(n)为奇数时,由3β-2>1且gcd(3β-2,7)=1可知此方程无解,所以方程(2)无解;当Ω(n)为偶数时,由且3β-4≥1可知此方程无解,所以方程(2)无解.

(11)

k=1,α1=1,p1=29,

则方程(2)有解n=29.

k=2,α1=α2=1,p1=5,p2=23,

则方程(2)有解n=230;

k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=27,

这与p2为奇素数且gcd(pi,6)=1矛盾,所以方程(2)无解.

k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=27,

这与p2为奇素数且gcd(pi,6)=1矛盾,所以方程(2)无解.

k=1,α1=1,p1=23,

则方程(2)有解n=69.

k=1,α1=1,p1=47,

则方程(2)有解n=282;

k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=51,

这与p2为奇素数且gcd(pi,6)=1矛盾,所以方程(2)无解.

此时由等式左边为奇数,而等式右边为偶数,可知此方程无解,所以方程(2)无解.

(12)

1)α=3,β=0.由(12)式有

k=1,α1=α2=1,p1=3,p2=15,

这与p2为奇素数且gcd(pi,6)=1矛盾,所以方程(2)无解.

k=1,α1=1,p1=11,

则方程(2)有解n=88.

2)α≥4,β=0.由(12)式有

2

此时由等式左边为奇数,而等式右边为偶数,可知此方程无解,所以方程(2)无解.

3)α≥3,β=1.由(12)式有

2

此时由等式左边为奇数,而等式右边为偶数,可知此方程无解,所以方程(2)无解.

即

k=1,α1=1,p1=35,

这与p1为奇素数矛盾,所以方程(2)无解;

即

k=2,α1=α2=1,p1=3,p2=51,

这与p2为奇素数且gcd(pi,6)=1矛盾,所以方程(2)无解;

(Ⅶ) 其他.由引理2.4,方程(2)即为

(13)

1)α=0,β=0.由(13)式有

有解k=2,α1=α2=1,p1=5,p2=13,则方程(2)有解n=65.

2)α=0,β≥1.由(13)式有

3

3)α=1,β=0.由(13)式有

有解k=2,α1=α2=1,p1=7,p2=17,则方程(2)有解n=238.

4)α=1,β≥1.由(13)式有

3

k=2,α1=α2=1,p1=7,p2=17,

则方程(2)有解n=714;

k=1,α1=1,p1=17,

则方程(2)有解n=306;

5)α=2,β=0.由(13)式有

有解k=2,α1=α2=1,p1=5,p2=13,则方程(2)有解n=260.

6)α=2,β≥1.由(13)式有

3

k=2,α1=α2=1,p1=5,p2=13,

则方程(2)有解n=780;

k=1,α1=1,p1=9,

这与p1为奇素数矛盾,所以方程(2)无解;

7)α=3,β=0.由(13)式有

有解

k=1,α1=1,p1=13

和

k=2,α1=α2=1,p1=5,p2=7,

则方程(2)有解n=104,280.

8)α=3,β≥1.由(13)式有

3

k=1,α1=1,p1=13

和

k=2,α1=α2=1,p1=5,p2=7,

则方程(2)有解n=312,840;

k=1,α1=1,p1=5,

则方程(2)有解n=360;

9)α=4,β=0.由(13)式有

有解

k=1,α1=1,p1=7,

则方程(2)有解n=112.

10)α=4,β≥1.由(13)式有

3

k=1,α1=1,p1=7,

则方程(2)有解n=336;

k=1,α1=1,p1=3,

这与gcd(p1,6)=1矛盾,所以方程(2)无解;

11)α≥5,β=0.由(13)式有

由2α-4>1且

gcd(2α-4,3)=1

可知此方程无解,所以方程(2)无解.

12)α≥5,β≥1.由(13)式有

2α-43

这就完成了定理1.2的证明.

4 小结与展望

本文基于φe(n)(e=8,12)的准确计算公式,对n进行分类讨论,利用初等的方法和技巧,研究了当e=8,12时,φe(n)=2ω(n)的可解性,完全确定了其正整数解.在此基础上,可进一步讨论关于广义欧拉函数的方程φe(n)=pω(n)的可解性,其中p为奇素数.