基于素养进阶的教学建构——以小学数学北师大版“比的应用”教学为例

●董文彬

数学教育的重要目的之一是指向学生数学学科的核心素养，而学科素养的培育在单元整体学习中则体现出层层递进的进阶趋向，具体体现为思维发展和素养进阶。因此，课堂有必要在基于素养进阶的基础上设计连续体式的问题链条和凸显数学本质的核心学习活动，进行深度教学建构，以促进数学的深度学习真实发生。“比的应用”是小学数学北师大版教材六年级上册第六单元“比的认识”的核心课。作为数与代数领域两量关系教学的核心内容，是发展学生模型思想这一核心素养的重要学习载体，在小学数学课程中占有非常重要的地位。本文在大观念教学背景下基于教材和学情，以“比的应用”学习为例探讨应如何建构素养进阶的深度学习，以深入发展学生的模型思想。

一、教学内容分析

（一）教材纵向梳理，聚焦核心主线

图1 “比的认识”单元学习路径

“比的应用”是“比的认识”单元的最后一个主题。本课是这个主题的第1 课时，也是单元的第4 课时，是学生学习了“比的意义”和“比的化简”之后开始的进一步学习。在本课学习之前，学生已经通过学习“生活中的比”，充分体会同类量关系的比和不同类量关系的比，逐步认识和理解比的意义，建立和拓展比的模型，又通过学习“比的化简”，理解比的意义，丰富比的模型，完成对比的再认识。本课是在前面学习的基础上，通过运用比的意义、应用比的模型解决按比分配的实际问题，进一步理解比的意义和比的模型，深化对“比”的再认识，初步感悟函数思想，进一步发展学生的模型思想。“比的应用”在第2 课时，按比分配问题的拓展，是在同类量的配比情境中运用比的意义、应用比的模型进一步解决有关按比分配的问题，通过学习进一步理解比的意义和比的模型，深化对“比”的再认识。

（二）教材横向对比，深度分析解读

图2 三版本教材关于“比的应用”的对比编排

横向比较各版本教材，可见：①问题情境和学习素材的选取：各版本教材虽然呈现的具体素材不同，但都是通过创设贴近学生现实生活、富有趣味性和启发性的问题情境引发学生的数学思考。在素材信息的呈现上有所不同，苏教版和人教版都是直接呈现要分的具体数量，且直接呈现两个数量的比；而北师大版教材开始未直接呈现要分的具体数量，而是在列表思考之后才给出具体要分的数量。北师大版教材的这种呈现方式更能够把学生拉回原点，更有助于从理解比的本质出发思考问题，进而理解比的意义。另外，北师大版教材也没有直接给出两个数量的比，只是给了两个数量是多少，这更有助于学生体会按比分配产生的需求和必要性。②学习方式的编排：从情境创设、活动编排到交流策略方法，各版本教材都特别注重学生经历两个过程，一个是运用比的意义、应用比的模型解决问题的全过程，一个是充分展现学生多角度的思维过程。在此基础上帮助学生进一步理解比的意义，认识比的模型，深化对比的再认识。各版本教材都呈现了从份的角度和分数的角度进一步理解比的意义，将按比分配问题转化为乘除法运算来解决，沟通比与分数、运算之间的联系，进一步认识比。不同的是，北师大版教材在继续呈现列表尝试的方法之外还呈现了方程的方法，列表尝试更能体现按比分配的本质，渗透建立正比例模型，帮助学生初步感悟函数思想，方程方法呈现了代数思维，其本质也是从份的角度再理解比的意义。在理解比的意义时，人教版和北师大版都借助几何直观呈现了画图的方式；再获得结论之后，苏教版和人教版都呈现了对结果的检验过程。另外，苏教版还由两个量的比拓展到多个量的连比问题，一个除法算式或者一个分数无法一下子表示多个量之间的关系，这种拓展更加体现了比的应用的独特价值。

二、学习者分析

（一）知识经验与能力基础

学生在学习比的应用之前，已经在第一学段经历了比较（比大小）、除法意义与倍的认识、分数的初步认识以及第二学段分数的再认识；是在已经学习过分数乘（除）法的意义和计算、分数的意义及基本性质以及分数与除法的关系的基础上，特别是学习了本单元“比的意义”和“比的化简”之后开始进一步学习的。学生已经对比的意义的理解建构了比的模型，具体体现在：在丰富的问题情境中逐步感知比，经历了从具体情境中抽象出比的过程；充分体会比既可以刻画两个同类量之间的关系（倍比关系），也可以刻画两个不同类量之间的关系（衍生的量）；深入理解比表示一种关系，一种“怎样”的关系，突出“1 份”作为度量单位的重要性；沟通理解比与倍、除法、分数的联系；逐步认识和理解比的意义，建立、拓展和丰富比的模型，进一步认识了比。

（二）前测调研

为了解学生在学习这部分内容之前对比的意义的理解和运用程度，我对六年级学生进行了前测调研。特别说明，为避免问题之间彼此造成干扰和提示，以下四个问题各用两个班分别进行测查。

问题1：淘气几次配置蜂蜜水，他认为蜂蜜与水的体积比是2:15 时口感最佳。你知道此时这个比的含义吗？请你用喜欢的方式解释这个比的意思。

意图：调研学生对比的意义的理解状况。

问题2：你认为学习“比”最大的用处是什么？

意图：调研学生对比的价值的认识程度。

问题3：学校图书馆新进了450 本图书，要把这些本图书分给四年级和五年级，应该怎么分？用你喜欢的方式记录下你分的过程和结果。（如图3）

图3

意图：调研学生在给出具体数量的前提下运用比的意义解决按比分配问题的情况。

问题4：学校图书馆新进了一些图书，要把这些图书分给四年级和五年级，应该怎么分？用你喜欢的方式记录下你分的过程和结果。（如图4）

图4

意图：调研学生在不给出具体数量的前提下运用比的意义解决按比分配问题的情况。

调研结果分析：

问题1：

表1 关于“问题1”学生作答结果统计表

图5 关于“问题1”学生典型作答

分析：

对六年级69 名学生的前测可见：

（1）对于现实生活简单配比情境中的比的意义，92.8%的学生能够作出正确解释，其中14.5%的学生能列举，58%的学生能从份的角度解释，8.7%的学生能联系分数意义来对比作出解释，11.6%的学生能从份和分数两个角度对比作出解释。这说明在学习完比的意义、比的化简之后，绝大多数学生已经能够正确理解比的意义，这为学习比的应用奠定了必备的知识基础。

（2）另有4.3%的学生对比的意义解释不清，2.9%的学生作出错误解释，对于这7.2%的学生要引起重视，需要在学习比的应用这节课时通过交流，帮助他们建立比的模型、理解比的意义之后，再应用比的模型解决问题。

问题2：

分析：

对六年级69 名学生的前测可见：

表2 关于“问题2”学生作答结果统计表

图6 关于“问题2”学生典型作答

53.6%的学生认为“比可以帮助解决问题”，其中7.2%的学生能够举例说明比可以解决甜度、拥挤度、快慢等问题，34.8%的学生能够举例说明比在生活中广泛存在，11.6%的学生认为比更直观、方便、快捷；30.4%的学生明确谈及比表示一种关系。另有14.5%的学生联系除法、分数来说明比的作用，其中2.9%的学生还谈及“通过学习比能使思维更进一步而不是停留在除法”“比能帮助我们解决一些除法和分数解决不了的问题”等。这说明98.5%的学生对比的价值有不同程度的体会。比的应用这节课能够帮助学生进一步体会运用比的意义、比的模型来解决按比分配问题的思想，特别是设计按多个量的连比分配问题能够帮助学生更进一步感悟比更加独特的价值——比可以一下子直观表示多个量之间的关系。

问题3：

表3 关于“问题3”学生作答结果统计表

图7 关于“问题3”学生典型作答

分析：

对六年级69 名学生的前测可见：

（1）对于在给出具体总数量以及两个量的比的前提下，96.6%的学生都能够运用比的意义根据自己的理解正确解决按比分配问题。其中83.6%的学生从份的角度理解比，先求1 份数再求几份数，仅有8.2%的学生从分数角度理解比，将按比分配问题转化为分数乘法问题解决，而运用方程解决的少之又少，仅有3.2%，有1 名学生通过猜测尝试获得答案，另有2 名学生解答错误。

（2）由此暴露两个问题：一是超过八成学生都是从份的角度解决问题，体现出学生解决问题的视角单一，说明对比的意义的理解维度单一、不丰富。因此比的应用这节课有必要充分展现学生多角度的思维过程，通过交流方法多角度丰富理解比的意义、认识比的模型，深化对比的再认识。二是通过列表尝试方法的学生一个也没有，而列表尝试更能体现按比分配的本质，帮助学生渗透建立正比例模型，更能体现比的最原始、最本质的意义，更能帮助学生理解比的结构关系模型。学生之所以没有用列表尝试，是因为题目直接给了具体总数量这个信息所导致的，因此，教学中设计不直接给具体数量，更有助于把学生拉回原点，让学生借助列表尝试解决问题，是非常必要的。

问题4：

表4 关于“问题4”学生作答结果统计表

图8 关于“问题4”学生典型作答

分析：

对六年级69 名学生的前测可见：

（1）29%的学生从份的角度理解比的意义，10.1%的学生从分数角度理解比的意义，2.9%的学生在理解比的意义时有列表尝试的意识，这42%的学生能够从问题情境中自主抽象出比、建立比的模型，并应用比的模型、运用比的意义正确解决按比分配问题。

（2）但是有高达58%的学生没有正确建立比的模型，导致不能应用比的模型、运用比的意义解决问题。其中43.5%的学生不能正确解答或者无思路无结果，14.5%的学生虽然“按人分”也能在一定范围（总量900 本）解决问题，但是依然没有在头脑中建立起比的模型，没有理解橘子“应该按两个班人数的比”来分的需求及合理性，这与“问题3”的结果形成巨大反差和鲜明对比。因此教学中需设计在开始不给具体数量也不给两个班人数的比更不给两个班人数的基础上，让学生讨论“怎么分合理”，进而在学生有需求的前提下再呈现两个班的具体人数信息，继续让学生交流“怎么分合理”，进而抽象出比，理解按两个班人数的比来分的合理性。这个过程是非常必要的，能够帮助学生从问题情境中根据真实需求抽象出比、建立比的模型，帮助学生体会产生按比分配的需求，在头脑中建立起比的模型——两个班分到的橘子数要与两个班人数的比保持一致，这一点是非常重要的，只有建立了比的模型，接下来才能应用比的模型解决问题。

三、“比的应用”教学思考与建议

首先，“比的认识”单元教学需要大观念统领。即教师应该从更大的范围、站在更高的视角，用一般的思想实施单元整体设计，进而聚焦到大单元教学中的每一个主题、每一节核心课、每一个学习活动任务序列、每一个关键问题的设计。基于此，我思考并形成了“比的认识”单元学习的大观念：比的本质是表达和度量两个量的倍数关系，是刻画事物某种属性的重要模型，“比”源于同类量的比较关系，但是可以推广到“不同类量”的情形。不同类量的比可以产生新的量（衍生的量）。比源于度量，度量解决了物体可度量的属性，比更多是为了表征隐含于数量之中的、不可度量的事物属性，这也是除法所不能及的。比为比例的学习做准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。通过以上过程，发展学生的模型思想、度量意识，提高问题解决能力。

其次，从教材对比解读到学情调研分析，在观念统领下我进一步思考：“比的应用”这节课的价值到底是什么？通过这节课的学习最终在数学上让学生获得什么才是最宝贵的？我想，比的应用是运用比的意义，解决按一定的比进行分配的实际问题，按比分配即是应用模型、应用比的模型解决问题。同时，两个量的按比分配其本质上是进一步建立了一个正比例关系模型，这样看，按比分配本身也是一个具体的模型，是在应用模型的基础上对比的模型的进一步建构和再认识。通过比的应用，进一步感悟函数思想也是这节课的重点。比的应用是对比的认识的深化，而不是简单的获得按比分配的结果，所以不给具体数量来进行按比分配，正体现着对比的认识的深化，也正体现着对比的意义最原始、最本质的认识。

最后，在“比的应用”这节课，我认为学生在解决按比分配问题过程中进一步建立比的模型是非常必要的。因此，我设计了既不给具体数量也不直接呈现两个数量的比而让学生分橘子的活动。在学生体会按比分配的需求和必要性的基础上，通过列表尝试，在感悟“变”与“不变”中建立比的正比例模型，感悟函数思想，深化对比的认识。同时，在运用比的意义、应用比的模型解决按比分配的问题中，通过交流充分展现学生的思维过程，获得丰富多元的策略方法，帮助学生充分体会比与分数、除法之间的联系，进一步理解比的意义，发展模型思想。设计“沟通按比分配与平均分问题的联系”，让学生认识到以前学习的平均分问题是按比分配问题的特殊情况（即按1:1:1……分），按比分配是平均分问题的发展，按比分配其本质也是平均分，拓展思维，提升认识。最后，通过《九章算术》中的“巧女织布”问题以及均分与衰分的历史，帮助学生感悟按比分配的数学史的文化价值。

图9 “比的应用”素养进阶的教学结构图