精心设计教学环节 发展数学核心素养——以“双曲线的渐近线”一节教学为例

刘慧萌 濮安山

(扬州大学数学科学学院,225002)

《普通高中数学课程标准(2017年版,2020年修订版)》提出“以核心素养为宗旨”的课程理念，指出数学课程要着眼于学生适应未来社会发展和个人生活的需要.发展学生的核心素养是课程实施的基本要求，也是课程预期的教学目标[1]．

一、相关情况分析

1.教学内容分析

该内容在人教A《数学》选择性必修一第三章双曲线一节的“探究与发现”模块中,是对双曲线的重要几何性质渐近线的定义补充,在感性的几何描述的基础上给出一个理性的代数解释,是发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算四大核心素养的良好载体.

2.学生对渐近线认知障碍分析

学生已经学习过“双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交”,这常常会给学生造成渐近线都不能与曲线相交的错误认识[2].学生能从“形”的角度直观感受到渐近线与双曲线的“无限接近”、“永不相交”,但对于从“数”的角度刻画两者的关系仍然感到无从下手.

3.教师对渐近线的认识分析

部分教师由于对教科书渐近线定义理解的局限,常常会认为曲线都是“单调”趋于渐近线的,曲线与渐近线是没有交点的[2].在教学时往往直截了当地给出结论, 然后利用几何画板进行验证,没有进行严格论证或者仅仅从垂直距离角度给出证明,未完成从“形”到“数”的难点突破.

二、教学过程设计

1.直观感受,引出定义

预设较多学生作图不规范,不作渐近线,直接作出双曲线.

问题2如果我们任意作一条直线,与该双曲线的图象至多有几个交点呢?

预设学生能利用联立方程的方法得到最多有2个交点.

教师活动选择一张不规范的作图,在学生所作图形上作一条过原点的直线与双曲线有4个交点．

设计意图回顾直线与双曲线的位置关系,唤起学生对旧知的回忆,用学生作图的不规范引发学生的认知冲突,引导其思考如何作出较为准确的双曲线草图.

问题3为什么从 这张图象上可以得到4个交点呢?

预设双曲线的图象不准确,应该先作渐近线再作双曲线的图象.

教师活动在原图象上作出两条渐近线,借助双曲线向外延伸时无限接近于渐近线这一性质修改原来的双曲线图象,修改后的双曲线图象与问题2中所作直线仅有两个或者一个交点(如图1).

设计意图让学生感受到渐近线对双曲线形状的限制,产生探究渐近线的兴趣,进而引出渐近线的定义,发展学生直观想象的素养.

2.启发引导,抽象定义

问题4分析课本上给出的渐近线定义,你认为关键性词语有哪些?

预设找出“向外延伸”、“无限接近”两个关键定性描述词.

教师活动通过“向外延伸”、“无限接近”这两个关键词,能直观地感受到双曲线和渐近线的位置关系,借助GGB软件,作出双曲线及其渐近线的图象.

追问1能否结合图象把这两个“形”的关键词转化成代数语言吗?

预设随着|x|变大,双曲线和渐近线的距离越来越小.

教师活动双曲线图象向外延伸时,双曲线逐渐远离原点,双曲线上点的横坐标的绝对值在变大,即|x|变大,那么对于此双曲线可以用|x|变大刻画“向外延伸”.

追问2点与点有距离,点与线有距离,两条直线有距离,曲线和直线的距离怎么刻画呢?

预设学生可能先想到从纵向距离角度来严格论证,接着类比得到横向距离,最后想到把曲线和直线的距离转化为曲线上的点与直线的距离,即垂直距离.

教师活动根据学生课堂上实时发现过程,在多媒体展现的双曲线图形上作出如图1中对应的距离,引导学生抽象出渐近线的形式化定义:在双曲线上任取一点,随着该点沿着双曲线趋于无穷远时,该点与某条直线的距离趋于零,则称此条直线为双曲线的渐近线.

设计意图利用GGB直观展现y=±2x确是双曲线的渐近线,通过不断追问,帮助学生把“形”的语言转化成“数”的语言,突破难点,进而抽象概括出渐近线的形式化定义,为接下来用“数”的语言严格论证渐近线与双曲线的位置关系做好铺垫.

3.推理论证,集思广益

问题5小组合作,讨论特殊方程下能否严格论证双曲线向外延伸时无限接近于直线y=±2x?

教师活动观察学生讨论情况,对个别小组进行启发指导.

追问1一部分同学只研究了第一象限内的图象,大家觉得正确吗?

预设学生利用图象的对称性发现只需证明在第一象限内成立,接着通过对称推广到其它象限即可.

教师活动根据学生作答情况,投影学生答案或者请学生在黑板上展示.

设计意图给出特定的双曲线方程,通过小组讨论的方式,引导学生从三种距离方式解决问题,进一步激发学生的探究欲望.

问题6观察双曲线图形,它和我们之前学过的哪种函数图象类似呢?

预设反比例函数图象．

追问2我们已经学过渐近线的定义,观察分析反比例函数有渐近线吗?

预设x轴和y轴是它的渐近线.

追问3借助反比例函数和它的渐近线,你能给出双曲线渐近线的严格证明吗?

设计意图通过观察分析双曲线图形,回想起熟悉的反比例函数,引导学生利用换元法将双曲线方程转化为反比例函数,从而求得该双曲线的渐近线,在巧借已经解决的问题,巩固换元法的同时发展学生的逻辑推理素养.

问题7能否对一般方程进行严格论证?

预设类比特殊方程,学生可能从距离、反比例函数等角度严格论证.

教师活动观察学生的作答方法,对于特殊方程已得到的解决方法，可通过投影学生解答的方式讲解,对于新的证明方法(比如从斜率角度严格证明)着重分析、探讨.

4.拓展推广,深化认知

问题8回顾学习过的曲线,想一想还有哪些曲线有渐近线?

设计意图将渐近线与学生学过的指数、对数、反比例函数、对勾函数、正切函数建立联系,在深化渐近线的定义的同时,让学生学会用新知迭代旧知.

问题9渐近线一定和曲线无交点吗?

5.归纳小结,反思内化

问题10在本课的学习中,你收获了哪些思想和方法?

问题11在本课中,你印象最深的感悟是什么?

设计意图通过课堂反思让学生对课上使用的恒等变形、放缩方法和三种思想归纳总结,感悟合作探究学习的意义,有利于学生内化思想方法、建立良好的思维模式,从而发展数学核心素养,增强合作意识.

6.课后思考,意义学习

问题12双曲线还有其它渐近线吗?

设计意图在严格论证双曲线的渐近线后提出是否唯一确定的问题,既是对上面问题的补充,也告诉学生探究不止于课堂,需延伸至课外,帮助学生学会学习,进而学会终身学习.

三、思考与拓展

1.距离

垂直、纵向和横向距离的证明方法较常见,这里不再详细给出.

2.斜率

3.反比例函数转化法

4.渐近线的通用解法[3]