分数阶电力系统潮流计算及电压分析

朱浩昊， 朱继忠， 李盛林， 范峻伟， 董瀚江， 吴皖莉

(华南理工大学 电力学院，广东 广州 510641)

0 引 言

分数阶微积分是一个重要的数学分支，其与整数阶微积分几乎同时出现。分数阶微积分能更准确地刻画实际物理现象。21世纪，分数阶微积分理论被广泛应用于电化学、生物医学、流体力学、量子力学、控制理论、电气工程、无线传输、图像识别和机器学习等领域。文献[1-2]介绍了分数阶控制器在电力系统中的应用。文献[3]描述了分数阶无线电能传输的提出及研究进展。文献[4-9]提出了分数阶线路的建模和应用。实际中的电容和电感均是分数阶元件，采用分数阶微积分研究电容和电感将能更准确地表述电压和电流之间的关系。1961年，文献[10]首次提出了分数阶电容模型。随后，文献[11]发现整数阶微分无法精确地描述电容的特性，并指出实际电感也是分数阶的。相量法可以方便地分析正弦稳态电路，文献[12]同样地将向量法应用于分数阶电路，简化了分析和计算过程。

潮流计算是研究电力系统稳态运行的基础，其本质是在给定运行条件下，确定各母线的电压(幅值和相角)、网络中的功率分布及功率损耗[13-14]。文献[15]提出了基于功率潮流分析的电能计量新方法。文献[16]提出了一种非接地配电系统潮流计算的改进方法。文献[17-18]讨论交直流电力系统潮流的计算。根据我国《电力系统安全稳定导则》，电力系统的电压稳定性是指电力系统在遭受扰动后，电压能够保持或恢复到允许范围内，系统保持稳定运行的能力。20世纪90年代初首次提出的连续潮流法(continuation power flow，CPF)目前已经成为电力系统静态稳定性分析的一个基本工具[19-20]。在连续潮流法出现之前，电力系统需要进行大量常规潮流计算得出PV曲线。由于在PV曲线“鼻点”附近，潮流计算的Jacobi矩阵接近奇异，不利于迭代收敛，难以得出完整的PV曲线。文献[21]提出了基于线路电压稳定指标的连续潮流计算方法。文献[22]提出了无平衡节点孤岛运行微电网的连续潮流计算。文献[23]提出求取电压稳定分歧点的改进步长连续潮流法。然而，目前关于分数阶电力系统潮流计算的相关研究很少，而且基于分数阶元件模型研究电压问题目前还没有人涉及。

针对上述情况，本文提出了分数阶元件模型并用于研究电力系统潮流计算和电压分析。本文的构架如下：第1节介绍分数阶微积分原理及方法；第2节讨论电力系统中分数阶元件及传输线路模型；第3节是基于分数阶元件模型进行潮流计算与电压分析；第4节以IEEE 5节点系统和IEEE 30节点系统为例进行仿真计算与分析讨论；最后是本文的结论。

1 分数阶微积分

经典微积分一般指整数阶微积分，如一阶微积分、二阶微积分和n阶微积分等。分数阶微积分指非整数阶(no-integer)的微分和积分。1695年，Leibniz和L’Hospital在书信往来中提到一个问题，当n=1/2时，dny/dxn表示什么。Leibniz回答道，这是一个悖论，总有一天，人们可以由它推导出一些有用的结论。

在分数阶微积分的发展历史中，不同学者从不同角度给出了相应的定义，但至今没有一个统一的定义，在工程应用中比较常见的三种定义是Grunwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville定义和Caputo定义[24-25]。

Grunwald-Letnikov定义为

(1)

(2)

Riemann-Liouville定义为

(3)

Caputo定义——非零初值为

(4)

分数阶Caputo定义具有较明确的物理意义，它被广泛地运用于工程领域。

2 分数阶元件及传输线路

2.1 分数阶元件

电力系统中实际的电感和电容本质上具有分数阶特性，本节应用第2节的分数阶微积分原理分析电力系统中的电感和电容元件。分数阶电感和分数阶电容的电气符号如图1所示[3]。

图1 分数阶电感和分数阶电容的电气符号Fig.1 Electrical symbols for fractional inductance and fractional capacitance

对指数函数求分数阶导数，得到

(5)

欧拉方程为

ejω=cosωt+jsinωt。

(6)

分数阶电感数学模型为

(7)

由式(7)可知，分数阶电感可以等效为整数阶电阻ωαLαcos(απ/2)和分数阶电感ωαLαsin(απ/2)的串联组合。

分数阶电容的数学模型为

(8)

由式(8)可知，分数阶电容可以等效为整数阶电导ωβCβcos(βπ/2)和分数阶电容ωβCβsin(βπ/2)的并联组合。

2.2 有损整数阶均匀传输线

若传输线的导体材料、横截面形状和尺寸、相对位置及周围介质沿线都没有变化，则称之为均匀传输线[26]。由于沿线有感应电势的存在，导致两传输线间的电压随距离x而变化；由于沿线有位移电流的存在，导致传输线中的电流随距离x而变化。整数阶均匀传输线的分布式电路模型如图2所示，其中：R表示传输线单位长度的电阻，其与传输线单位长度的电感L是串联关系；G表示传输线之间单位长度的漏电导，其与传输线之间单位长度的电容C是并联关系。

图2 有损整数阶均匀传输线的分布式电路模型Fig.2 Distributed circuit model of lossy integer-order uniform transmission line

根据KCL和KVL定理，有损耗均匀传输线方程一般形式为：

(9)

(10)

经过拉普拉斯变换得：

(11)

(12)

2.3 有损整数阶均匀传输线

有损分数阶均匀传输线的分布式电路模型如图3所示，其中α和β分别为分数阶电感和分数阶电容的阶数。其余参数与2.2节有损整数阶均匀传输线的分布式电路模型一致。

图3 有损分数阶均匀传输线的分布式电路模型Fig.3 Distributed circuit model of lossy fractional-order uniform transmission line

同理，根据KCL和KVL，分数阶有损耗均匀传输线方程一般形式为：

(13)

(14)

经过拉普拉斯变换得：

(15)

(16)

可以看出，分数阶电感和分数阶电容改变了原有整数阶线路的参数。

3 潮流计算与电压分析

3.1 连续潮流计算

常规电力系统潮流计算模型[27]可以表示为：

(17)

(18)

式中：n是节点个数；PGi和QGi分别是节点i发电机有功功率和无功功率；PLi和QLi分别是节点i负荷有功功率和无功功率；Ui和δi分别是节点i的电压幅值和电压相角；Gij和Bij分别是节点导纳矩阵的实部和虚部。

基于第2节推导的分数阶元件模型，并利用Newton-Raphson进行潮流计算。

电力系统静态电压稳定性分析时常采用的方法是连续潮流法。进行连续潮流计算时，发电机出力和负荷都要增加，得出PV曲线，找出对应“鼻点”，即

(19)

式中：下标0表示基态潮流时的发电和负荷水平；kPLi、kQLi、kPGi分别为节点i的发电机有功出力、有功负荷和无功负荷的增长系数。为简化分析过程，令kLi=kLi=kGi=1，其中λ是负荷参数。则计及发电机出力和负荷增长的潮流方程[19]可表示为：

Bijsinδij)]=0；

(20)

Bijcosδij)]=0。

(21)

PV曲线刻画了发电机出力和负荷变化下电力系统稳态行为，采用负荷参数λ来表征这些变化，系统参数化后的潮流方程简写为

f(x，λ)=0。

(22)

f(δ,U,λ)=0。

(23)

对式(23)取微分可得

(24)

由于参数λ的引入，使得式(22)中未知量个数比方程个数多一个，因此需要再添加一个方程。将式(24)整理成矩阵形式为

(25)

式中ek是单位向量，除了参数λ(不妨设是第k个元素)对应的元素为1或-1，其余所有元素均为0。

(26)

通过式(26)进行相应步长校正，σ为步长，直至潮流收敛，停止迭代，得出PV曲线，即

(27)

3.2 分数阶线路功率和电压损耗计算

从图4可以得到分数阶线路“等效阻抗”为

(28)

式中0<α<1，则ωα<ω，所以分数阶线路的“等效电抗”相对整数阶线路是减小了。

图4 分数阶两节点线路等效电路图Fig.4 Equivalent circuit diagram of 2 nodes transmission lines

图5 分数阶两节点线路电压向量图Fig.5 Phasor diagram of 2 nodes transmission line

电压降纵分量ΔU2可以表示为

(29)

电压降横分量δU2为

(30)

(31)

分数阶线路的“等效电抗”相对整数阶线路是减小的，因此分数阶线路的两端电压降落相对整数阶线路减小了。

同样地，分数阶线路的功率损耗SL可表示为

(32)

因此，首端复功率为

S1=S2+SL。

(33)

从式(32)可以看出，由于分数阶线路的“等效电抗”比整数阶线路的电抗小，对应的无功损耗分量就小，因此基于分数阶元件模型的电力系统分析可以减少线路的无功损耗。

4 算例计算与分析

首先以两节点线路等效电路为例，计算分数阶元件模型对电力系统中线路有功、无功损耗和电压损耗的影响。相关参数为：线路电阻R=8.4 Ω；线路电感Lα=0.06 H；末端电压U2=110 kV；末端功率S2=(15+j8)MVA；频率f=50 Hz。两节点线路分数阶仿真结果如图6～图9所示。

图6描述了分数阶线路“等效阻抗”的变化，其中“等效电阻”约在0.85～0.9阶附近取得最大值，“等效电抗”、“等效阻抗”的模以及“等效阻抗角”均随着阶数减小而减小。

图6 分数阶线路等效阻抗Fig.6 Equivalent impedance of fractional-order transmission lines

图7描述了分数阶线路压降的变化，其中电压降实部、电压降虚部、电压降模值和电压降相角均随着阶数减小而减小，分数阶线路可以减少电压损耗，有利于提高电力系统电压稳定性。图8描述了分数阶线路功率损耗的变化，其中有功损耗约在0.85～0.9阶附近取得最大值，无功损耗、总损耗的模值以及实部与虚部的相角差均随着阶数减小而减小。图9描述了线路首端功率变化，其中有功功率约在0.85～0.9阶附近取得最大值，无功功率、首端功率模值以及实部与虚部的相角差均随着阶数减小而减小。综上所述，两节点输电线路在0.9阶附近，“等效电抗”下降较快，线路总损耗也下降较快，因此后续IEEE 5节点系统和IEEE 30节点系统线路电感采用0.9阶，电容仍为整数阶。

图7 分数阶线路压降Fig.7 Voltage drop of fractional-order transmission lines

图8 分数阶线路损耗Fig.8 Branch losses of fractional-order transmission lines

图9 分数阶线路首端功率Fig.9 Head end power of fractional-order transmission lines

4.1 IEEE 5节点系统

图10是IEEE 5节点系统的拓扑图。通过Matpower 5.1计算IEEE 30节点系统的整数阶潮流、0.95阶潮流、0.9阶潮流、0.85阶潮流和0.8阶潮流，其中节点3为平衡节点。表1是整数阶、0.95阶、0.9阶、0.85阶和0.8阶IEEE 5节点系统支路损耗，可以看出，0.95阶、0.9阶、0.85阶和0.8阶的支路有功损耗略大于整数阶，然而0.95阶、0.9阶、0.85阶和0.8阶的支路无功损耗相对于整数阶明显下降。图11描述了在不增加发电机出力和负荷的情况下，整数阶、0.95阶、0.9阶、0.85阶和0.8阶IEEE 5节点系统电压分布，其中0.95阶、0.9阶、0.85阶和0.8阶各节点的电压均高于整数阶与之对应的各节点电压。另外节点4电压下降最快。

图10 IEEE 5节点系统拓扑图Fig.10 Topology of IEEE 5 bus system

表1 IEEE 5节点系统支路损耗

图11 IEEE 5节点系统电压分布Fig.11 Node voltage distribution of IEEE 5 bus system

(34)

图12 不同负载节点4电压幅值变化Fig.12 Changes in voltage amplitude of 4th node for different loads

图13 黄金分割法示意图Fig.13 Schematic diagram of the golden section method

通过黄金分割法计算得出，当负荷倍数增大到7.534 2时，整数阶IEEE 5节点系统潮流计算无法收敛，0.95阶、0.9阶、0.85阶和0.8阶IEEE 5节点系统潮流计算仍可以收敛。

4.2 IEEE 30节点系统

图14是IEEE 30节点系统的拓扑图。通过Matpower 5.1计算IEEE 30节点系统的整数阶潮流、0.95阶潮流、0.9阶潮流、0.85阶潮流和0.8阶潮流。表2是整数阶和分数阶IEEE 30节点系统支路损耗，可以看出，分数阶的支路有功损耗略大于整数阶，然而分数阶的支路无功损耗相对于整数阶明显下降。图15描述了在发电机出力和负荷均增加至1.7倍的情况下，整数阶、0.95阶、0.9阶、0.85阶和0.8阶IEEE 30节点系统电压分布，其中各节点的分数阶电压均高于对应的整数阶节点电压，并且整数阶有7个节点电压均低于0.95，而分数阶的所有节点电压均大于等于0.95。另外，从图15还可以看出节点8的电压下降最快。

图14 IEEE 30 节点系统拓扑图Fig.14 Topology of IEEE 30 bus system

表2 IEEE 30节点系统支路损耗

图15 IEEE 30节点系统电压分布Fig.15 Node voltage distribution of IEEE 30 bus system

图16表示了不同负载时，IEEE 30节点系统中的第8个节点电压幅值(pu)的变化。当负荷倍数不断增加时，IEEE 30节点系统中的第8个节点电压幅值(pu)不断下降。从图16可以看出，负荷增大相同倍数，整数阶IEEE 30节点系统中的第8个节点电压幅值(pu)下降得远比分数阶快。通过黄金分割法计算得出，当负荷倍数增加至5.478 7时，整数阶IEEE 30节点系统潮流计算无法收敛，0.95阶、0.9阶、0.85阶和0.8阶IEEE 30节点系统潮流计算仍可以收敛。此外，在分数阶阶数确定的情况下，分数阶潮流计算和整数阶潮流计算算法本质没变，均为Newton-Raphson法，所以分数阶潮流计算速度没有显著变化。在Intel(R)Core(TM)i7-10700F CPU和16G内存台式机上通过MATLAB R2016b仿真平台，计算整数阶和0.95阶IEEE 30节点系统潮流计算均需要约0.12 s。

图16 不同负载节点8电压幅值变化Fig.16 Changes in voltage amplitude of 8th node for different loads

上述仿真计算结果表明，基于分数阶元件模型的潮流计算比整数阶潮流计算更容易收敛，而且电压稳定性也得到提高。

5 结 论

现有电力系统潮流计算大都采用整数阶模型，不能很准确地描述电力系统相关元件的真实物理特性。实际上，所有的电感模型和电容模型都是分数阶模型，分数阶模型可以更精确地描述元件的物理特性。针对这一问题，本文提出分数阶均匀传输线的分布式电路模型，并计算分数阶电力系统潮流。理论推导和仿真结果均表明分数阶的支路有功损耗略大于整数阶，然而分数阶的支路无功损耗相对于整数阶明显下降，分数阶潮流计算的电压分布优于整数阶。在电力系统潮流计算中采用分数阶元件模型不仅有助于提高电力系统潮流计算收敛性，还有助于提高电力系统的电压稳定性。由于分数阶的复杂性，本文研究只是初步尝试分数阶电感的仿真分析，下一步研究会同时考虑分数阶电容和分数阶电感的情形并研究如何计算出最恰当的分数阶阶数。