基于建构主义的数列裂项求和探析

广东 王翠娜

数列是高中数学的重要内容.在人教A版新教材中，数列由原来的必修变为选择性必修，难度有增加的趋势，全国各地的高考模拟题也对数列的考查加大了难度.高三的复习课对数列结构中的规律性的探究显得越来越重要.教材中研究了两种基本的数列：等差数列和等比数列.等差数列和等比数列的前n项和有求和公式，对于非等差、非等比数列的求和问题，没有专门的求和公式可以用，只能转化为两个基本数列或者通过正负相消来求和.基于学生最近发展区的数列裂项相消求和法就是一种解决非等差、等比数列求和的重要方法.本文通过问题驱动，引领学生逐步建立裂项求和的知识结构，从而达成从知识结构到知识应用的深度学习.

一、理论基础

(一)建构主义的理论

皮亚杰的建构主义学习理论认为知识是“个体在与环境交互作用的过程中逐渐建构的结果”.学习是“主体内部的逻辑构造”，学习“是一种能动建构的过程”“在原有图式的基础上构建新的认知图式”.在他看来，知识的习得是学生主动探索、主动建构的过程，而不是被动接受.“学生掌握解决问题的程序和方法，比掌握知识内容更重要”.皮亚杰建构主义认识论的最实质性的方面——认识的螺旋.人的认识是一个螺旋上升的过程，呈一个倒置的圆锥的形状，而且螺旋是开放的，它的开口越来越大.人的认识是一个永远向前伸展的、连续的、螺旋上升的过程.

(二)最近发展区理论

“最近发展区”理论的基本内涵：苏联心理学家维果茨基认为：学生的发展存在两种水平：一是现有水平，二是潜在水平，两种水平之间的距离称为“最近发展区”.教学是由潜在水平转化为新的现有水平，并不断创造新的发展区的过程.

本节裂项求和的教学就是由教师创设课程学习情境，以基于最近发展区的问题为驱动，通过学生的小组合作、主动探索，进行有意义的知识和能力的建构过程.

二、教学片段摘录

裂项相消法是指将数列的通项分裂成两个结构相同的式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项，从而可以求和的方法.

教学片段1：创设课程学习情境，引出裂项求和

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

答案：an=2n+1

师：第(2)问用什么方法求和呢？

生：可以采用裂项相消法.

师：同学们裂项看看，通项的式子裂开后是什么样子的？

师：这两种形式哪个正确呢？为什么？

生：第二个正确，因为通分之后和原来相等.

师：那你一开始是怎么知道要裂成这种形式的呢？

师：通过这三个例子，你发现了什么？有什么规律吗？

学生开始沉默了.教师及时实施小组讨论的策略开始小组讨论.

评析：此题创设问题情境，引出裂项求和.结合学生的回答引出裂项求和的原理是利用了分式的性质，通分还原和原来相等或者直接用待定系数法确定系数.

学生恍然大悟，原来是通过通分对比相应系数相等得到的.教师进一步追问：

师：裂项相消法适用于那种类型的数列呢？哪种结构？

师：只有这种形式吗？只能相邻不能间隔吗？

师：总结的非常好，还要特别注意分母有什么特征？分母是两项乘积的形式.

生：第一个可以直接相消，第二个不行，要间隔两项才能相消.

教师进一步追问：

师：为什么呢？所以我们在裂项时要注意什么问题？

生：因为通项公式一个是相邻的两项，一个是间隔开的两项，要多裂几项找规律，最好列出前三项和后三项.

师：对比前面剩余的项和后面剩余的项你有什么发现？

生：好像是对称的，前面剩第几项后面就对称的剩第几项.

评析:通过这一道题，以基于学生最近发展区的问题驱动学生主动积极地建构裂项相消的相关知识，使学生基本都掌握了常见的裂项类型和裂项求和需要注意的问题.

教学片段2：引申拓展，合作探究

教师抛出问题：

【例2】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，S5=30，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=2n-1.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式.

答案:an=2n;bn=2n-1

学生有些困惑，经过小组讨论交流后，有同学举起了手.

生：和例1不同的是这个题是指数型的，例1的分母是一次函数型的等差数列相乘，分子是常数.相同的地方是分母都是两项的乘积，结构相似，可以考虑裂项相消.

师：非常好！请同学们动手试一试.

学生把分母裂开，通分验算，发现左右两边相等，喜出望外.

师：你能用刚才讲的待定系数法直接裂开吗？试一试.

小组合作探究1：设

最后派代表上讲台投影.

师：本题中通项cn的分子不是常数，这个2n-1是怎么来的呢？

生：是分母通分之后相减的结果.

师：很好，我如果把通项cn换成

生：一样的方法.

师：请同学们把这两个通项分别求和，看看过程和结果一样吗？

生：不一样，一个可以连续相消，一个要间隔两项才能相消.

师：和刚才的例1一样，一个分母是相邻的两项，一个是间隔开的两项.

师：同学们总结的非常到位，除此之外你能将这题的通项概括出一般形式吗？

师：太强了！指数型的我们会了，请同学继续研究下面的问题；

(1)求数列{an}的通项公式an；

答案：an=2n

生：是刚才例1的平方，分子上多了n+1，分母也是两项乘积的形式，可以试试裂项.

小组合作交流2：

师：分子的n+1实际上是分母通分运算的结果.你能从bn的结构特征概括出一般情形吗？

评析：例2和例3是例1的变式，难度提升，根据学习是“在原有图式的基础上构建新的认知图式”的建构主义理论，笔者没有放弃任何启发诱导的机会，以问题驱动的方式，层层推进，螺旋上升，通过类比模仿，使学生基本掌握了待定系数法裂项的本质.

教学片段3：综合应用，提升数学建构能力

师：除了上面的三种类型外，请同学们再看下面的问题：

(1)求{an}的通项公式；

答案an=n

学生，保持沉默.教师继续及时开展小组讨论活动.聪明的同学观察到分母是乘积的形式，尝试开始裂项.

师：有没有同学看出端倪？分母三项的乘积是怎么来的？

生：应该是通分相乘化来的.

师：那你能裂出原来的两个分式吗？注意分裂的式子结构要相同.

师：聪明，说得太好了！最根本的还是利用了前面建构的待定系数法.根据通项的结构特征，分母的三项相乘实际上是两分式的分母的最小公倍数，所以裂开时要裂成结构相同的两项，才能正负抵消.分子依然是分母通分运算的结果.这里2n在分母上，如果将2n放到分子上又如何求和呢？请同学们继续探究下面的问题.

【例5】设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列.已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

答案：bn=n

(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*),(i)求Tn；

答案：Tn=2n+1-n-2

师：请同学们总结一下前面的五种类型有什么共同特征呢？都是什么结构的裂项求和？可以归纳一下吗？大家回顾一下，小组的同学互相交流一下.

经过交流之后，有同学得出了答案.

师：那分子上不是常数1的呢？也能这样裂项吗？

生：可以采用待定系数法，分子实质上是分母通分运算的结果.

【例6】已知数列{an}是单调递增的等差数列，a1=1，且a1+2，2a2，a3+7成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

答案：an=2n-1(n∈N*)

师：注意到我们一开始说的裂项求和的定义，是将数列的通项分裂成两个结构相同的式子的代数和的形式，实际上也是两项的和，大家再看看这个题，转化为两项的和是什么呢？

学生恍然大悟，都怪自己受思维定势的影响，一直想着转化为两项的差.我继续追问：

师：为什么这题要转化成两项的和呢？为什么转化为和却可以正负相消呢？

生：因为前面有个(-1)n，加上n的奇偶性，就可以转化为差了.

师：所以同学们要注意多观察题目的特点，要注意裂项求和形式的多样性.那么正确地解答本题的步骤应该是怎样的？

生：要分n的奇偶性分类讨论.

学生做完以后，找同学黑板投影，

评析：最后让学生回顾了今天所学内容，裂项求和有哪些类型？裂项的本质特征是什么？布置学生课后归纳整理.第二天学生交出了如下总结：

裂项相消的类型：

常见裂项技巧：

三、基于建构主义的裂项求和

这两节课中，学生经历了读懂结构体验知识点的形成过程；精做练习，经历了知识点的应用过程；归纳总结，感悟知识点的提炼过程.教师的问题驱动，追问启发，学生的亲身实践，大大提升了学生的数学建构能力和分析问题、解决问题的能力，从而进一步提升了学生的数学建模、逻辑推理和数学运算核心素养.

四、基于建构主义的数列裂项求和对教师教学的启示

新课标新高考如何建构新教学？崔允漷教授指出，新目标就是学生“在什么情境下运用什么知识能做什么事(关键能力)，是否持续地做事(必备品格)，是否正确地做成事(价值观念)”.做事是新目标的宗旨，是新教学的关键，是新评价的焦点，是素养推论的直接依据.

1.精读教材，基于《课程标准》进行学科整体教学设计，单元教学设计和具体课时教学设计，层层推进，螺旋上升，突出系统建构和解决问题.新教材加强了知识间的系统性、逻辑性和联系性，所以教师在备课时要整体规划，注重知识之间逻辑性的教学，加强概念原理的生成性教学，以深度教学实现学生深度学习.从一节课到一个主题，从一节内容到一章内容，整体把握教材内容，把握数学本质，引领学生实现深度学习.

2.聚焦课堂教学关键，精心备课，精诚参与，从学生的最近发展区出发，引领学生积极主动地自主学习，自主建构新知识，帮助学生将碎片化的知识结构化，一步步接近问题的本质，从课堂解题转向解决问题.不断地通过问题解决培养学生的关键能力，提升学生的数学核心素养，打通数学复习的最后一公里.