一个力学结论引发的教学思考与探索——临界速度公式的推导与应用

重庆 杨天才

1 问题呈现

图1

L

O

m

h

图2

图3

2 临界速度公式的推导

做匀速圆周运动的物体应受到大小恒定的合外力F提供的向心力作用，且合外力F与速度方向垂直，始终沿半径指向圆心(如图4所示)；如果物体做变速圆周运动，即线速度的大小和方向都在发生变化，其受力的特点是：合外力F的法向分力Fn，方向始终与速度方向垂直，它的作用效果只改变线速度的方向，不改变线速度的大小(即平常所说的向心力)，合外力F的切向分力Fτ，方向始终与速度方向平行，它只起改变线速度大小的作用(如图5所示)。

图4

图5

长为L的轻绳一端拴一个质量为m的小球绕另一固定端点在竖直平面内做圆周运动，小球在圆心等高线上方某点C的受力分析如图6所示，显然Fn=T+mgsinθ提供向心力，只改变线速度的方向，使小球做圆周运动，Fτ=mgcosθ，提供切向力，与线速度方向相反，只改变线速度的大小，所以小球在竖直平面内做变速圆周运动，即小球从最高点A运动到最低点B，线速度逐渐变大，小球做加速圆周运动；从B运动A线速度逐渐变小，小球做减速圆周运动。只有在最高点和最低点才满足合外力提供向心力，在其他点都不成立。

图6

3 用临界速度公式解决问题

3.1 圆周运动接抛体运动问题

【例1】如图7所示，物块m(可视为质点)从半径为R的光滑固定半球面顶端无初速的滑下，求物块m脱离球面处距地面的高度。

图7

图8

3.2 抛体运动接圆周运动问题

图9

图10

3.3 自由落体运动接圆周运动问题

【例3】如图11所示，将一质量为m的小球用长为L的轻绳系住，绳的另一端固定在O点，现让绳子刚好绷直且与水平方向成30°夹角，释放小球，求小球运动到最低点时的速度大小。

图11

图12

3.4 等效场临界速度问题

【例4】一长为L的绝缘丝线上端固定，下端拴一质量为m的带电小球，小球所带电荷量为q，将它置于水平向左的匀强电场中，当细线偏角为θ=30°时，小球处于平衡状态，如图13所示，试求：

图13

(1)匀强电场的电场强度E；

(2)若将小球拉至右侧水平位置P处，设电场范围足够大，问小球能否摆到左侧与P等高的P′处，如果能够摆到P′处，求小球位于该处时的速度，若不能，求摆动到左侧能达到的最大高度；

(3)仍将小球拉至右侧水平位置P处，小球能否完成完整的圆周运动呢，如果不能，脱离处在哪。

图14

3.5 脱离轨道后最高点问题

【例5】如图15所示，轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l，现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。

图15

4 结束语

在解题时，凡是物体在圆心等高线上某点做圆周运动的情况，我们首先要判断物体的速度是否达到临界速度，否则物体不再继续做圆周运动，而是做斜抛运动。

学生只有了解了知识的形成过程，才能达成有意义的建构，才能达到深度思维所要求的迁移。对于竖直平面内的绳连体的圆周运动问题，既涉及运动和力的关系，又涉及功和能的变化，本文通过推导圆心等高线以上各点的临界速度，深入剖析几个典型例题，这不仅有助于提高教学效果，也有助于增强学生学习的积极性和主动性。