一类非线性拟周期系统在平衡点附近的有效约化性

朱春鹏

(徐州工程学院 数学与统计学院, 江苏 徐州 221111)

此时,‖Q1Q2‖ρ≤‖Q1‖ρ‖Q2‖ρ.Q的平均记为[Q]=([qij])1≤i,j≤n.若Q是常数矩阵,记‖Q‖=‖Q‖ρ.

在文献[9]的基础上,论文考虑更一般的情况，即出现重特征值的情况.

1 主要结论

定理考虑拟周期非线性系统

(1)

假设A=diag(λ1Ir1,λ2Ir2,…,λlIrl)，其中Id是d阶单位矩阵,r1+r2+…+rl=n,λi≠0,1≤i≤l，i≠j时,λi≠λj. 假设Q(t,ε),g(t,ε),h(x,t,ε)在Dρ上解析拟周期,频率是ω=(ω1,ω2,…,ωr)，关于ε解析.假设h(x,t,ε)在Ba(0)上关于x解析，h(0,t,ε)=0，Dxh(0,t,ε)=0， 其中Ba(0)是半径为a、中心在原点的球.

假设1(非共振条件)λ=(λ1,λ2,…,λn)和ω=(ω1,ω2,…,ωr) 满足

(2)

(3)

其中：k∈Zr(〗0},τ>r-1,α>0是一个小常数.

(4)

其中：j≠j′,i=1,2,…,l, |ε|≤ε0,ζ是常数.

假设3‖Q(t,ε)‖≤q,‖g(t,ε)‖≤q|ε|，∀|ε|≤ε0，q>0是常数.

假设4‖Dxxh(x,t,ε)‖≤K, 其中x∈Ba(0)，|ε|≤ε0.

则存在一个拟周期变换x=φ(t,ε)y+ψ(t,ε)，其中φ(t,ε)和ψ(t,ε)在Dρ上解析拟周期, 频率为ω，对于所有的|ε|≤ε0,使得 (1) 变为拟周期系统

在开展施工安装及施工后的模板拆除工作前，要让工作人员参与安全技术交底中，申明施工操作中的各种规范，如要求工人持证件上岗，高空作业时做好安全措施，在危险区域设置安全标示等。

(5)

此外， 有以下结论成立：

(1)A*(ε)是常数矩阵,满足‖A*-A‖≤c1ε，其中c1>0是常数.

(2)R*(t,ε),g*(t,ε),h∞(y,t,ε)=O(y2)在Dρ上解析拟周期，频率为ω，并且

‖R*‖ρ-δ‖g*‖ρ-δ≤c2exp(-M(ε)δ)，

注一般来说,Q(t,ε),g(t,ε),h(x,t,ε)依赖于ε. 为简便起见，有时省略其中的参数ε.

2 定理的证明

论文重特征值的情况主要影响文献[9]中的第一步KAM迭代.先给出第一步KAM迭代，之后的KAM迭代变为不同特征值的情形，完全类似文献[9].

(6)

(7)

其中：

如果

(8)

(9)

做变换y=(I+εP0)x1,则方程(9)变为

(10)

其中：

见文献[9].

此时，需要解变换

(11)

由定理的假设2，即A1的特征值互不相同，知存在可逆矩阵S, 使得

(12)

(13)

对于系统(10)，A1的特征值互不相同.每一步KAM迭代中的Ad,d∈，它们分别都有不同的特征值.由文献[9]中的(4.15) 和(4.24)，得到‖Am+1-Am‖≤|ε|β2m,其中β>0是一个充分小的常数，证明完全类似文献[9]，此略.