核心素养下模型思想在初一数学应用题中的应用

傅倩茹

摘   要：数学应用题是学生进入初中数学学习中会面临的一类难题，培养学生解决应用题的能力，树立学生数学问题学习的信心具有重要意义.以人教版七年级下册第八章第三节的探究3这一问题为例，引导学生学会进行数学材料的阅读，厘清问题的数量关系，体会模型思想在实际问题的解决中的应用.

关键词：模型思想;应用题;数学阅读

在小学阶段，学生已经学会运用算术解决简单的数学应用题.到了初中，数学应用题却成为了多数学生心中的“拦路虎”，学生需要不断在解决问题的过程中体会和应用数学模型思想[ 1 ].初一数学是学生从小学数学认知到初中数学应用的一个重要过渡学段，如何让学生更快的学会运用模型思想解决初中学习过程中较为复杂的应用题，培养和树立学生学习数学问题的兴趣和信心是教师们需要不断考虑的.为此，本文以人教版七年级数学下册第八章第三节探究3有关运费的这一问题的新课教学为例[ 2 ]，探讨模型思想在数学应用题教学中的应用.

1  巧设铺垫，化繁为简

当学生首次接触到这道题时，大多数的学生看到如此冗长的问题是不知道从何入手的，而且题目中的运价单位也对本题的审题造成了一定的困难，因此教师在新课教学过程中应当帮助和引导学生梳理题目中的难点，为此可在教学的前期过程中引入以下几个趣味小问题作为铺垫：

（1）经调查，某小组4个人10天共吃了120个包子，问：平均每人每天吃多少个包子？

（2）①把3 吨货物从甲地运到50 千米外的乙地，共支出运费225 元.若按此计算，运4吨货物走5 千米需要支付多少运费？

②2 元/（吨·千米）表示什么？若按此计费，运a吨货物走b千米需要支付多少运费？

综上所述，运费=________×________×_________.

问题1中，学生可以通过小学算术方法或者一元一次方程求得平均每人每天吃3个包子.

问题2的①中，学生用一元一次方程解决时发现直接设元并不能较为简单的解决此问题，而是要采用间接设元的方式，设运1吨的货物行驶一千米需要x元，求得x=1.5，进一步求得运4 吨货物走5 千米需要支付30 元.此问题的设计既帮助学生复习了一元一次方程解应用题的基本步骤，也让学生初步体会了运价的具体数值的计算方式.在上述两个小问题的基础上，现在可以让学生用自己的语言理解2元/（吨·千米）表示什么，当学生能够成功说出2 元/（吨·千米）表示运1吨的货物行驶1千米，需要支付2 元钱时，对于实际要解决的探究3已经突破了单位的理解这一难点.学生在第②问中还需要理解运a吨货物走b千米需要支付2ab元的运费，并具体得到运费的计算公式：运费=数量×单价×路程，此部分的讲解教师要引导学生体会从具体过渡到抽象，从特殊过渡到一般的过程.

以上几个小问题看似简单，但其实际上需要达到以下几个重要目的：（1）突破对运费单位“元/（吨·千米）”的理解;（2）一元一次方程思想的应用复习;（3）间接设元与直接设元的选择;（4）从数字到字母，从特殊到一般的能力培养.达到以上几个目标后，学生心理上能够对这样简单的数学问题提起兴趣，并且在参与解决问题的过程中，从而为实际解决探究问题做了知识及心理上的良好铺垫作用.

2  细剖原文，提取关键

探究3问题文字内容丰富，各数学量之间的关系在没有梳理前是错综复杂的，学生要在教师的引导下学会如何更好地进行数学阅读，学会提取题目中的关键信息.首先让学生动笔将长的数学问题进行分段.冗长的段落变成简单的句子后，便可以引导学生从每个短句中提取关键信息，学生依次可以得到：原料单价、产品单价;公路运费单价、铁路运费单价;公路总运费、铁路总运费;问题为求：销售款-（原料费+运输费）.

学生观察问题后可以发现，要求得问题的结果，需要求出销售款、原料费、运输费分别为多少.从这三个未知量入手，学生要先找到数量关系，并把已知量代入式子从而得到：

学生通过观察发现，解决本问题，关键要求出未知的原料数量和产品数量，因此学生已然可以判断出本题要选用二元一次方程组这一数学模型进行解决.

在审题的过程中，学生需要不断地对题目中的文字进行分析，有效的数学阅读可令学生加快理解题意，提高判断及分析的能力，同时也要求学生在此过程中要细致、耐心.在应用题的教学过程中，对于篇幅较长的题目文本，本例提供了一种比较切实可行的利用划分段落提取关键词，列数学关系式进行分析的这样一种直接分析方法，可以简要概括为“段→句→词→式”.

可以发现不是所有的学生都能够这么顺利地提取信息，因此除了直接分析法，还可以引导学生利用图表进行审题.课本中对于本题还提供了一个表格，实际问题中还有很多适用于列表法解决的应用题，如何设计表格、表头是其中的难点，适用于列表法解决的应用题类型比如配套问题、行程问题、比赛问题、古籍问题等.详细的读者可以参阅王寿娟及刘勇老师的《用列表法解应用题》[ 3 ].此外，教师还可以引导学生利用题目中的图进行审题分析，观察可以读取出铁路有两段，分別是120 km与110 km，公路有两段，分别是10 km与20 km，从A地到长青化工厂运输的是原料，从长青化工厂到地运送的是产品，因此可以对图中每段铁路或者公路的运价进行标注，再结合题目已知的公路及铁路的总运价便可发现其中的关系式.

3  拓展延伸，巩固应用

值得一提的是，教材在分析这道题的未知量都与产品及原料的数量有关系后，便给出了设元方式：设产品为x吨，原料为y吨.关于这个设元方式有以下两个问题需要引导学生进行分析：

（1）应该直接设元还是间接设元？

（2）产品数量跟原料数量相等吗，为什么是设两个未知数而不是一个未知数？

对于第一个问题，很明显的本题直接设元存在困难，需要通过先求解产品数量和原料数量再分别求出问题中的销售款、原料费和运输费.其二，产品数量跟原料数量是不相等的，为了证明这个结论我们可以先假设二者相等，设产品数量与原料数量均为x吨，则根据公路运费的总费用我们可以列式得到：10×1.5x+20×1.5x=15000，求出x=，再将x的值代入铁路运费计算得到总价为92000，与题目中的97200不符，因此产品数量与原料数量不相等，所以需要设两个未知数.

在课本探究3的基础上，2020-2021学年七年级第二学期厦门数学市质检第24题对其进行了改编与设计：第一问考察二元一次方程组在实际问题中的应用，问题中有两个未知数，直接设元便可.学生在此问中可以初步体会数学阅读与模型思想.第二问信息量大，学生需要梳理题目中复杂的信息，厘清各数学量之间的关系，通过模型思想寻找到合适的数学模型解决问题.采用前文所述的审题方式，学生可以發现本问中方案的费用均与公路及铁路的运输单价有关，且两者均未知，因此求解方案费用需要间接设2个元.学生还需利用分类讨论的思想得到有两种方案，方案一：原料A公路运输，原料B铁路运输;方案二：原料A铁路运输， 原料B公路运输.将每个方案的具体费用用未知数表示出来后发现每种方案的费用表示都带有两个未知数，怎么办呢？此时学生回顾数的大小比较方法，含未知数的式子要进行比较，就需要用到课本121页的求差法，通过解不等式分类讨论出最终的结果.可以说本道题的设计独具匠心，蕴含了模型思想，具体有二元一次方程组及不等式;分类讨论思想.所用的方法均来源于课本所学，对学生数学阅读及模型意识的要求比较高.

4  总结

通过以上分析，我们给出了运用直接分析法、列表法、图例法进行应用题审题的示范过程，实际解决问题中，学生要学会选用灵活的方式进行审题，每种方法都有其优缺点，直接分析法要求学生具备较高的数学阅读能力，能够将文字语言转换成数学符号语言的能力，列表法及图例法都相对直观，而列表法中对表格的设计是难点.学生在解决应用题的过程中，既可以单一地选取其中一种方法，而在其中一种方法行不通时又可以有效地选用其他的方法结合进行分析.通过本道探究问题的分析，学生能够体会到解决数学问题方法的多样性，不断突破数学问题阅读的难点.

数学应用题形式多样，如何更好地带领学生简洁高效地解决问题是我们不断追求的目标.通过课本探究3的授课，引导学生自主学会基本的审题技巧.审题关过了，学生便能较迅速地匹配所学习过的数学模型，从而将具体问题转化为数学问题进行求解.初一年的应用题的解答所涉及的重要模型便是方程及不等式，教师要不断强化学生提取关键信息，厘清数学关系的能力.在基础模型夯实以后，便可进一步做技能叠加，也为后续的函数应用题等更多更复杂类型的应用题做铺垫.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 林群.义务教育教科书数学七年级下册[M].北京：人民教育出版社，2013.

[3] 王寿娟，刘勇.用列表法解应用题[J].初中生学习指导，2019{4}（32）：26-27.