数学文化素养话题之十：数论

刘劲苓 秦历红

秦历红：刘老师，因数、倍数、质数（也叫素数）、合数以及最大公因数、最小公倍数等概念，对小学生而言不是特别好理解，但又是重点。这部分知识属于数论的内容吧？

刘劲苓：是的，数论是研究整数的性质的一门学问，它历史悠久，以严格、简洁、抽象著称。高斯认为，“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后”，可见数论在数学中的地位。

秦历红：这么说来，数论的知识在数学学习中真的很重要。其中有些内容，我了解一些却并不丰富和深入，希望可以和大家一起继续学习。北师大版教材中有这样一段介绍：“质数又叫素数。每一个大于1的整数，要么是质数，要么是若干个质数的乘积。如：12=2×2×3。于是有人认为质数是数的‘数根。质数除了在数学领域中具有极其重要的地位之外，在密码技术中也起着关键的作用，广泛应用于金融、电子商务和网络安全中。”我们就先从整数的“数根”——质数开始聊一聊吧！

刘劲苓：质数的研究在数论中具有很重要的作用。我们知道，正整数是由1、质数与合数这三类数组成的。一个大于1的正整数，如果只能被1和它本身整除，这样的正整数就叫作质数；否则就叫作合数。所有的质数可以编成一个表——质数表。在质数表中，除了第一个质数2是偶数外，其余的都是奇质数。质数的重要性在于，它们是组成整数的基本单位（根），集中表现为“算术基本定理”。这个定理表明，所有不等于1的正整数，如果不是质数，那么可以分解为质数的乘积，且不计顺序时，分解方式是唯一的。

秦历红：教学中我们通常是直接告知学生什么是质数、什么是合数，带领学生找出100以内的25个质数，通过熟记100以内的质数，让学生能够熟练地判断一个两位数是质数还是合数。那么学生就会因此产生疑问，质数到底有多少个呢？

刘劲苓：学生的这个问题其实是关于质数的最古老的问题之一。其实，欧几里得在《几何原本》中最先证明了质数有无穷多个，他的方法非常巧妙，闪耀着智慧的光辉。两千多年来，人们虽也提出过一些其他证明方法，但仍然没有比欧几里得的方法更好的。

秦历红：那么，欧几里得到底是怎样证明质数有无穷多个的呢？

刘劲苓：他用的其实是反证法，假定质数只有有限多个，设为p1，p2，p3，…，pn，考虑a= p1 p2 p3 …pn+1，显然，a不能被p1，p2，p3，…，pn整除。故存在两种情况：（1）a为质数；（2）a为合数，则a有除p1，p2，p3，…，pn以外的其他质因数。无论是哪种情况，都会出现不同于p1，p2，p3，…，pn的新的质数，因此否定了质数只有有限多个的假定。

秦历红：这个证明的构思真是非常巧妙，它的基本思路是：既然对于无论多大的质数，都一定有比它更大的质数，那当然质数就是无穷多个了。但是，它并非是构造性的，利用上面的式子a=p1 p2 p3 …pn+1得到的整数a并不总是质数。例如，2×3×5×7×11×13+1=30031=59×509。

刘劲苓：质数虽然有无穷多个，但是在自然数列中，它排列得相当“稀疏”。100以内有25个质数，1000以内有168个质数。教学中，我们通常是怎样把不超过某个固定的正整数n的所有质数全部罗列出来的？

秦历红：我在教学中会向学生介绍“筛法”，筛法是求不超过自然数n（n>1）的所有质数的一种方法，具体做法是：先把前n个自然数按从小到大的次序排列起来。第一个数1不是质数，也不是合数，划去；第二个数2是质数，留下，并把2后面所有能被2整除的数都划去；第三个数3是质数，留下，并把3后面所有能被3整除的数都划去；第四个数5是质数，留下，并把5后面所有能被5整除的数都划去……一直这样做下去，就会把不超过n的全部合数都筛掉，留下的就是不超过n的全部质数。据说，筛法是古希腊的埃拉托斯特尼发明的，又称“埃拉托斯特尼筛子”，他把数写在涂了蜡的板上，每要划去一个数，就在上面记一个小点，当寻找质数的工作完成后，这许多小点就像一个筛子，因此叫作“筛法”。还有一种解释是，当时的数写在纸草上，每要划去一个数，就把这个数挖去。当寻求质数的工作完毕后，这许多小洞就像组成了一个筛子。

刘劲苓：其实，求不超过正整数n的质数的个数是有近似公式的，但这个公式理解起来有些麻烦，不适合介绍给小学生。找出一个比现在已知的最大质数更大的质数，是人们孜孜以求的一个梦想。2006年，人们找到的最大的梅森质数（形如2p-1的数称为“梅森数”，如果该数为质数，则称之为“梅森质数”）是232582657-1，它是一个9808358位数。而到了2018年，人们找到的最大的梅森质数已经变成了282589933-1，它是一个24862048位数！

秦历红：前面谈到，质数广泛应用于金融、电子商务和网络安全中，一种常用的密码体系，其保密性依靠的就是大数（多达几百位）质因数分解的困难。日常生活中，如果把银行卡密码设置为888888、123456或者自己的生日，虽然好记，但万一银行卡丢了，密码很容易被猜到。能不能设计出一组代码，即使将代码写下来，别人也无法从中破译出密码呢？我们可以根据欧几里得的证明方法，先给出数a=2×3×5×7×11×13+1=30031，而我们已经知道30031=59×509。那么，就可以把a的两个因数59和509左右并在一起，形成一个五位数密码59509，或在左边添0占位，形成一个六位数密码059509。为便于记忆，可以将30031或2×3×5×7×11×13+1作为代码写下来，别人即使看到了，也未必能猜到你的密码。

刘劲苓：质数在单元教学中有着至关重要的作用，对于质数我们教材中还有一些数学文化的内容可以介绍给学生。比如，一对仅由一个偶数隔开的相邻质数，我们将其称为“孪生质数”，像（3，5）（5，7）（11，13）（17，19）（29，31）（41，43）（59，61）（71，73）都是孪生质数。还有著名的哥德巴赫猜想——任何一个比2大的偶数都可以表示为两个质数的和。我国数学家陈景润在1966年证明了“任何一个充分大的偶数都可以表示为一个质数和一个不超过两个质数的乘积之和”，引起了国际数学界的强烈反响。至今，这仍是“哥德巴赫猜想”证明的最好结果。

秦历红：中国现代对数论的研究最早是从什么开始的？

刘劲苓：早在20世纪30年代，我国数学家华罗庚就开始研究数论问题了，他选择了“哥德巴赫猜想”作为数论组讨论班的主题。十几年后，华罗庚回忆他的这个决定时仍然流露出满意的神情。他说：“我不是要你们在这个问题上作出成果来，我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中所有的重要方法都有联系。以哥德巴赫猜想为主题来学习，将可以学到解析数论中所有的重要的方法。”

秦历红：在小学数学教学中，我们可以小游戏的形式向学生介绍哥德巴赫猜想，来激发学生的学习兴趣，领略数学文化的魅力。我在教学时是这样引入的：

生：（齐）所有大于2的偶数都可以写成两个质数之和。

师：刚刚我们只举出了一些例子来说明，但这是一个世界难题，到现在没有人能完全证明出来。我国数学家陈景润的研究使这个难题有了很大的突破，感兴趣的同学课下还可以再查找资料深入了解，期待同学们成为数学家，继续研究这些难题！

刘劲苓：质数中蕴含着许多数学文化内容，教材中也有一些补充介绍，例如有关完全数（完美数）的介绍，很多学生看到教材的介绍都要自己亲自尝试验证呢！除了质数的相关内容，《因数与倍数》也是渗透数论知识及相关数学文化的绝佳单元。例如，我们在教学《2、3、5的倍数特征》时，需要让学生了解为什么判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位上的数，而判断是不是3的倍数，却要看各个数位上数的和。

秦历红：是的，3的倍数特征在课堂上是值得花时间深入研究探讨的，课堂上通常可以用“数”和“形”两种方法来研究。以247为例，“数”的方法就是把数拆开，把247看作“2×99+2+4×9+4+7”，2×99、4×9都是3的倍数，只要看剩余的2、4、7的和就行了，而2、4、7正好分别是247的百位、十位、个位上的数。“形”的方法就是让学生用小棒或计数器等学具，把247表示出来，学生就能在表示、摆放的过程中，根据数形结合的思想，发现3的倍数的特征。最终通过总结发现，“判断一个数是不是3的倍数，只要看这个数各数位上的数之和是不是3的倍数。”学生通过自主探究，会感受到理性思考的力量，也会感受到数学的简洁之美。

刘劲苓：小学数学教学中还有许多内容与数论相关，需要教师挖掘其中的数学文化，并将之运用、渗透到教学中去。我们期待更多教师重视学生数学文化素养的培养！

秦历红：谢谢刘老师的分享，再见！

（刘劲苓，特级教师，北京市西城区教育研修学院，邮编：100031；秦历红，北京市西城区黄城根小学，邮编：100034）

*本文系北京市教育科学“十三五”规划2018 年度一般课题“小学数学教学中‘文以化人的育人研究”（课题批准号：CDDB18182）成果之一。