感悟方法本质，发展结构化认识

摘 要：《三角形的面积》是苏教版小学数学五年级上册的重要内容，上承《平行四边形的面积》中的等积转化法，下启《梯形的面积》中的倍积转化法。教材中仅编排了倍积转化法的教学，学生如果没有经历用等积转化法计算三角形面积的过程，很难建立对转化方法的结构化认识。因此，教学时可以尝试引导学生用两种不同的转化方法进行探究，感悟转化的本质，初步建立对平面图形面积探究方法的结构化认识。

关键词：《三角形的面积》；倍积转化；等积转化；结构化认识

【教学内容】

苏教版小学数学五年级上册第9—10页。

【教学目标】

1.理解并掌握三角形面积计算公式，会正确计算三角形面积，能应用三角形面积计算公式解决简单的实际问题。

2.经历将三角形转化成已知图形求面积的过程，培养空间观念，发展推理意识。

3.在探索活动中获得积极的情感体验，体会转化思想的价值，感受数学文化的魅力，激发学习数学的兴趣。

【教学重难点】

1.重点：探索并掌握三角形的面积计算公式，能正确计算三角形的面积。

2.难点：理解三角形面积计算公式的推导过程。

【教学过程】

一、问题引入，激发探究需求

师：（出示图1）生活中我们经常会看到这样的三角形交通标牌，要计算制作这样的标牌需要多大的铁皮，实际上是求什么？

生：求的是三角形的面积。

师：三角形面积如何计算呢？这节课我们就一起来探究。

[思考：引入部分，笔者设计了计算三角形标牌面积的问题，立足学生的学习起点和生活起点，激发探究需求，明确学习目的。]

二、动手操作，勾连新旧知识

师：我们已经学过了“平行四边形的面积=底×高”，谁还记得这个公式是怎么来的吗？

（指名学生回答，课件演示平行四边形面积公式的推导过程。）

师：在探究平行四边形面积公式过程中，我们是将平行四边形转化成长方形来计算的，这个过程对探究三角形的面积公式有什么启发？

生：我们也可以将三角形转化成之前学过的长方形或平行四边形进行探究。

师：同学们说得非常好！今天，我们就从长方形、平行四边形入手来研究三角形的面积。

（教师出示任务：请将你手中的长方形和平行四边形纸片分成两个相同的三角形。学生根据要求动手操作。）

师：观察你分出的其中一个三角形，它和原来的长方形、平行四边形之间有什么关系？

生：三角形的面积是原来的长方形、平行四边形面积的一半，因为被分成的两个三角形面积一样。

师：既然被分成的两个三角形的面积一样大，你认为三角形的面积应该怎样算？

生：我觉得算三角形的面积，可以先算出长方形、平行四边形的面积，再除以2。

[思考：通过回顾平行四边形面积公式推导过程，唤醒学生将三角形转化成其他图形来研究面积的意识。再通过把长方形和平行四边形分成两个一样的三角形的活动，引导学生经过仔细观察，比较直观地看出三角形和长方形、平行四边形的面积之间的倍数关系。]

三、方法对比，感悟倍积转化

师：（出示图2）如果没有长方形、平行四边形作对照，你能计算出这三个三角形的面积吗？

（学生独立计算，全班汇报交流。）

师：为什么这三个三角形都能用“6×4÷2”计算面积？

生：因为它们的底都是6cm，高都是4cm，根据公式“底×高÷2”计算就是“6×4÷2”。

师：看来大家都认为“底×高÷2”就是三角形的面积计算公式了，那你能结合图形说说为什么吗？

生：长方形的长、宽分别和三角形的底、高对应，平行四边形的底、高分别和三角形的底、高对应。所以可用“底×高”先算出长方形、平行四边形的面积，再除以2，就可以得到三角形面积。

师：对比平行四边形面积公式和三角形面积公式的推导过程，你发现它们有什么相同的地方，有什么不同的地方呢？

生：推导平行四边形面积公式和三角形面积公式的时候都用到了转化的方法，把未知图形转化成已经学过的图形来计算面积。

生：推导平行四边形面积时，转化前后的图形面积相同；推导三角形面积时，转化后的长方形、平行四边形面积是三角形面积的两倍。

师：都是转化，但转化的方式有所不同。平行四边形转化成长方形后，面积不变，这种转化我们称之为“等积转化”。三角形转化成长方形、平行四边形，转化后的图形面积是三角形面积的两倍，这种转化我们称之为“倍积转化”。

[思考：将三角形的底、高与长方形（平行四边形）的长、宽（底、高）分别对应，是学生普遍存在的难点。因此，笔者在没有得出公式的情况下让学生尝试计算三角形面积，用任务“逼迫”学生“倒过来”想，引导他们主动产生对于“对应”的需求，推导三角形的面积公式。再通过比较两种推导过程的异同，引导学生发现两种转化方法的本质相同，产生初步的结构化认识。]

四、由表及里，回归等积转化

师：刚刚同学们用倍积转化的方式推导出了三角形的面积公式，那能不能用等积转化的方法推导出三角形的面积公式呢？

（教师出示任务：尝试用等积转化的方式推导三角形面积公式，把你的想法用大家看得懂的方式表示出来。学生小组讨论后完成研究任务。）

师：（出示图3）请这个小组来分享你们的研究过程。

生：我们想到，如果不用倍积转化法，能不能找到一种方法，把三角形直接转化成长方形或者平行四边形。所以我们把三角形都沿高的一半剪开，把上面的“尖尖”拼到下面，就成等积转化了。

（其他学生分享过程略。）

师：转化后三角形的面积有没有发生变化？三角形的底、高与长方形的长、宽，平行四边形的底、高有着怎样的联系？

生：转化过后三角形面积不变，①号三角形转化成了长方形，长方形的长是原三角形的底，宽是原三角形高的一半。②号、③号三角形转化成了平行四边形，平行四边形的底是原三角形的底，高是原三角形高的一半。

师：看来，运用等积转化也能推导出三角形的面积公式。其实不论是倍积转化还是等积转化，抓住转化前后两个图形底和高的“变”与“不变”，得出两个图形的面积关系，才是用转化方法求三角形面积的本质。

[思考：学生在自主交流的过程中探索用等积转化的方法推导三角形的面积公式，体会解决问题策略的多样性，加深对转化方法本质的感悟，形成结构化的认识。]

五、渗透文化，领会方法背后的智慧

师：同学们只用一个三角形就推导出了三角形的面积计算公式，真棒！其实这种等积转化的方法在我国古代的数学名著《九章算术》中已有记载。（课件出示教材“你知道吗”，学生朗读）古人用“半广以乘正从”表示三角形的面积计算公式，相信大家能结合图片解释这个公式，它相当于“底×高÷2”，如果用a、h、S分别表示三角形的底、高、面积，三角形的面积计算公式还可以怎么表示？

生：S=ah÷2。

师：（再次出示图1）回到课始的问题，现在，老师给出这块三角形交通标识的数据：它的底大约是8分米，高大约是7分米，你能算出它的面积吗？

（学生独立完成，汇报交流。）

师：（出示图4）这个三角形一共给出了三个数据，要选择哪两个数据进行计算呢？选择合适的数据求出三角形的面积。

（学生独立完成后，全班交流。）

师：今天我们研究了什么内容？是怎样研究的？你还想研究哪些图形的面积计算公式？打算怎样研究？

[思考：数学教学要注重情境素材的育人功能，引入《九章算术》既能再一次让学生体会转化方法的多样性，加深对等积转化方法的认识，也能帮助学生了解和领悟中华民族独特的数学智慧，增强文化自信和民族自豪感。练习的第1题意在帮助学生巩固对三角形的面积计算公式的应用，第2题则着重引导学生运用所学知识进行灵活判断，增强数学应用意识。课的最后，引导学生回顾反思，展望以后的学习内容和研究方法，再次促进知识的结构化。]

（孙进，安徽省合肥经济技术开发区社会发展局中心教研室，邮编：230601）