高中数学多项选择题命制研究及启示

刘国海?郭婵娟

【摘要】在2017版《普通高中数学课程标准》的指导下，新高考在形式和内容改革齐头并进的同时，也在试题方面进行了新的尝试，在原题型的基础上增加了多项选择题（正文简称“多选题”）。通过对2020～2022年新高考数学Ⅱ卷多项选择题的比较研究，分析试题命制特点，对多项选择题的解法及其教学方法进行了反思。

【关键词】新高考；多选题；数学教学

2018年1月颁布的2017版《普通高中数学课程标准》具有基础性、选择性、发展性，明确了数学学习的“四基”与“四能”，提炼了发展能力内涵的六大“核心素养”。在2017版《普通高中数学课程标准》的指导下，新高考Ⅱ卷试题继承了传统高考的命题风格，同时稳中有变。内容上除了注重逻辑思维能力、空间想象能力和运算求解能力考查外，逐渐加大了对数学建模能力、创新能力和动手实践能力的考查，展现了数学的应用价值。题型上凸显2017版《普通高中数学课程标准》对考试评价的引领作用，较传统高考进行改革创新，增加了多选题。本文通过对2020～2022年新高考数学Ⅱ卷多选题命制的研究，谈几点解题建议及教学启示。

一、应用背景

纵观2020～2022年新高考数学Ⅱ卷，较传统高考试题增设了4道多选题：每道试题所给的4个选项中，有二至三项符合题意，完全选对得5分，选对部分得2分，错选不得分。多选题的“横空出世”，实际上是在不分文理科的新形势下，在考试形式与内容持续改革的同时进行题型创新以致于适应教育时代性的一项举措。另外，多选题也更能突出数学核心概念，重视“双基”的有效落实，利用跨学科和多维度知识显现学科和能力融合的效果，从多个角度对学生的综合能力进行考查，提升考试的信度与效度，体现对学科素养和创新精神的需求。

二、命制分析

从立意上，多选题集中展示数学六大核心素养，可直接考查学生“双基”的掌握情况，也可以考查基本思想和活动经验。从命制上，多选题设有恰当的情境，而不是简单地把单选题改成多选题，更不是直接否定原有的单选题，将其拼凑成多选题。笔者认真研究了2020～2022年新高考数学Ⅱ卷的多选题，认为多选题命制的形式有以下几种类型：

1.“一干多支”型。

例1：我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，图1是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（  ）。

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量

本题引自2020年新高考数学Ⅱ卷第9题，试题以折线图为情境，考查对折线图表示的函数的认知与理解。这类多选题属于“一干多支”型：在同一情境下，需要对4个选项呈现的不同结论做出判断；或者是给定一个数学对象，设置不同性质以判断其真假。这种类型的多选题并不是简单地聚集一些知识点，也不是单纯地把几个根本没有任何关联的命题拼凑在一起，类似于大杂烩。再如2022年新高考数学Ⅱ卷的第9题：

例2：函数的

图像以中心对称，则（   ）。

A.在单调递减

B.在有两个极值点

C.直线是一条对称轴

D.直线是一条切线

本题考查函数图像与性质。根据题干所给条件，可以求得函数解析式

，题目设置的4个选项均是在此基础上，对该函数的单调性、极值点、对称轴、切线等不同结论做出判断，同样属于多选题中的“一干多支”型试题。

2.“盘根错节”型。

例3：已知，，且，则（  ）。

A.

B.

C.

D.

本题引自2020年新高考数学Ⅱ卷第12题，主要考查不等式的性质，综合了均值不等式、指对数函数的单调性。A、B选项用已知关系消元，C、D选项考查均值不等式，所有选项又同时用到了函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养。这类多选题属于“盘根错节”型：每一个选项都经过精心设计，相互之间又具有知识的内在联系或者方法的相通性。再如2022年新高考数学Ⅱ卷的第10题：

例4：已知是坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，，若，则（   ）。

A.直线的斜率为

B.

C.

D.

本题考查抛物线的图像与性质。4个选项涉及焦点弦的斜率、弦长、焦半径、直线夹角等问题，选项相关知识点错综复杂，“你”中有“我”，“我”中有“你”，相互之间联系密切，同样属于多选题中的“盘根错节”型试题。

3.“如出一辙”型。

例5：如图2，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（   ）。

A         B        C       D

本题引自2021年新高考数学Ⅱ卷第10题，以正方体为载体，考查异面直线垂直关系的判定。这类问题属于“如出一辙”型：题目考查内容、条件或选项指向同一知识模块，甚至是某一具体的知识点，只需通过精准定位即可完成题目解答，解题难度相对较低，试题区分度相对较小。再如2022年新高考数学Ⅱ卷的第12题：

例6：对实数、，满足，则（  ）。

A． B.

C.D.

该题本质上是通过已知关系实现三角换元：

，进而考查

与的最值问题。

实际上，该题4个选项均指向同一知识点和方法，同样属于多选题中的“如出一辙”型试题。

4.“殊途同归”型。

例7：下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（  ）。

A.样本的标准差

B.样本的中位数

C.样本的极差

D.样本的平均数

本题引自2021年新高考数学Ⅱ卷第9题，考查标准差、极差等两个不同的指标均可以衡量样本数据的离散程度。这类试题属于“殊途同归”型：题目是针对某一数学对象的一个属性，设置不同角度的问题达到深度研究该数学对象的作用。再如2022年新高考数学Ⅱ卷的第11题：

例8：如图3，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥、、的体积分别为、、，则（  ）。

A. B.

C.D.

本题是通过分别求三棱锥、、的体积，进而判断、、的关系。其中三棱锥、的体积均可采用常规体积公式求解，而三棱锥的体积则需要采用割补法求解。由此可见，该题目主要是通过几个不同类型的几何体，研究体积的不同求法，达到深度研究该知识点的目的，属于多选题中的“殊途同归”型试题。

5.“同源异流”型。

例9：已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（  ）。

A.若点在圆上，则直线与圆相切

B.若点在圆内，则直线与圆相离

C.若点在圆外，则直线与圆相离

D.若点在直线上，则直线与圆相切

本题引自2021年新高考Ⅱ卷第11题，考查直线与圆的位置关系。这类问题属于“同源异流”型：试题题设条件不确定，各选项分别展示不同条件下产生的相异结论。再如2020年新高考Ⅱ卷的第10题：

例10：已知曲线，则（    ）。

A.若，则是椭圆，其焦点在轴上

B.若，则是圆，其半径为

C.若，则是双曲线，其渐近线方程为

D.若，，则是两条直线

试题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养。属于不同条件下产生不同的结论，是多选题中的“同源异流”型试题。

由此可见，多选题与单选题在命制上有颇多相通之处，也有较大的差异性。多选题的命制，无论是从试题立意、背景材料的选择、情境任务的设置，还是选项的拟定，都是以落实高考评价体系、强化素养为指导，既考虑其功能性、基础性、可行性，又关注试题的严谨性与科学性，充分发挥多选题区分度好的功能。

三、答题建议

多选题的设计一般突出一个主题，设置多个正确选项供考生选择，具有知识容量大，涉及面广，思路方法多，蕴含的数学思想比较丰富的特点，其解答方法上与解单选题有相通之处，也有区别。

1.延用单选解法寻突破。解答多选题既要用到常规题的解题方法，也要看到多选题的特殊性。跟单选题一样，基本策略同样是认真审题、深入细致分析、严密推演、谨防疏漏，做到“快狠准”。当然，解答单选题常用的直接法、排除法、特例法、逆推法、构造法、极限法、数形结合法等技巧同样适用于多选题的解答。

例11：设正整数，其中，记，则（   ）。

A.B.

C.D.

这是2021年新高考Ⅱ卷第12题，选取特殊值法：令，则

显然，ACD选项正确。利用特殊值法同样可以实现化繁为简，达到事半功倍的效果。

2.分析题设条件抓本质。解答多选题同样需要认真分析题干提供的已知条件，尤其是找出隐含信息，抓住问题的本质，力争“一招制敌”。不能仅仅看到表层信息就直接解答，更要避免小题大做，应根据题意选择巧妙方法随机应变地处理，多些角度去思考、探索，达到尽量少算，能不算就不算的高效目标。

例12：图4是函数的部分图像，则（   ）。

A.B.

C.D.

这是2020年新高考Ⅱ卷第11题：主要是考查函数的图像。通过所给图像，易得最小正周期，于是，排除A选项，代入特殊点的坐标可知B选项正确。根据正、余弦曲线的关系，的图像是由的图像通过平移得到，

与应是相差的奇数倍关系，故排除D选项，

即C选项正确。显然，充分理解正、余弦曲线的关系及解析式特点，抓住问题的本质，可以精准切入，提高解题效率。

3.依据个人能力定策略。从概率的角度来看，多选题得5分的概率较单选题有所降低，得2分的概率明显加大。解题时考生可根据个人实际情况，准确定位得分目标。若部分选项无法确定正确与否，那就当作单选题来做，选择一个自己拿得准的选项，不冒险搏5分，同时避免得0分的风险。而对于有一定把握的问题，可以采取“搏一搏”的积极策略，选择多个选项争取拿到5分。

四、教学启示

1.整合新教材提高阅读能力。新高考数学Ⅱ卷阅读量较传统高考试卷明显增加，学生在文字、信息较多的多选题阅读上存在障碍，提取信息能力不强，导致解题时间不足、效率不高。新形势下，教师要利用新教材的特点，以教材中阅读与思考、建模与探究活动等材料为载体，整合知识性、方法性、趣味性的阅读材料，创设阅读环境，加大对学生阅读能力的培养。

2.重视传统文化教育的价值。新高考数学Ⅱ卷试题更加密切地联系现实社会，重视文化与数学相融、生活与数学相通，更加强调学生学以致用。数学教学要从联系数学与生活上升到关注数学与社会、经济、文化的关系，让学生善用数学的眼光看世界。同时将数学文化引入课堂，以数学思想为脉络，浸润学生的数学欣赏能力，指向立德树人的育人目标，提升理性思维与认知能力。

3.开展经典例题的课堂教学。开展多选题解题方法教学，引导学生站在命题老师的角度思考每一个问题，拓宽学生思考问题的视野，把思维引向更深处。比如如何命题？会选择什么载体作为题设？选项如何设置？要考查什么能力和核心素养？同时多鼓励学生揭示命题视角，进而尝试命制多选题，提升解题的深刻性，让解题做到有的放矢。

4.提升夯实“双基”的解题效能。从多选题对知识方法的考查方面来看，多选题仍重视主干知识考查，体现基础性、应用性，强化从学科整体高度考虑问题，因此做好多选题仍需夯实双基。有效落实双基的训练，不是简单地重复和记忆，而是要抓住本质认识知识体系，把模块、主题、章节里的典型问题进行分类、归纳、综合，收集丰富的课堂解题教学素材，提高训练的针对性，提升多选题的解题教学效能。

5.建立体系实现关键能力提升。加强基础知识和基本技能的训练，不是简单地重复训练，而是深化认识，从本质上发现知识之间的关系和联系，从而加以分析、整理、综合，形成一个知识结构系统，使数学知识排列有序，相互关系清晰分明。因此在教学中，要加强围绕教学内容，通过思维导图、网络图、表格等工具，引领学生构建基础知识框架，将基础知识网络化，关注学生语言表达准确化、分析问题程序化等方面的培养。

6.发展创新应用的数学能力。近三年的新高考Ⅱ卷试题更加强调能力立意，尤其是对多选题的设置提出了从问题切入，整体把握数学知识体系结构，用统一的数学思想组织材料的新要求。这就需要中学数学教师在课堂教学和解题训练中重视培养、发展学生的数学能力，提高学生的创新意识和应用意识，在数学学习的过程中潜意识地培养学生的数学素养。

【参考文献】

[1]张春女.基于核心素养指引下的多选题解题教学[J].新课程，2021（36）.

[2]吉海波.高考命题新导向，试题特点呈“四化”[J].中学数学，2021（11）.

[3]王涛.从新高考数学卷探究多选题的解答技巧[J].数学教学研究， 2021（40）.

（基金项目：本文系海南省教育科学规划课题“在新高考背景下的新题型研究”的研究成果，课题编号：QJH202110067）