聚焦度量核心要素?实现度量本质相通

汪开军

【摘要】度量是小学数学图形与几何领域的重要内容，能发展培养学生的“量感”与“数感”。以面积的度量为例，这一知识在实际教学中存在着忽略度量核心要素的现象，容易造成学生“量感”的混乱与“数感”的不精确。鉴于此，可尝试以“面积单位”和“计数个数”两个核心要素一以贯之，从“长方形的面积”理解本质，到“多边形的面积”类比迁移，再到“圆的面积”整体建构，实现面积度量本质相通。

【关键词】面积度量;量感;核心要素;度量本质

一、聚焦核心，思“面积度量”的结构

1.教材分析：教材逻辑结构对教师教学的影响。笔者对人教版、北师大版和苏教版教材中关于面积度量的相关内容进行了梳理分析，发现三个版本的教材推进面积度量的教学结构是一致的，都分为“长方形的面积”“多边形的面积”和“圆的面积”，并安排在三个年级进行教学。在具体的教学建议方面，三者既有相同又有差异，主要体现在面积单位（或方格纸）的使用上。人教版教材使用最少，只在长方形和平行四边形的面积中出现了面积单位;苏教版教材用得最充分，在整个面积度量的教学中都用到了面积单位。在对面积单位的价值追求上，三个版本的教材都是在“长方形的面积”教学中让学生理解面积度量的本质，同时发现面积单位的个数与长和宽的关系，从而得到长方形的面积计算公式。关于“多边形的面积”，三个版本的教材都试图借助方格纸让学生发现平行四边形的面积与底和高之间的关系，渗透转化的思想方法;至于“三角形和梯形的面积”，基本上是运用转化的思想方法进行面积计算公式的推导。关于“圆的面积”，人教版教材不再呈现面积单位，另两个版本的教材则是以“面积单位无法精确度量圆的面积”这样一个问题制造思维冲突，让学生去探索得到圆的面积计算公式的新路径。

从以上分析中可以发现，三个版本的教材都在推进面积度量的教学过程中逐渐淡化了面积度量的本质，突出了面积计算公式的推导。但脱离面积单位谈面积单位的个数容易影响学生“量感”的发展，特别是人教版教材中平行四边形的面积一课，要求“不满一格的都按半格计算”的数法不利于培养学生的“数感”，因为教材所提供的平行四边形在方格纸中将不满一格的通过切拼之后正好都是完整的面积单位，与按半个计算的结果是相同的，但当遇到切拼之后不能组成完整的面积单位时，就会出现数的结果与实际结果不一致的情况。而且分三个阶段教学面积的度量，加之教师教哪个年级只关注那个年级的教学内容的教学习惯，容易割裂知识之间的内在联系，难以帮助学生建立结构化的领域知识框架。

2.学情分析：前期学习经验对后续学习的影响。笔者在教学“圆的面积”之前进行了前测，试图从学生对小学阶段最后一个平面图形面积的自主探究中了解前期学习经验对后续学习的影响。前测题目为“要求学生想办法知道一个圆的面积”，学生主要有三种体现不同逻辑起点的方法。方法一是用面积单位直接度量，它的逻辑起点在于任意图形面积的度量，体现了面积度量的本质，但无法得到精确的度量结果。方法二和方法三都是将圆面积的度量与圆是曲边图形的特征相结合进行思考的，方法二是将圆转化为长方形，它的逻辑起点在于长方形面积的度量;方法三是将圆切割成若干个扇形，并将扇形看成近似三角形，先得到一个三角形的面积再进一步得到整个圆的面积，它的逻辑起点在于三角形的面积计算，这两种方法均可以得到圆面积的精确值，但没有体现出面积度量的本质。由此可见，经过前期学习，大部分学生也已经脱离对面积单位的依赖，追求面积计算公式的推导，这与教材的编写和教师的教学都有一定的关系。

3.重立结构：以面积度量的核心一以贯之。基于以上两个维度的分析，笔者认为“面积的度量”领域教学是培养学生的“量感”和“数感”的重要内容，应该围绕“面积单位”和“计数面积单位的个数”这两个核心要素进行整体性的结构化教学，以面积度量的本质一以贯之。

“长方形的面积”是学生学习面积度量的开始，在这之前他们已经有了长度度量的经验，认识了常用的面积单位。作为面积度量领域的种子课，教师要引导学生感悟面积度量的本质，建立面积度量的“量感”和“数感”。

基于面积度量的本质考虑，“多边形的面积”具有整合的可能和必要。可能是因为平行四边形、三角形和梯形的面积度量的核心仍是“面积单位”和“计数面积单位的个数”。必要是因为三者在用面积单位度量时都需要运用转化的数学思想方法进行零散面积单位的归整，以便更好地计数面积单位的个数。进行整合教学有利于促进学生对面积度量的两个核心要素的深刻把握，进一步感悟面积度量的本质，为圆面积的度量作好铺垫。

有了以上面积度量的基础，在学习“圆的面积”时学生就会进行类比迁移，聚焦面积度量的核心，从面积度量的本质入手，并用“化曲为直”的数学思想方法解决无法直接精确度量的困难。在课的最后，引导学生对长方形、多边形和圆的面积度量进行整体梳理，从而建立面积度量的结构化知识体系。

二、本质相通，建“面积度量”的结构

1.理解本质——“长方形的面积”。

【环节一】任务驱动促思维。

学习任务：给学生一个没有标注长和宽（实际长为5cm，宽为3cm）的长方形，让他们想办法求出这个长方形的面积。

[设计意图：用一个开放性的任务逼学生思考“用什么度量”和“如何计数”这两个问题，同时促进其对面积概念的理解。]

【环节二】结构化作品求关联。

教师整体呈现4幅结构化作品，作品①画满面积;作品②画了一行5个面积单位和一列3个面积单位;作品③将长边分成5段，宽边分成3段;作品④测量并标注了长边和宽边的长度。通过观察与比较，学生发现从作品①到作品④由用面积单位度量到度量边的长度，度量的方式各不相同，但核心要素是相同的—用面积单位度量，数出里面包含了几个面积单位。

[设计意图：这是一组思维逐渐抽象的结构化作品，从作品①到作品④能够帮助学生建模长方形的面积计算公式，从作品④到作品①可以让学生直观聚焦面积度量的两个核心要素。]

【环节三】：建模追问悟本质。

在前一个环节的基础上提炼出长方形的面积计算公式。教师追问：“为什么两个长度相乘就是面积？”通过追问让学生更深刻地理解抽象的面积计算公式的背后“隐藏”的是面积单位和面积单位的个数，感悟面积度量的本质。

[设计意图：从直观的摆面积单位的方法到抽象的公式法，“量”的属性发生了变化—从大小属性变成长短属性，这容易导致学生“量感”混乱。上述追问让学生看到计算公式中的长度实际上代表的是所摆面积单位的个数，它的本质还是在计数面积单位的总个数。]

2.类比迁移——“多边形的面积”。

【环节一】任务驱动促思维。

学习任务：在格子图（一个方格代表1cm2）中各画出一个平行四边形、三角形和梯形，要求学生数出这三个多边形的面积，标注数字，让别人一眼就能看出有几个面积单位。

[设计意图：平行四边形、三角形和梯形属于非直角图形，学生无法用面积单位直接度量出面积的精确值，借助格子图将学生数面积单位的思维过程记录下来，为整体性的反馈提供结构化的材料。]

【环节二】结构化作品求关联。

教师整体呈现一组学生的结构化作品，通过观察与比较，求同求异，学生发现用面积单位度量平行四边形、三角形和梯形的面积时会出现零碎的面积单位，要想精确地知道面积，就需要对零碎的面积单位进行归整。归整的方法主要有两种：一种是零散归整，即把能拼成一个完整的面积单位的两小块图形拼在一起;一种是整体归整，即将图形某部分整块切割，通过平移、旋转，将几个零碎的面积单位同时归整。对方法进行择优，学生认为整体归整将原来的图形转化为了长方形，数起来会更加方便，为提炼面积计算公式打下较好基础。

[设计意图：围绕“面积单位”“计数面积单位的个数”这两个核心，对方法求同、求异和择优，让面积度量的本质深入人心。]

【环节三】建模追问悟本质。

在前一个环节的基础上根据整体归整的作品提炼出三种图形的面积计算公式。教师追问：“为什么两个长度相乘就是面积？”回顾探究的过程，学生明白两个长度实际上分别代表的是面积单位每行的个数和行数，与长方形的面积度量是一致的。

[设计意图：通过对三个图形面积计算公式的提炼与追问，一方面与长方形面积的度量进行关联，实现知识的类比迁移，另一方面使学生感悟度量的本质，结构化地推进面积度量的领域教学。]

3.整体建构——“圆的面积”。

【环节一】任务驱动促思维。

学习任务：给学生一个没有标注半径的圆，想办法求出这个圆的面积。

[设计意图：经过前期学习，学生已经理解并掌握了面积度量的本质，学会了用转化的数学思想方法解决面积单位归整的问题。因此教师以一个开放性的任务让学生自主探究圆的面积，能让不同的思维得到呈现。]

【环节二】结构化作品求关联。

教师整体呈现6幅结构化的作品，①与②是直接用面积单位进行度量，③与④是利用化曲为直和等积变形的数学思想方法，将圆转化为平行四边形和长方形，⑤与⑥则是将圆均分成扇形，利用极限思想，将扇形的弧看成直边，扇形也就成了近似的三角形。学生通过观察发现，圆是曲边图形，直接用面积单位进行度量，零碎的面积单位无法归整，所以只能得到一个近似值;将圆等积变形，均分的份数越多，转化后的图形就越接近长方形，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，从而推导出面积计算公式;将圆切割成n个

三角形，三角形的底相当于圆周长的，高相当于圆的半径，所以一个三角形的面积为，进而推导出圆的面积计算公式。

[设计意图：整体呈现6幅有思维差异的作品，体现了从“无法精确度量”到“可以精确度量”的结构化思维的过程，使学生初步感悟圆面积度量与长方形、多边形面积度量之间的关联。]

【环节三】建模追问悟本质。

在前一个环节的基础上提炼出长方形的面积计算公式。教师追问：为什么“πr”和“r”这两个长度相乘就是面积？有了“长方形的面积”和“多边形的面积”的学习基础，学生已经能够透过抽象的计算公式透视到“隐藏”着的“面积单位”和“面积单位”的个数。

[设计意图：从“长方形的面积”到“多边形的面积”教学，再到“圆的面积”教学，教师始终在用同一个问题进行追问，一方面是为了让学生真正感悟度量的本质，另一方面是了帮助学生建立正确的“量感”。]

【环节四】回顾沟通建结构。

回顾长方形、平行四边形和圆面积度量的整个学习过程，使学生明白将平行四边形、三角形、梯形和圆转化为长方形是为了方便用面积单位直接度量，理解计算公式中的长度其实都代表一行可以放几个面积单位、可以放几行，计算公式是为了更快捷方便地数出面积单位的个数。通过回顾梳理，让学生聚焦面积度量的核心要素—面积单位和面积单位的个数，实现面积度量本质相通。

[设计意图：本环节的教学在帮助学生梳理面积度量领域学习过程的基础上，以“面积单位”和“计数面积单位的个数”为核心建立起结构化的领域知识体系，让这部分数学知识从碎片化走向整体化。]

三、教学反思，话“领域教学”的建议

教材基于知识的逻辑结构以螺旋上升的方式，将同一领域具有一致的学科本质的学习内容编排在不同的年级，让学生循序渐进地学习。但数学教师在教学过程中，容易割裂知识的内在联系，造成知识的碎片化。美国心理学家布鲁纳认为，一门学科的课程应该决定于都能达到的，给那门学科以结构的根本原理的最基本的理解。为了达成这样的目标，笔者认为可以从以下两方面入手做好领域结构化教学。

1.体现学习内容的结构性。“长方形的面积”“多边形的面积”和“圆的面积”作为图形与几何领域中“图形的认识与测量”主题下的内容，都是对图形的大小进行定量研究，它们的研究对象（面的大小）、研究工具（面积单位）和研究方法（计数面积单位的个数）都是相同的，因此教师要跳出教材以单元、册为单位的编排结构，站在领域的高度整体分析，建构可系统推进的领域教学结构，有效地帮助学生建立结构化的知识体系。

2.保持学科本质的一致性。面积的本质是用一个“数”去刻画一个面的大小，而这个“数”就是面积单位的个数。因此，无论是长方形的面积、多边形的面积还是圆的面积，它们的本质并不是所要推导的面积计算公式，而是隐藏在计算公式背后的计数对象和计数对象的个数。计数对象反映了物体被度量的属性，指向“量感”的培养，计数对象的个数反映了被度量属性的大小，指向“数感”的培养。在领域结构化教学中，保持了学科本质的一致性，核心素养的培养就能得以落实。

【参考文献】

[1]马云鹏.聚焦核心概念 落实核心素养—《义务教育数学课程标准（2022年版）内容结构分析》[J].课程教材教法，2022（04）.

[2]赵炯美，鲍建生.中小学数学课程中的一条主线—度量[J].小学教学（数学版），2017（10）.