重尾模型尾指标的一种新估计

樊利利

(吕梁学院 数学系，山西 离石 033001)

0 引言

重尾模型是极值统计的主要研究对象，在许多极端事件中都需要用重尾分布去建模、推断、预测.

在极值统计中γ是最主要的参数之一，γ越大，模型F的尾部就越重.因此，尾指标γ直接刻画了模型F的行为特征.

由于重尾模型在气象水文、环境工程、气候、通信等很多领域，对数据建模和预测都有很好的应用.因此，重尾模型尾指标的估计引起了统计学家的关注，尾指标的各种估计也相继在文献中出现[2].

Hill估计是经典的尾指标估计，它的收敛性质和渐近正态性都被很多学者研究过[3].

但Hill估计是渐近有偏的，为了改进这种缺陷，专家们提出了减偏Hill估计[4]

和加权纠偏估计

Pickands估计也是尾指标估计之一

由于Pickands估计只用了其中的3个次序统计量来估计尾指标，造成了数据信息的大量丢失，渐近方差很大，这个估计是不稳定的.

1 相关定义和结论

引理2.1[5]设F∈D(Gγ)，则存在一个正函数a，使得对x>0时，有

若γ>0，则上式等价于

引理2.2[6]对∀ρ<0，φ(u)=-(u-ρ-1)/ρlogu在u∈[0,1]上是有界单调函数，且0≤φ(u)≤1，∀u∈[0,1].

2 相合性和渐近正态性

定理3.1设X1，X2，…,Xn独立同分布于F，且F∈D(Gγ)，λ>0，则当n→∞，k=k(n)→∞，k/n→0时，有

定理3.3设X1，X2，…,Xn独立同分布于F，并且F满足二阶条件，即对∀x>0，

或等价地

上式中的Nk为渐近标准正态随机变量.

其中N是标准正态随机变量.

证明：由定理3.2的结论，我们有

再有定理3.3的结论，可得

于是，定理3.4结论得证.