基于学习路径分析的“混合运算”单元整体教学——明确学生基础顺学而教

□滕艳艳 章勤琼 厉梦妮

混合运算是小学阶段“数与代数”领域的重要内容之一，其本质是在讲述两个或两个以上的故事时，用带小括号的混合算式解决问题[1]。在实际教学中，有些教师比较注重混合运算顺序的教学，强化训练学生灵活运用小括号的能力，而对于小括号的含义，即先解决的问题要加上小括号这件事情含糊其词。混合运算的学习中应关注哪些本质内涵？设计怎样的学习任务能帮助学生更好地理解其本质？从基于学习路径分析的单元整体教学思考框架出发[2]，对本单元的教学进行整体思考。

一、理解单元学习目标

（一）单元内容概述

“混合运算”单元一般设置在二年级下册进行教学。以北师大版和人教版教材为例，两个版本的教学目标定位如下。

人教版：让学生正确理解和掌握含有两级运算的混合运算顺序；在实际情境中经历解决问题的过程，逐步学会列综合算式解决需要两步计算才能解决的问题；能正确按照运算顺序进行脱式计算。

北师大版：在解决现实问题中经历抽象出混合算式的过程，理解混合算式的意义和运算顺序，并能正确按照运算顺序进行脱式计算；会用分步算式或综合算式解决问题；体会“先乘除后加减”的合理性以及小括号在混合运算中的作用，掌握混合算式的运算顺序。

对比两个版本教材的学习目标，可以看到内容要求上的共性：理解混合算式的意义；能进行脱式计算；掌握混合算式的运算顺序；列混合算式时灵活运用括号。

（二）确定核心目标

在混合运算中出现的情况可能是大故事包含小故事，也可能是几个并列的故事。在原本的意义上，这些故事应当分别讲述，如果希望用一个式子表达大故事包含小故事，就形成了混合运算。用小括号表示大故事包含的小故事，用加号表示并列的故事。为保证混合运算的计算结果与分别计算的结果保持一致，就必须学习新的运算顺序。因为学生灵活运用小括号列混合算式需要以新的运算顺序为基础，所以确定本单元的核心目标是理解小括号的含义并掌握混合算式的运算顺序。

（三）核心目标具体化

1.理解小括号的含义

“数学中有四种括号，分别是圆括号（小括号）、方括号、花括号和线括号。括号的使用有一些讲究，例如，5a-{3a-[(a-b)c+2ac-bc]}，这些括号不能省略，否则就会乱套。但在某些不必计较运算顺序的数学式子里，括号是可以省略的，如（ab）+c可以写成ab+c。”[3]可见，关于小括号，学生需要理解的是在混合运算中，先算的部分用小括号来表示。而根据运算顺序去掉的括号，学生可以自主选择去或者不去。

2.掌握混合算式的运算顺序

在混合运算中，关于运算顺序有两个法则：有括号，先计算括号里的；没有括号，先乘除后加减。为什么要规定这样的运算顺序呢？首先，在生活中应用比较多。如“去菜场买了2 捆青菜，每捆1 元；买了3 斤鱼，每斤5 元。一共要付多少钱”，先算每样物品的钱，再加起来求付出的钱的总数，这样计算比较简便。如果规定“先加减后乘除”的话，在很多计算中都必须使用小括号，为了减少使用括号的麻烦，还是规定“先乘除”比较好。其次，从运算效率上来看，乘除比加减快捷，为了达到在计算上迅速、方便的目的，人们就规定了“先乘除后加减”。

因此，混合算式运算顺序的具体内涵是：通过列混合算式的过程，体会先乘除后加减的规定可以使算式更加简洁。在解决问题中能根据新的运算顺序列出混合算式并正确进行计算。

二、确定学习起点

为了解学生的学习起点，对三年级270名学生的混合运算掌握水平进行前测。基于核心目标具体化的分析设计相应的评价任务，结合学生的答题情况对其掌握水平进行统计、分析、层次划分，构建了混合运算掌握水平表现性评价框架（如表1）。

表1

前测任务、设计意图以及对应水平层次如表2所示。

表2

每份前测单的答题情况能清楚地表明该学生处于哪个水平层次。口算部分中所有学生都知道从左往右算，有78%的学生能辨析出二级运算要先乘除后加减。解决问题部分中学生的水平层次划分（水平2～4）具体标准如下：列出的混合算式是50-3×8和50-20÷5，没有考虑到运算顺序和事情发展顺序的一致性为水平2；若列混合算式时都加上了括号属于水平3；若能根据从左往右的运算顺序灵活使用括号为水平4。

对前测数据进行统计分析（如图1），有接近36%的学生处于水平0 和水平1 的层次，即列混合算式有困难。如果让学生在实际情境中经历列混合算式的过程，那么这些学生要在一节课内既学习如何列混合算式，又学习新的运算规定，还要能运用新的运算规定灵活使用括号，难度偏大。因此，能利用已有知识分析数量关系，列出分步算式是学生的学习起点，而能在考虑新的运算顺序的情况下将分步算式合并成混合算式是学生学习的重难点。

图1

三、分析学习路径

基于以上分析，对本单元的学习路径做了相应的调整与优化。

首先，创设实际情境，让学生初步学会借助直观图等方式分析、表示数量关系，列出分步算式，经历在实际情境中抽象出混合算式的过程，并运用小括号保证先算。其次，掌握两级混合算式脱式计算的方法，并在实际情境中将脱式计算的过程与分步运算的过程进行一一对应，感受解决问题策略的多样性，培养有条理地叙述自己思考过程的能力。再次，明确“先乘除后加减”的规则，让学生经历二级混合运算去括号的过程，体会运算规定的合理性，使学生正确理解和掌握含有两级运算的混合算式的运算顺序，从而培养其在解决问题时灵活运用括号的能力。最后，进行同级混合运算和二级混合运算顺序的对比辨析，使学生能真正地灵活运用括号列混合算式。

四、单元整体教学思考

以人教版教材为基础，在保证5课时教学时长不变的情况下调整教学内容。具体教学目标为：以“画图”为辅助，从“明确数量关系”到“列混合算式”，培养抽象能力；以“检验”为手段，从“不一致”到“一致”，培养反思意识；以“去括号”为契机，从“外化规定”到“内化规定”，感受数学是讲道理的；以“说故事”为载体，从“式”到“故事”、从“图”到“故事”，培养应用意识。每课时的教学内容和教学目标如表3所示。

表3

续表