借助直观表征 经历乘法形成——人教版教材二年级上册“乘法的初步认识”教学实践

□陈巨峰 倪乃忠

“认识乘法要从数数开始”可以很好地体现乘法含义的形成过程。在本课教学中，教师可让学生结合图式、连加算式等进行群数，表示数的结果“几个几相加”，并在此基础上凸显用乘法表示的必要性。“坐标模型①乘法在集合语言下的定义：自然数a乘自然数b得到乘积a×b，是指a所代表的集合A，与b所代表的集合B所形成的笛卡尔积的基数（张奠宙，孔凡哲，黄建弘，等，《小学数学研究》，高等教育出版社，2010年版，第27页）。这个定义是建立在直角坐标基础上的，所以笔者把它称为“坐标模型”下的乘法含义，也可以称为“点阵模型”下的乘法含义。”是一个融合了乘法算式两种不同含义的直观模型。教师可提供相应的学习材料，让学生自主探究，发现特征。同时，结合具体的图式，让学生的认识从一般含义延伸到特殊含义，完善对乘法的认知。

一、分层体验，感受乘法产生的背景

通过“看情境图→画示意图→找数据信息→数数”等流程，让学生在概括出乘法含义之前，可以积累丰富的有层次的素材。

（一）逐步递进，列加法算式

找到“几个几相加”中“几个”和“几”对应的量，数出“几个”和“几”，对后续乘法模型的建立有很好的铺垫作用。

教师出示人教版教材二年级上册第47 页例1中的“小飞机”主题图，请学生进行以下操作。

1.数一数，明确每份中有“几”。让学生数一数每架小飞机里坐着几个人，数出每一个“3”，从而明确每个“几”。

2.圈一圈，圈出“有几个几相加”。学生在这一主题图中找到两条数学信息：每架小飞机坐3 人；有5架小飞机。教师让学生根据这两条数学信息，在图中一边圈一边数，数出“5”和“3”这两个数。

3.画一画，画出“有几个几相加”。用小圆圈代表每一个坐在小飞机里的小朋友，把具体情境符号化，这是将具体情境抽象为数学表征的重要步骤。学生通过画一画，数一数，数出图中有5个3。

4.加一加，写出“几个几”。用“3”表示一个整体，将具体形象的表达方式转变为数的整体表达，进一步过渡到5 个3 相加——写出连加算式，并在加法算式下标注出“5个3”（如图1）。

图1

通过在不同形式下反复地“几个几个”数数，可帮助学生建立连加与“数数”的联系，从而积累更多的感性认识。

（二）变换情境，丰富连加例子

利用数数与连加表达的经验，用以上四个步骤表示教材例1 中“小火车”和“过山车”主题图中一共的人数（如图2）。

图2

诚然，对于课前已经有了乘法认识经验的学生而言，依据图式可以直接列出乘法算式，但他们并不一定理解其与加法的关系。因此，笔者有意识地“回避”乘法的表达，采用示意图、连加与说清楚图中“有几个几相加”等方式记录“数数”的过程，并且不计算出“数数”的结果。

（三）比较概括，提炼共同特征

相同加数连加，加数可以与实物或图式在数量上实现一一对应，这是学生在经历了“数一数”“圈一圈”“画一画”“加一加”这四个层层递进的活动后积累的数学基本活动经验。在此基础上，进一步引导学生观察以上三个题目的相同点。学生发现，它们都是通过“数一数”，得到“有几个几相加”。相同加数连加只是一种一一对应的群数表述。

以上过程，通过让学生结合具体材料，在不同形式的表征（实物、示意图、相同加数连加算式）下进行群数，得到“几个几”，为乘法含义的认识与乘法表达形式的构建做足了准备。

二、适时提炼，体会乘法含义的表达

将一种表征形式转化为另一种表征形式是数学学习的一个过程。教师要让学生体会到用连加表征“有几个几相加”转化为用乘法表征“有几个几相加”的必要性，并经历这个转化过程，从而更深刻地理解乘法的含义。

（一）延伸比较，认识连加缺点

在前面的学习中，学生已经感受到用加法表示“有几个几相加”时，加数的个数有多有少，并且在列加法算式时需要重新数出加数的个数。在此基础上，教师进一步延伸“小火车”问题，即如果有10节车厢，那么用加法表示要写几个6？如果有100节车厢，要写几个6？在表示10 个6 相加时，教师按加法算式进行板书，而在表示100个6时，教师只板书“100 个6 相加”，不板书加法算式，并提问：为什么老师不写加法算式？学生自然而然地指出是因为加数个数太多了。

通过不断地增加加数的个数，让学生进一步感受到当加数个数太多时，相同加数连加越来越具有局限性，由此产生运用乘法的必要性。

（二）沟通求联，形成乘法表达

教师依据学习材料，进一步引导学生观察并思考问题：这些加法算式有什么共同点与不同点？都表示什么？前一个问题，学生可以直接回答，共同点是每个算式里面的加数相同，不同点是个数不一定相同。后一个问题是对相同点与不同点的进一步提炼，都表示“几个几相加”。

顺着学生的思路，教师在“小飞机”主题图中的“5 个3”下面写上乘法算式，并指导学生先读一读这两个算式，再自己写一写，依据乘法的含义标上箭头（如图3）。模仿同样的过程，让学生在其他“几个几相加”的下面添上相应的乘法算式。

图3

在以上教学过程中，教师充分照顾零起点学生的学习思路。同时也让已经有了乘法认识的学生能够完整扎实地经历“相同加数连加”到“几个几相加”再到“几乘几”的过程，感受到乘法是对“几个几相加”的符号化表达。

（三）对比整理，丰富乘法含义

通过以上学习，学生感受到可以用一个连加算式概括出“有几个几相加”，也可以用两个乘法算式表示“几个几相加”。在此基础上，教师出示新的情境，让学生结合具体的情境图，来理解一个乘法算式可以有两个不同的加法算式，即两种不同的含义。

教师出示教材第48页例2的气球图，请学生按照“画一画”“加一加”“数一数”“写一写”这四个步骤经历乘法算式形成的过程（如图4）。在此基础上，教师引导学生与前面学习的“小飞机”图进行比较，说一说有什么相同点与不同点。

图4

学生通过比较发现，虽然写出的乘法算式是相同的，但它们的含义是不同的。教师进一步概括，像这样的乘法算式（两个乘数不同），可以对应两个不同的加法算式，也就是说有两种不同的含义，如“5×3”既可以表示“5个3相加”，也可以表示“3个5相加”，需要依据实际情境做出判断。教师请学生选择上一个环节中概括的乘法算式，表述出另外一种意思，用连加算式与图式分别表示。

概括乘法算式时，不是直接从“相同加数连加”的算式概括，而是从“几个几相加”概括，并且只关注这一种表征形式，不要求计算出结果。从而让学生更好地感受到乘法是“几个几相加”的一种符号化记录，为进一步认识乘法做铺垫。

三、逐步变式，完善对乘法含义的认识

通过以上环节的学习，学生充分认识了“相同加数连加”可以概括成“几个几相加”，而“几个几相加”又可以用乘法算式进行表达。“几个几相加”写成乘法算式时有两种形式，而一个乘法算式又有两种“几个几相加”，也就是说可以写成两种不同的加法算式。当然，这些都是在一般情况下发生的，还有一些特殊的情况。对特殊情况进行认识，可以进一步完善对乘法含义的理解。

（一）回溯辨析，深刻认识含义

教师将前面的气球图改为题组（如图5），先由学生独立完成，然后反馈或提出问题。从图中可以发现，气球数在5个5个地减少，到了最右边这张图只有“1 个5”，学生能够列出乘法算式“5×1”或“1×5”，但在填写加法算式时出现了分歧，一部分学生认为是“1+1+1+1+1”，另一部分学生认为这不对，因为这个加法算式表示的是“5 个1”，所以没有加法算式。

图5

通过辨析，学生进一步发现，乘法算式表示“几个几相加”，只“1个5”时，也可以用“1×5”表示。

（二）观察延伸，体会自乘模型

以“3个5”的气球图为基础，再增加两组，成为“5个5”（如图6）。依据之前的思路与格式填写，学生发现乘法算式只能够填一个。教师进一步引导学生将本算式与其他可以写两个乘法算式的题目进行比较，学生发现加数与加数的个数相同。

图6

教师进一步写出乘法算式4×4、3×3、2×2和1×1，请学生先说一说它们的意思，接着独立画出图式表示它们的意思，完成后进行交流。

通过上述过程，学生完善了对乘法含义的认识，理解了图式、加法算式与乘法算式相互对应的一般性与特殊性。

（三）图式重构，感知“坐标模型”

教师出示图7，提出问题：图中一共有多少个小圆？要求学生先有规律地圈一圈、数一数，然后列出加法算式与乘法算式。学生按要求独立完成后全班交流。学生发现一个图式有两种意思，按照“每行4 个，有3 行”列出的加法算式是“4+4+4”，而按照“每列3个，有4列”列出的加法算式是“3+3+3+3”。同时，这两个加法算式，用乘法列出的算式又是相同的，即“4×3”或“3×4”。

图7

教师进一步出示格子图（如图8），请学生分别列出求各个图式中小正方形数的加法算式与乘法算式。学生独立完成后进行交流，发现只可以列一个加法算式与一个乘法算式，且最后一个图式只有乘法算式。为什么呢？学生比较后发现，这是因为每一个图式的每行个数与行数均相同，组成的形状是正方形。

图8

把图形摆成长方形与正方形，求其中的单位图形的个数，这属于“坐标模型”，在求总数时，需要把它转化成“几个几相加”才可以列出相应的加法算式与乘法算式，这是对乘法含义的进一步表达，也为后续学习长方形、正方形面积计算公式打下了基础。

“认识乘法要从数数开始”是笔者概括乘法含义的基本思路。图式与连加提供了“数数”的对象，得到“几个几相加”，进而用乘法表达式记录“几个几相加”。“坐标模型”则是综合了乘法两种含义的重要模型，并对“长方形模型”与“正方形模型”的区别进行了明晰。在以上教学过程中，笔者没有要求学生标注乘法各部分的名称，只要求在书写过程中说明乘法的写法，从而将关注点集中在对乘法含义的认识上。