思辨，让学习触及数学本质——“认识倒数”教学案例与反思

江苏省南京晓庄学院第一实验小学 应华峰

南京大学郑毓信教授认为，“我们应当通过数学教学使学生一天比一天智慧，一天比一天聪明，也即应当努力促进学生思维的发展与理性精神的养成。”数学学习应当帮助学生学会理性思维，并由理性思维逐步走向理性精神、理性气质。善于思辨是理性气质的重要特征之一，它让学生逐步学会如何想得更清晰、更深入、更全面、更合理。“认识倒数”属于概念教学内容，如果采用有意义的接受学习方式，从认知层面来看，对于六年级学生来说理解上不会有太大的困难，但从思维层面来看又似乎缺少了一些挑战性。面对这样的学习内容，如何才能“转知成智”？如何激发学生深度的、理性的思考？本文以“认识倒数”一课为例，尝试阐述将“思辨”作为数学教学目标与方法的实践与思考。

一、核心问题促思考

数学课程标准中指出，“运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”这句话告诉我们，培养学生用数学方法、从数学角度进行思考和辨析是增强学生发现、提出、分析和解决问题能力的主要途径。反过来看，好的问题也可以促使学生更加积极主动地思考和探究。

片段一：

师：今天这节课，我们一起来研究数学中的倒数。看了课题，你们的头脑里出现了哪些问题？

生：我想知道什么是倒数。

生：倒数是一种怎样的数？是倒过来写的数吗？

生：倒数和以前学的哪些数之间有什么关系？

生：已经学了那么多数，为什么还要学习倒数？

生：学习倒数有什么用？

师：爱因斯坦曾经说过，提出一个问题往往比解决一个问题更重要。同学们提出的这些问题都很有价值！将大家的问题梳理一下，可以归结为这两个问题：①什么是倒数？②为什么要学习倒数？通过大家的问题，我发现对于第一个问题，很多同学已经有了一些初步的思考和猜想。

师：首先老师得告诉大家，倒数其实并不是一种数，而是表示两个数之间的一种特殊关系。那么，互为倒数的两个数之间，到底存在着怎样的关系呢？这个问题是我来讲，还是我提供一些资料你们自己来研究？

生：让我们自己研究。

师：我特别欣赏你们这种勇于探索、乐于思考的精神。下面，请大家拿出学习单，上面有10个数，这其中就有一些数是互为倒数的关系，你们能试着把它们找出来吗？和小组同学说说你们的理由。

评析：“倒数是倒过来写的数吗？”“倒数和以前学的哪些数之间有什么关系？”“已经学了那么多数，为什么还要学习倒数？”尽管学生所提的问题未必都适合这节课来研究，但是我们可以发现，学生提出的问题已经体现了他对学习内容和学习方法的初步思考。接下来，教师精心选择了10个数，其中包含分数、小数和整数，为学生探究倒数这一数学概念提供了丰富的学习素材和广阔的思维背景。与此同时，教师提问：“这些数中就有一些是互为倒数的关系，你们能试着把它们找出来并说明理由吗？”这个问题是开放且具有挑战性的，为学生基于已有经验展开猜测、尝试、假设、推理等思维活动提供了丰富的可能。

二、差异思维引辨析

学生思维品质的差异是客观存在的，它影响着一切学与教的活动。教师在教学过程中要关注学生思维的差异，尊重差异、利用差异，引导学生积极地开展对话交流、辨析讨论，为学生营造有利于思维发散的课堂环境，让学生在质疑思辨中相互促进、齐赢共生。

片段二：

学生自主思考并完成“探究学习单”，先在小组内交流，再进行全班交流。

生：我认为，分子和分母相互颠倒的两个分数，互为倒数。

生：我认为，只要把一个分数的分母和分子位置调换一下，新的分数就是原来分数的倒数。

生：我有一个问题，是不是只有分数才有倒数？

师：好问题！老师必须提醒大家，在这些数中除了刚才大家找出的这两对数，还有一些数也是互为倒数的关系哦！带着数学的眼光，再仔细找一找吧。

师：有理有据，表达得也很清晰，掌声送给他们！还有谁要补充吗？

在判定中小零售企业电子商务商业运营模式框架基本组成结构后，要结合其实际要求和市场环境建立健全完整的后续管理机制，从根本上提升企业的行业竞争力，也为管理工作的顺利开展奠定基础。

生：我认为5和0.2不是互为倒数。倒数倒数，起码得有倒过来的东西吧。5和0.2连分数都不是，根本倒不过来。

生：我认为倒数可能并不能简单理解成倒过来的数，如果那样，5.0和0.5也是互为倒数。

师：同学们真善于思考，真棒！带着这些思考，让我们打开数学书，看看书上是怎么介绍倒数的。

三、 质疑辨析达融通

深刻的辨析离不开细致的思考，而学生的思考也是一个不断深入的过程。学生一开始的思考往往不够准确、不够深入，甚至不正确，怎样纠偏学生的错误认知呢？教师不如先引导学生质疑和辨析，让学生在“辩”与“辨”的过程中加深对数学的理解。

片段三：

师：通过刚才的学习，同学们已经会求一个数的倒数了。现在观察黑板上这么多组互为倒数的两个数，你们有什么新的发现？

生：我发现，一个真分数的倒数一定是一个假分数。

生：我反对，如果这个真分数的分子是1，那它的倒数其实是个整数。

师：你能举个例子说明吗？

生：我不同意，1就不行，因为1的倒数就是1。

生：我补充一下，这里的整数还不能包括0，因为0没有倒数。

生：我想总结一下，比1大的自然数，它们的倒数一定是真分数，而且是分子为1的真分数。

师：听懂他的话了吗？这个同学的发言还能给你哪些启发？

生：我发现比1大的数，它的倒数一定比1小。

生：我发现比1小的数，它的倒数一定比1大。

生：一个数越大，它的倒数就越小；一个数越小，它的倒数就越大。

……

师：看来，现在大家对倒数有了更深入的认识。课的最后，让我们再来看看课前同学们提的这些问题，这些问题你们都已经解决了吗？你们又有了哪些新的认识和思考？

评析：上述教学片段中，对于倒数的特征教师让学生自由表达自己的观点，持有不同意见的学生之间展开了辩论。正是在相互辨析、相互补充的过程中，学生的思考愈发深入，错误认知得以纠正，模糊的思考更加明晰。教师最后的问题引导学生回顾课始提出的问题，除了首尾呼应，更重要的是让学生的“思”与“辨”始终交织进行着，学生在思考中进行辨析，在辨析的过程中又不断地纠偏和完善思考，使思考愈加深入和准确。

三、反思

（一）促发学生思辨的好问题从哪里来

首先，好问题应该来自学生。前提是教师要充分信任学生，并为其创造足够的机会和空间，很多时候学生可以自己提出高质量的问题，而且学生自己提问的潜能往往出乎我们的意料。同时，教师还要引导学生尝试从不同角度提出问题，并且要善于捕捉学生提出问题中的亮点，及时加以赞赏和肯定，提高学生提问的自信心和主动性。其次，一个开放的、具有挑战性的好问题更多来自教师的精心设计。因为开放，所以充满不确定性，最有可能诱发不同层次思维活动的发生，让学生有从多角度切入思考的可能；因为有挑战性，能造成适度的思维“压迫感”，迫使学生进行深度思考，由此激发学生的思辨意识。

（二）学生的思辨如何才能走向深刻

思与辨相辅相成、互相促进，思考愈加细致，则辨析愈加深刻，继而促进学生更深入的思考。思是辨的根基，要提高思辨的深度，需要教师在教学中创设条件引导学生充分的思考，让思考成为学生辨析的有力支撑。学生如果没有经过充分的思考，就随意发表见解，常常会陷入越辨越迷糊的糟糕境地。教师在学生辨析讨论时，也要善于引导学生进一步思考，对数学的本质这一核心问题进行更深入的思辨。辨是思的外化，要提高思辨的精度，需要学生用数学语言将内思的过程和结果表述或展示出来。在日常数学教学中，教师要注意通过诸多实例的推敲，锤炼学生的数学语言，让学生的数学表达有较强的逻辑性和思维的严密性。

（三）思辨的过程中教师的角色与作用

数学课程标准指出，有效的教学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。教师要认真观察、仔细倾听学生的思与辨，当学生的思辨没有朝着既定目标推进，或者推进得不够深入时，教师需要以合作者的角色参与思辨，在其中穿针引线，让学生找到深刻思辨的触发点。教师要掌握引导的度，引导的目的不是参与，而是抛砖引玉，推动学生更多地参与思与辨的学习活动，将学生思辨的重心逐步推向既定目标。

思辨让学生的思考更清晰、更深入、更全面，是数学理性精神的重要特征之一。思辨既是数学教学的价值追求，也是数学学习中重要的学习方法。以问促思、以思引辨、以辨明思，思与辨是不可分割的整体，共同推动着数学学习不断走向深入，让学生的理性思维得到发展，学生的数学素养在思考与辨析中也必将得到显著提升。