RSA公钥密码系统的教学设计及应用

丁婷婷，方贤进，梁兴柱，石文兵

（1.安徽现代信息工程职业学院 信息工程系，安徽 淮南232001；2.安徽理工大学 计算机科学与工程学院，安徽 淮南232001）

0 引言

在教育部最新设置的18个计算机类专业目录中［1］，信息安全（080904K）、网络空间安全（080911TK）、保密技术（080914TK）、区块链工程（080917TK）和密码科学与技术（080918TK）等专业的课程体系中均涉及现代密码学课程，并且都是这些专业的核心课程.RSA公钥密码系统在现代密码学中具有非常重要的地位，也是国际上最成功的密码系统之一，目前被广泛应用于各种网络、通信与软件系统中.RSA公钥密码系统中的教学知识点多且较为枯燥，在教学中往往会使学生产生厌倦情绪.为了提高RSA 公钥密码系统的教学质量，真正让学生学有所用，很多教师进行了教学改革与研究，如丁勇［2］提出了使用有限群抽象代数知识来证明RSA 能够正确解密，从而帮助学生理解和学习RSA 公钥系统；周洁等［3］指出了RSA算法涉及的基于数学难题的教学模式，包括素数、欧拉函数、最大公约数、欧几里得除法、同余、模幂计算和中国剩余定理等；胡小明等［4］从理论教学和实践教学两方面对信息安全专业密码学课程进行探讨，并提出一套新颖的教学方法和课堂评价标准；田有亮等［5］从算法思维的角度讨论了模块化教学思路的可行性.为了在教学中能够让学生充分理解RSA 公钥密码系统，训练其学习现代密码学的算法思维，培养其利用RSA 公钥密码系统解决实际问题的能力，论文梳理了RSA 公钥密码系统教学中的理论知识、算法和性质，包括欧拉定理、RSA 的密钥生成算法、RSA 加密算法、RSA 解密算法、RSA 数字签名和RSA 算法的乘法同态性；总结了几个RSA 公钥密码系统的安全性原理，包括选择密文攻击、共模攻击和低指数攻击等；针对RSA 公钥密码系统教学中的理论知识、算法、性质和安全性原理等构建了函数库，并通过案例教学验证了函数库的可用性，提高了学生解决复杂工程问题的能力.

1 RSA公钥密码系统教学体系设计

1.1 教学体系设计思路

RSA公钥密码系统教学涵盖的知识点多，特别是数学知识，实用性比较强.因此，为了加强理论学习的系统性和全面性，按照所需掌握的基本知识层递关系，将RSA 公钥密码系统教学体系设计为四层.第一层是数学基础理论层，包括Euler 定理、Euler 函数、最大公约数和数的素性等；第二层是函数库层，包括最大公约数计算、大整数幂模运算、扩展的Eculid 算法、模运算乘法逆元、快速积运算、快速幂运算和素性判定运算等；第三层是RSA 算法层，包括密钥生成算法、加密算法、解密算法、数字签名算法和验证签名算法等；第四层是RSA 应用层，涉及RSA 的性质与安全性内容，包括RSA 算法的乘法同态性、选择明文攻击、选择密文攻击、共模攻击和低指数攻击等.

通过讲授、讨论，使学生能够了解RSA 公钥加密系统针对性的理论和定理，掌握基本实现原理，重点掌握传统加密算法和解密算法等.

1.2 RSA公钥密码系统教学体系设计中各层之间的关系

函数库层中各函数的形式化说明，以及函数层中各函数与RSA 算法层、RSA 算法层与RSA 应用层的调用关系设计如表1和表2所示.

表1 函数层与RSA算法层之间的调用关系

表2 RSA算法层与RSA应用层之间的调用关系

RSA 算法层与RSA 应用层之间关系的梳理，一方面是为了实现案例教学，提高课堂的教学效果，另一方面，通过实现RSA 算法的乘法同态性、选择密文攻击、共模攻击和低指数攻击等应用训练学生解决复杂工程问题的能力.

2 案例教学

为了避免出现“满堂灌”等枯燥乏味的说教方式，选择具有实际应用背景、典型的案例融入教学设计中，使课程内容更加形象、丰富，不仅能激发学生的学习兴趣，还能加深学生对知识的理解和运用［6］.例如，在教学中通过案例一和案例二的求解和验证，使学生理解并能够灵活运用RSA 算法常见的攻击方式以及RSA密码体制的同态性分析.

2.1 案例教学一：RSA算法中的共模攻击

问题：若用户user1 和user2 共享模数n=524 747，他们的公钥e1，e2分别是30 283，8 209.若攻击者截获user1 和user2 对同一明文m加密的结果分别是c1=51 297，c2=365 457.求解攻击者破解明文m的方法并进行验证.

解答步骤如下：

实验运行的结果如图1所示.

图1 共模攻击实验验证结果

2.2 案例教学二：RSA算法的乘法同态性

问题：对于明文m1，m2，验证RSA是否有乘法同态性，即是否存在：Ee（m1m2）≡Ee（m1）*Ee（m2）.

解答步骤如下：

实验运行的结果验证了RSA算法具有乘法同态性，如图2所示.

图2 RSA算法乘法同态性验证

3 结语

论文实现了将RSA 公钥密码系统进行分层次教学设计，并建立了RSA 公钥密码系统教学的函数库，通过案例教学的方式丰富教学内容，提高了课程教学质量以及学生应用RSA 解决实际问题的能力.经教学实践表明，RSA公钥密码系统教学体系设计获得了良好的教学效果.但本文建立的函数库的计算范围只涉及整数域，还未达到工业级别RSA 安全性的需求，故不能在商用RSA 加密、解密和数字签名中进行应用，这也是今后要进行研究的工作.