应用微分思想突破电磁感应图像问题

邹范勇

(广东省中山市中山纪念中学)

电磁感应中的图像问题能够很好地考查学生物理建模、推理运算、数形结合等综合处理物理问题的能力,集中反映学生的物理观念、科学思维等物理学科核心素养,已经成为近些年高考考查的热门内容.本文以电磁感应问题中经常出现的三种模型为例,详细讨论微分思想在处理图像问题中的应用.

1 基本模型

例1如图1所示,两电阻不计的足够长平行光滑导轨倾斜放置,上端连接一电阻R,空间有一垂直导轨平面向上的匀强磁场,其磁感应强度为B,一质量为m的导体棒与导轨接触良好,从某处自由释放,下面四幅图像分别表示导体棒运动过程中速度v与时间t的关系、加速度a与时间t的关系、机械能E与位移x的关系,以及通过导体棒的电荷量q与位移x的关系,其中可能正确的是().

图1

命题立意题设属于典型的导体棒切割模型,涉及法拉第电磁感应定律、欧姆定律以及牛顿第二定律的考查.分析问题时既要判断物理量本身的变化趋势,又要判断相应物理量变化率的变化情况,综合性强.

分析如图2所示,对导体棒受力分析,根据牛顿第二定律和欧姆定律知(设导轨宽度为L)mgsinθ－BIL＝ma,I＝.联立得

图2

在导体棒运动过程中,取一段无穷短的时间Δt,该段时间内导体棒位置变化Δx,速度变化Δv,加速度变化Δa,机械能变化ΔE,流过导体棒的电荷量为Δq.根据微分思想,v-t图像、a-t图像、E-x图像、q-x图像中曲线切线的斜率分别表示

2 含源模型

例2如图3所示,间距为l的足够长光滑平行导轨竖直放置,上端连接电动势为E的电源.一光滑金属棒横跨在两侧导轨上,且与导轨始终良好接触,足够大的匀强磁场垂直于轨道平面,磁感应强度为B,回路的总电阻R保持恒定.由静止释放金属棒,之后某时刻闭合开关S,则下图中金属棒速度v、回路中电流i随时间t变化的关系图像可能正确的是().

图3

命题立意题设综合考查了与闭合电路欧姆定律以及牛顿第二定律相关的动态变化问题,能够很好地反映学生应用微分观念处理问题的物理思想,考查学生结合数学图像处理物理问题的能力.

分析根据闭合电路欧姆定律及牛顿第二定律知E＋Blv＝iR,mg－Bil＝ma.联立得

3 含容模型

例3如图4 所示,匀强磁场中水平放置两足够长的光滑平行金属导轨,导轨的左侧接有不带电的电容器C.金属棒ab在导轨上向右运动,运动过程中棒始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触,不计导轨电阻.在t0时刻闭合开关S,则下图中金属棒速度v、加速度a、电容器所带电荷量q、回路中电流i随时间t变化的关系图像可能正确的是().

图4

命题立意题设属于含有电容器的导体棒切割模型,涉及电容的定义、感应电动势的计算、电路结构的分析以及牛顿第二定律等内容,综合性强,能很好地反映学生结合物理图像综合解决实际问题的能力.

分析设匀强磁场磁感应强度为B,导轨间距为l,电路中的总电阻为R,电容器两板间电压为U,根据闭合电路欧姆定律和牛顿第二定律有Blv＝iR＋U,Bil＝ma,q＝CU.联立得

在导体棒运动过程中,取一段无穷短时间Δt,该段时间内金属棒的速度变化Δv,加速度变化Δa,通过金属棒的电荷量Δq,电流变化Δi.根据微分思想,v-t图像、a-t图像、q-t图像、i-t图像中曲线切线的斜率分别为

根据式⑤,随着金属棒加速度a逐渐减小为零,电流i也逐渐减小直至为零,所以选项D 错误.

因为i逐渐减小直至为零,故电荷量q逐渐增大的同时,逐渐减小为零,所以选项C正确.

正确答案为C.

小结在电磁感应图像问题中,速度、加速度、电压、电流等物理量互相制约、瞬态变化,其变化图像一般为曲线.为了准确判断物理量的变化图像,必须分清变量与不变量,既要判断物理量变化的单调性,又要关注图线的切线斜率所代表的物理意义.只有列出具体问题所满足的规律方程,结合微分思想进行讨论,才能对物理量的变化趋势作出正确判断.

此类问题综合性强,对数学能力要求高,尤其要结合微分思想处理问题,不仅能够考查学生解决物理问题的综合能力,还可以反映出学生的物理思想和物理方法,体现物理学科核心素养水平.

(完)