基于IWOA算法的Tsallis相对熵图像多阈值分割

汤弘毅，徐 武*，杨昊东，徐浩东

(1.云南民族大学 电气信息工程学院，昆明 650000)(2.陕西长庆专用车制造有限公司，咸阳 712000)

图像分割是指将图像划分成具有不同特性的区域，并提取出有用目标区域的过程，是理解和分析图像的重要前提，是图像处理的重要环节.目前，用于图像分割的技术很多，大致分为基于边界、基于区域、基于聚类以及基于阈值4类方法.基于阈值的方法是最简单、计算效率高且应用最为广泛的图像分割方法之一.阈值技术的主要目的是找出用于图像分割的阈值，如果图像中有多个灰度值不同的区域，那么可以选择一系列的阀值以将每个像素分到合适的类别中去.只用一个阀值分割称为单阀值方法，用多个阀值分割则称为多阀值方法.在单阈值法中，选择一个阈值将图像分割为目标和背景；而在多级阈值法中，多个阈值被确定，并将图像分割为多个区域[1].

多阈值选择属于一个优化问题，而传统方法求解最佳阈值计算十分复杂耗时.近年来，由于群智能优化算法在解决现实世界中高度非线性和多峰优化问题的突出表现而受到广泛关注，提出了一系列应用群智能优化算法来获得最优阈值的方法.文献[2]提出了一种基于鲸鱼优化和蛾火焰优化算法的多级阈值图像分割方法，利用鲸鱼优化和蛾-火焰优化两种自然启发算法来确定多级阈值情况下的最佳阈值，但是其控制参数较多，产生较大的计算复杂度.文献[3]提出了一种基于灰狼优化器的多级阈值处理方法，受到灰狼社交和狩猎行为的启发，利用Kapur熵和OTSU类间方差函数解决多级阈值问题，但是其存在收敛精度不够的问题.文献[4]提出了一种基于蛾群算法的多阈值图像分割方法，该群智能优化算法通过使用Kapur熵方法来降低最佳阈值的计算复杂度.文献[5]提出了一种基于粒子群优化算法和模糊熵的多级阈值图像分割算法，通过选择香农熵和模糊熵作为优化技术的目标函数，建立了基于粒子群优化算法的多层次阈值分割模型，解决了模型收敛缓慢、计算成本高的问题.上述方法有效降低了计算复杂度，提高了收敛速度，但是存在高度依赖于初始控制参数值的问题.此外群智能寻优算法有收敛速度慢，易陷入局部最优的缺点，需要对其进行改进方能得到满意的分割结果.

文中对经典鲸鱼优化算法(whale optimized algorithm，WOA)进行改进，提高了其收敛速度与全局寻优能力，再将改进鲸鱼优化算法(improved whale optimized algorithm，IWOA)与Tsallis相对熵多阈值分割结合，提出了基于改进鲸鱼优化算法优化的Tsallis相对熵的图像多阈值分割算法.

1 标准鲸鱼优化算法

鲸鱼是世界上最大的哺乳动物，其中座头鲸的捕猎方式尤为独特，它们习惯于在水面附近进食，座头鲸在下潜之后开始围绕猎物以螺旋形状形成气泡，最后回到水面进行捕食.鲸鱼优化算法就是由这种特殊的捕猎方式启发而来的，将待求解问题的解空间类比于鲸鱼种群，每个不同的鲸鱼个体就是待求解问题的不同解，但是并不是每个个体都是所求的最优解，解决待求解问题的过程就是在不同个体中寻找最优解的过程，在鲸鱼优化算法中个体通过随机搜索、发泡网攻击和收缩包围3种方式不停的更新鲸鱼个体的位置，不断地寻找靠近最优解，如此反复方能求得待求解问题的最优解[6].

其中鲸鱼选择的位置更新方式不定，当参数|A|≤1时，鲸鱼个体远离随机个体包围猎物，趋向于最优个体，当参数|A|≥1时，鲸鱼个体被迫偏离猎物位置，以此搜寻更优的猎物.当参数|A|≤1时数学模型为：

(1)

式中：p∈[0,1]；l为随机数，同时l∈[-1,1]；D为当前位置与最优解的距离；D′=|X*(t)-X(t)|；b为螺旋常数，令b=1.其中D=|C·X*(t)-X(t)|，其中t为当前迭代次数，X(t)为鲸鱼在第t代的位置；X*(t)为猎物在第t代的位置向量；A=2∂r1-∂，C=2r2，其中r1、r2为随机数，并均匀分布在[0，1]上，∂的最大值为2，最小值为0，并且线性递减，定义为：

(2)

当参数A满足|A|≥1时数学模型为：

X(t+1)=Xrand(t)-A·|C·Xrand(t)-X(t)|

(3)

式中：Xrand为随机位置，以避免陷入局部最优.

2 改进鲸鱼优化算法

2.1 基于Sobol序列初始化

在处理分布未知的问题时，种群的初始值应当尽可能地在搜索空间中均匀分布，以保证较高的遍历性和多样性，提升搜索效率.为提升全局搜索能力，可利用混沌搜索优化初始化序列，但其存在两点不足：一是随机性强，算法运行时会面临很大的不确定性；二是相邻点紧密相关，若迭代至不稳定点则无法继续运行.

低差异序列通过选择合理的采样方向，将尽可能均匀的点填充至多维超立方体单元，因此在处理概率问题时，具有更高的效率和均匀性.其中，Sobol序列计算周期更短、采样速度更快，并且在处理高维度序列上有更高的效率.因此，采用Sobol序列对初始化种群进行映射[7].设最优解的取值范围为[xmin,xmax]，Sobol序列产生的随机数Kn∈[0,1]，则种群初始位置可定义为：

xn=xmin+Kn·(xmax-xmin)

(4)

相比伪随机数序列，通过Sobol序列产生的初始化种群落入每个范围内的个体数量大致相同，分布更加均匀，遍历性更广[8].

2.2 黄金正弦算法

(5)

式中：R1为[0,2π]随机数，决定下一迭代中个体的移动距离；R2为[0，π]的随机数，决定下一次迭代第i个个体的位置更新方向.

2.3 基于高斯函数的惯性权重

在群智能寻优算法中，惯性权重被用来调整之前位置对当下位置的影响从而达到加强或者减弱算法的搜索能力的目的.设置递减型惯性权重的原因是递减函数在初期的值较大能获得较大的权重，会加强之前位置对当下位置的控制，降低了相对吸引度，达到加强算法的全局寻优能力同时逐渐减弱局部搜索能力的目的.高斯函数是服从正态分布的函数，其中a、b与c是实常数，c被称为高斯函数的扩展函数，与函数图像的半峰和全宽有关，其值越大高斯函数的函数图像就越平坦反之则越陡峭.设计的基于高斯函数的递减惯性权重为：

(6)

式中：k=0.13；l是一个常数，用来调节函数的对称轴，调整迭代初期出现较小权重的多少，此处l=0.5；取ωmax=0.8，ωmin=0.3.文中设置的ω(t)惯性权重函数基本服从正态分布，有利于提高算法的全局搜索寻优能力和收敛速度使算法避免过早陷入局部最优并且减少迭代的次数，从而提高了算法的整体效率.考虑到搜索猎物阶段选取的随机鲸鱼位置向量，IWOA算法的位置更新公式为：

X(t+1)=ω(t)·X*(t)-A·D|A|<1p<0.5

(7)

(8)

X(t+1)=ω(t)·Xrand-A·Drand|A|≥1

(9)

2.4 改进鲸鱼优化算法

为了解决WOA算法收敛速度慢，易陷入局部最优等问题，引入Sobol序列、黄金正弦算法和设计基于高斯函数的惯性权重3种策略进行改进.

(1)在算法初始化阶段引入类随机采样方法中的Sobol序列.大多数的群智能算法根据不同的概率分布产生一系列(0,1)之间的随机数，而这种随机性可能会导致算法收敛速度变慢，影响目标解的质量.WOA算法是从一个随机种群开始搜索，导致初始化种群缺乏种群多样性，因此，文中采用Sobol序列产生初始种群并替换算法中的种群位置.

(2)引入黄金正弦算法优化算法的寻优方式.在螺旋式狩猎机制中，座头鲸在寻找到猎物后，向猎物位置移动并通过对数螺旋式运动捕获猎物，猎物位置即最优个体的位置是此螺线运动过程中的导向坐标，这虽然有助于算法后期收敛速度的提升，但是该寻优方式易使种群个体在解空间内迅速集聚，从而导致群体多样性锐降，增大陷入局部最优的可能性.因此，在保留WOA算法的包围式狩猎机制和随机狩猎机制的基础上，利用黄金正弦算法对螺旋式狩猎机制进行改进.IWOA算法中鲸鱼向猎物位置移动并通过黄金正弦螺旋式运动捕获猎物，每一次迭代中鲸鱼个体都会与最优个体进行信息交流，每个个体都可以充分吸收自身与最优个体的位置差信息，同时利用引入黄金分割数而得到的系数逐步缩小搜索空间，且通过参数控制位置更新距离和方向，引领个体稳步趋近最优值.

(3)引入一种基于高斯函数的惯性权重.在当前大多数群智能优化算法中，权重可以影响算法的全局探索和局部开发能力的平衡.通常较大的惯性权重能够让算法具有较好的全局探索能力，而较小的惯性权重会使算法具有较好的局部开发能力.在算法迭代早期应使用较大的权重，让算法以较大步伐快速到达目标值附近；而在迭代后期，应使用较小的权重，让鲸鱼较小的步伐移动，以便在目标解的附近精确搜索，更好的局部寻优.WOA算法在搜索包围和位置更新时权重为定值，文中设计了一种基于高斯函数的递减惯性权重并加入到位置更新公式当中，使算法的全局搜索和局部开发得到较好的平衡，增加了算法跳出局部最优区域的概率，提高了算法的整体效率[9].

3 基于IWOA算法的Tsallis相对熵多阈值分割

Tsallis熵是基于由Boltzmann-Gibbs理论产生的非广延统计的机制，在很多领域都有其相关应用.基于香农熵而提出的的Tsallis熵，是优于传统的最大熵阈值的，选取其进行阈值分割以求更好的分割结果[10].Tsallis相对熵源于Tsallis熵，同时Tsallis相对熵作为一种相对熵准则，多被用来进行不同系统之间一致性测试[11].将Tsallis相对熵作为目标函数进行全局优化，凭借IWOA算法良好的全局收敛性和鲁棒性，避免陷入局部最优，同时应用到多阈值图像分割，分割阈值更加稳定，分割质量更高.

图像的阈值分割就是对一幅灰度取值在Gmin和Gmax之间的图像确定一个灰度阀值T∈[Gmin,Gmax]，然后将图像中每个像素的灰度值与阀值T相比较，并将对应的像素根据比较结果划分为大于阀值的和小于阀值的两类.这两类像素一般对应图像中的两类区域.如果图像中有多个灰度值不同的区域，那么可以选择一系列的阀值以将每个像素分到合适的类别中去，即多阀值分割方法.

基于Tsallis相对熵的多阈值分割将待分割图像设为I(x,y)，m×n为其尺寸大小，其中x∈[1,m]，y∈[1,n]，最大灰度级为L.设一共有N个阈值，将图像分为N+1个区域：A1,A2,…,AN+1，图像的阈值化准则即Tsallis相对熵函数为：

JP(H|R)=

(10)

式中：R={ri|i=1,2,…,L}为分割后图像灰度级的拟合高斯分布；hi=ni/(m×n)为灰度级i在图像中出现的频率；H为图像的灰度级直方图分布概率;q为Tsallis相对熵的非广延指数.在对图像进行分割时，如果能够找到N个分割阈值t1,t2,…,tN，使式(10)值最小，那就是最优阈值[12].

为了改善基于Tsallis相对熵多阈值图像分割方法计算量大、速度慢的问题，引入IWOA算法求解 Tsallis 相对熵函数的最优解，充分利用图像灰度直方图的信息，寻找多个阈值将图像分为多个类别进行分割，将基于Tsallis相对熵的多阈值分割与IWOA算法结合起来，以求更好的分割效果、精度与速度.

4 实验结果与分析

为验证IWOA的算法性能，设计了基准函数对比测试与基于IWOA的Tsallis相对熵图像多阈值分割对比实验.基准函数对比测试是为了验证改进算法的通用性能是否得到了提高.基于IWOA的图像多阈值分割实验是为了检验IWOA算法应用于图像分割的可行性，也是为了将文中算法方案与现有基本方法进行对比，从而说明算法的优越性[13-15].

4.1 基准函数对比测试

为验证IWOA算法的全局搜索寻优能力，文中采用4种不同类型的测试函数，如表1.

表1 基准函数

函数F1～F4具有不同的特征：F1单峰变量可分离(unimodal and variables separable，US)、F2单峰变量不可分离(unimodal and variables non-separable，UN)、F3多峰变量可分离(multimodal and variables separable，MS)、F4多峰变量不可分离(multimodal and variables non-separable，MN).WOA算法和IWOA算法在4个基准函数上的收敛曲线如图1～4，从图1～3中能够发现IWOA算法相较于WOA算法，收敛速度明显提升，算法精度也更高.由于在图4中，两种算法都能早早收敛寻得最优值，因此对于多峰变量不可分离函数展示迭代100的对比结果图，如图5，其中IWOA算法在第4次迭代就找到函数最小值-1.031 6，而WAO算法是在第20次迭代成功找到函数最小值-1.031 6，相比之下IWOA算法收敛速度更快.

图1 F1单峰变量可分离函数

图2 F2单峰变量不可分离函数

图3 F3多峰变量可分离函数

图4 F4多峰变量不可分离函数

图5 F4多峰变量不可分离函数(迭代100次)

表2中记录的是表1中4个函数的最小值，以及IWOA算法和WOA算法对4个函数单独测试的最优值、平均值与标准差，其中最优值为算法求出的函数最优解，平均值是算法在迭代过程中每一次迭代得到解的均值，标准差是算法每次迭代得到的解值与其平均值离差平方的算术平均数的平方根.

从表2当中可以看出，IWOA算法找到最优值的迭代次数总是小于WOA算法的，而且在F1、F2和F4函数中IWOA算法都寻找到了函数的最小值，在F3函数中虽然两种算法都没有找到最小值0，但IWOA算法得到的最优解更加接近于最小值0，说明IWOA算法可以有效避免陷入局部最优同时收敛速度更快.表2中算法的最优值和函数最小值可以体现算法的精度，算法最优值与函数最小值的差越小，说明其精度越高，能够求出正确的函数的最小值；平均值可以体现算法的收敛速度，相同迭代次数下平均值越接近最优值就说明算法的收敛速度越快，表示算法早早收敛导致大部分数据与最优值相近；标准差可以体现算法的稳定性，越接近平均值表示算法的稳定性好，所得解都更加接近平均值.由此可见IWOA算法较WOA算法在寻优精度、稳定性以及收敛速度方面都更好，具有优良的寻优能力.

表2 算法性能比较

4.2 基于IWOA优化的多阈值分割对比实验

为了验证文中算法的可行性与优越性，实验选取经典的Lena图、Cameraman图、Baboon图和Peppers图作为测试图像，并基于OTSU和最大熵两种分割准则依次进行双阈值、三阈值、四阈值和五阈值图像分割.

基于阈值的分割方法分为单阈值和多阈值.单阈值是为了找到一个阈值，对于灰度图像素值在区间[0,255]内，如果像素低于阈值就认为是背景，否则认为是前景；多阈值方法是寻找多个阈值，将图像分为多个部分使用多个阈值来分离并代表图像中包含的多个对象区域中的像素，以得到更好的分割结果.在单阈值的情况下，可以尝试所有的可能值，然后选择得到最好的分割结果的值作为阈值.对于多阈值分割，尝试所有可能的组合的计算量会随着阈值个数不断提升，很明显尝试所有可能的阈值对于多阈值分割而言并不可行，需要要使用更有效的算法来寻找阈值.文中使用所提IWOA算法进行Tsallis相对熵多阈值图像分割.

将峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)作为图像分割结果优劣的评判标准，公式为：

(11)

式中：MSE为分割后图像g和原始图像f的均方误差，可表示为:

(12)

分别对OTSU、最大熵分割和基于IWOA算法的Tsallis相对熵多阈值图像分割算法进行对比实验，测试阈值个数n取2，3，4和5时实验结果，记录最佳分割阈和PSNR值，其中PSNR值越大分割效果越好.结果如表3～5，可以看出所提算法分割速度更快，PSNR值虽然在阈值为2的时候较低，但在高阈值分割表现优越，优于传统的OTSU和最大熵分割算法[16].

表3 基于OTSU的分割结果

为直观了解所提算法分割的优越性，图6～9分别显示了3种算法对4个经典测试图像进行多阈值分割的对比，每个图从上到下依次是基于本文算法、基于OTSU、基于最大熵的多阈值分割实验对比结果，图中从左到右依次为原图、双阈值、三阈值、四阈值和五阈值分割结果.从分割结果可以看出，基于IWOA算法的Tsallis相对熵多阈值图像分割结果中细节更清晰，信息更完整，分割质量更高.

表4 基于最大熵的分割结果

表5 基于IWOA优化的Tsallis相对熵分割结果

图6 Lena多阈值分割对比

图7 Cameraman多阈值分割对比

图8 Baboon多阈值图像分割对比

图9 Peppers多阈值图像分割对比

5 结论

文中提出了一种基于改进鲸鱼优化算法(IWOA)优化的Tsallis相对熵的图像多阈值分割算法.首先，在初始化阶段引入类随机采样方法中的Sobol序列，增加种群的多样性和遍历性；其次，引入黄金分割数优化WOA的寻优方式；最后引入一种基于高斯函数的惯性权重，提高了算法的收敛效率，并将其与Tsallis相对熵的图像多阈值分割相结合.为验证算法的优越性，首先将IWOA算法与传统WOA算法进行比较，采用4种不同类型的测试函数分别对比，结果显示IWOA算法在寻优精度、稳定性以及收敛速度都更好，表现出优良的寻优性能；然后将所提算法与传统的基于OTSU的多阈值分割算法和基于最大熵的多阈值分割算法进行对比，取2、3、4和5阈值分别进行实验，结果显示，基于IWOA算法的Tsallis相对熵多阈值分割算法结果中细节更清晰，信息更完整，分割质量更高，分割速度更快，证明了算法的优越性.