注重基础·综合应用·创新实践

刘密贵

摘  要：综合与实践是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动. 现结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》的目标和内容要求，通过梳理2021年全国各地中考试卷中涉及“综合与实践”内容的代表性试题，对其按特点进行解法分析，列举部分典型试题进行解题思路评析，最后展示部分试题的特色解法赏析，以期达到为中考备考和试题研究服务的目的.

关键词：综合与实践;解题分析;中考数学

一、考点概述

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，综合与实践是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.“综合与实践”是实现积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识的重要和有效载体.“综合与实践”的基本目標是让学生经历数学学习的完整过程，体验知识之间的内在联系，并形成对数学整体性的认识;让学生亲历实践、探究、体验、反思、合作、交流等学习过程，综合运用数学学科和跨学科知识与方法解决现实世界的真实问题，获取一些研究问题的方法和经验，发展学生的数学学科核心素养.

在近几年的中考试题中，“综合与实践”专题是一道独具魅力的风景线.“综合与实践”试题突出体现了如下特点.

1. 注重多种现实的“综合”

本专题题材丰富，与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实联系紧密. 有的试题综合“数与代数”“图形与几何”“统计与概念”等分支，打通不同领域之间的合理联系，如函数与方程的综合、代数与几何的综合等. 有的试题以生活现实和其他学科现实中的问题为命题素材，构建学生熟悉而有探索价值的问题情境. 这是试题内容的综合，为学生的实践提供了良好的载体.

2. 注重“四基”的“综合”

试题考查的不只是数学知识，更是学生综合运用基础知识、基本技能、基本活动经验和基本思想解决问题的能力. 试题加强了对应用数学知识解决问题、运用数学思想和研究方法解决问题的考查. 一方面，体现了对学生综合水平的要求;另一方面，突出体现了对数学学科的直观想象与数学抽象、逻辑推理与数学运算、数学建模与数据分析这六个方面的核心素养的考查.

3. 注重学生的解题“实践”

学生在解答试题的过程中，不断经历“自主发现和提出问题—分析和转化问题—解决问题”的过程，这样的实践过程，一方面，能检验学生的综合素养水平;另一方面，使学生深入理解数学知识的发生、发展过程，以及数学问题解决的方式、方法和经验，并引领日常教学重视培育学生的综合与实践能力.

二、解题分析

对于“综合与实践”专题的试题，解题要把握以下几点.

在数学现实类试题中，要注重挖掘基本结构（在复杂的图形中分解基本结构——看多为少，在残缺的图形中补全基本结构——看无为有），不断将新问题转化为已解决的问题求解;要关注在递进型问题中类比迁移解决问题;要灵活运用特殊与一般、强化与弱化、确定与变化等经验转化问题.

在生活现实类和其他学科现实类试题中，要注意通过阅读材料弄清问题，从而把握问题的数学本质，将问题转化为数学现实类问题.

1. 数学现实类之一：发掘基本结构

例1 （广西·北部湾经济区卷）【阅读理解】

如图1，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？

解：相等.

在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为点E，F.

所以∠AEF = ∠DFC = 90°.

所以AE∥DF.

因为l1∥l2，

所以四边形AEFD是平行四边形.

所以AE = DF.

又因为S△ABC =[12]BC·AE，S△DBC =[12]BC·DF，

所以S△ABC = S△DBC.

【类比探究】

如图2，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE = DE，AD = 4，连接AE，求△ADE的面积.

解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF.

试将余下的求解步骤补充完整.

【拓展应用】

如图3，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD = 4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积.

解析：此题结构清晰明了，阅读理解—类比探究—拓展应用，层层深入，渐次提升，意在考查学生是否能运用图1中的基本结构解决问题.

以最后一道小题为例：基于解决前面两道小题的经验，学生应着眼于寻找“平行线”. 这条平行线一定经过△BDF的某个顶点，容易发现，连接CF，则CF∥BD，显然△BDF的面积等于△BCD的面积，即正方形ABCD面积的一半.

需要指出，例1是指明基本结构，学生解题相对容易，例2则是隐藏基本结构，解题难度较大，对学生的综合能力提出了更高的要求.

例2 （浙江·湖州卷）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图4，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）. 则图中AB的长应是        .

解析：此题图形复杂，关系隐蔽，需反复审视图形，发掘基本结构.

基本结构1：大正方形面积为1，拼成三个全等的小正方形，根据总面积不变可以求得小正方形的边长为[33].

基本结构2：如图5，不妨找一个能够把“1”和“[33]”集于一身的图形作为突破口，如△CDE.

基本结构3：如图5，不妨以△CDE为锚点，继续向外扩张，容易发现△CDE ～ △DFE，从而可以求出DF的长为[22].

基本结构4：如图5，立足△CDF，向目标AB靠近，由正方形对边平行，可发现△CDF和△BAF是熟悉的X型相似，即△CDF ～ △BAF，BA的对应边是CD，AF的对应边是DF，显然由[BACD=AFDF]，可求出AB的长为[2-1].

2. 数学现实类之二：理解新概念

例3 （江苏·无锡卷）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a ≤ x ≤ b时，总有

-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1恒成立，则称函数C1，C2在a ≤ x ≤ b上是“逼近函数”，a ≤ x ≤ b为“逼近区间”. 则下列结论：

① 函数y = x - 5，y = 3x + 2在1 ≤ x ≤ 2上是“逼近函数”;

② 函数y = x - 5，y = x2 - 4x在3 ≤ x ≤ 4上是“逼近函数”;

③ 0 ≤ x ≤ 1是函数y = x2 - 1，y = 2x2 - x的“逼近区间”;

④ 2 ≤ x ≤ 3是函数y = x - 5，y = x2 - 4x的“逼近区间”.

其中，正确的有（   ）.

（A）②③ （B）①④

（C）①③ （D）②④

解析：推陈出新是事物发展的必然方向，命制数学试题也是如此. 此题的“逼近函数”即在逼近区间内，函数值的差的绝对值不大于1，只要把握住这个实质，就可以迅速判断和排除.

以①③为例.

① y2 - y1 = 2x + 7，y2 - y1随着x的增大而增大，在1 ≤ x ≤ 2上，当x = 1时，y2 - y1最小，最小值为9，9 > 1，故错误;

③ y2 - y1 = x2 - x + 1，在0 ≤ x ≤ 1上，当x =[12]时，y2 - y1的最小值为[34]，当x = 0或x = 1时，y2 - y1的最大值为1，即[34]≤ y2 - y1 ≤ 1，故正确.

此题答案为选项A.

3. 数学现实类之三：转化问题

例4 （江苏·南京卷）如图6，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板. 在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是

（    ）.

解析：此题考查了学生的直观想象水平，尽管直观想象并非像概念、求解一样可以通过教学解决，但只要通过恰当地转化，仍有可能化复杂为简单，轻巧地解决问题.

通过题目叙述，可以判断影子的形状是一个轴对称的四边形，如图7，关键要判断通过顶点A，C的光线在地面上的落点.

空间中想象难度高，就要想办法转化成平面问题. 如图8，沿着直线DB的方向看，可以发现地面上的投影中，A′B′显然比B′C′更长，因此此题显然选择选项D.

例5 （四川·成都卷）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和. 如图9，ar + cq + bp是该三角形的顺序旋转和，ap + bq + cr是该三角形的逆序旋转和.已知某三角形的特征值如图10所示，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是         .

解析：这道填空题阅读量较大，正文约60%的部分是定义新概念，随机事件“对任意正整数z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4”也比较复杂.

根据新概念，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x + 2z + 3y） - （3x + 2y + 4z） = x + y - 2z. 从而我们把原事件进行了第一次转化.

转化1：对任意正整数z，x + y - 2z < 4.

即x + y < 4 + 2z.

由于z ≥ 1，

所以4 + 2z的最小值是6.

要使x + y的和总满足条件，只要继续转化.

转化2：x + y < 6.

此题的真实面目千呼万唤始出来：

若從1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则x + y < 6的概率是       .

从而容易求出此题答案为[34].

4. 数学现实类之四：呈现研究场景

例6 （河南卷）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，仔细阅读，并完成相应的任务.

[小明：如图11，（1）分别在射线OA，OB上截取OC = OD，OE = OF（点C，E不重合）;（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为点P，垂足分别为点G，H;（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.

简述理由如下：

由作图知，∠PGO = ∠PHO = 90°，OG = OH，OP = OP. 所以Rt△PGO ≌ Rt△PHO. 则∠POG = ∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下. 如图12，（1）分别在射线OA，OB上截取OC = OD，OE = OF（点C，E不重合）;（2）连接DE，CF，交点为点P;（3）作射线OP. 射线OP即为∠AOB的平分线.

……

任务：

（1）小明得出Rt△PGO ≌ Rt△PHO的依据是

（填序号）.

① SSS;② SAS;③ AAS;④ ASA;⑤ HL.

（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？判断并说明理由.

（3）如图13，已知∠AOB = 60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE = OF =[3]+ 1. 点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC = OD，连接DE，CF，交点为点P，当∠CPE = 30°时，直接写出线段OC的长.

解析：此题呈现了两位同学围绕同一个问题展开思辨的探究场景，真实生动，给学生较强的代入感. 此题体现了不同层次的意味;从小明的作法到小军的作法，体现了解法的优化;从小军的作法到最后一道小题，体现了基本结构的应用.

第（2）小题，从条件看，容易得到一组全等三角形，即△ODE ≌ △OCF;从目标看，要证明射线OP是∠AOB的平分线，只要证明∠AOP = ∠BOP，只要证△OPE ≌ △OPF（这组全等不唯一，也可以由其他全等代替）.

在△ODE ≌ △OCF基础上证明△CPE ≌ △DPF（AAS），从而PE = PF. 易证△OPE ≌ △OPF（SAS）. 此题的思路不唯一.

第（3）小题，首先根据题意画出相符的图形（如图14），可以求出∠CFO = 45°，要求OC，只要解△OCF即可，易得OC = 2.

解答显然还没有结束，“点C，D分别为射线OA，OB上的动点”，还应该继续考虑点C，D的位置. 点C一定在点O，E之间吗？不一定！同理还应该有如图15所示的情形.

在教学时，教师应引导学生对“射线”“直线”进行圈点勾画，并大胆想象、不断尝试. 此道小题综合以上两种情况，可得OC = 2或OC = 2 +[3].

5. 其他学科现实类：转化为数学现实问题

例7 （浙江·金华卷）图16是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置. 木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为点D，从点A发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E. 已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB = 6.5，BP = 4，PD = 8.

（1）ED的长为      .

（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图17），点P的对应点为点P′，BC′与MN的交点为点D′，从点A发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为点E′. 若DD′ = 5，则EE′的长为       .

解析：此题的背景是物理中的镜面反射现象.

第（1）小题容易发现△ABP ∽ △EDP，从而求得ED = 13.

第（2）小题木条旋转后，原有的相似不再成立，从哪里入手呢？当然是回到数学现实中去，去剖析内里的关系和可能.

目标方面，要求EE′的长，只需求出E′D的长.

条件方面，镜面反射实际上带来了∠AP′B = ∠E′P′D′.

又由AB和BP′定长，

则△ABP′是一个汇聚多个条件于一身的关键图形，可以尝试在∠E′P′D′基础上构造相似.

如图18，在P′D′上取点F，使∠3 = ∠ABD′，

易证△ABP′ ∽ △E′FP′.

可得[E′FP′F=ABP′B=138].

下面继续发掘基本结构.

基本结构1：在Rt△BDD′中，BD = 12，DD′ = 5，可以求得BD′ = 13.

基本结构2：由于∠4和∠3互补，∠5和∠ABD′互补，易证∠4 = ∠5，即E′F = E′D′.

通过设元把这两个基本结构勾连起来.

设E′F = E′D′ = 13a，

则P′F = 8a.

过点E′作E′G⊥D′F，易证△E′D′G ∽ △BD′D.

可得D′F = 10a.

由BD′ = 13，可列式4 + 18a = 13，解得a =[12].

从而E′D = 13a - 5 = 1.5，EE′ = ED - E′D = 11.5.

三、总结

“综合与实践”专题试题因其自带的综合性、探究性和开放性而对学生的要求较高，需要学生透过表象看清数学本质，能够综合运用所学的数学知识与方法解决问题，能够不断转化问题.

一方面，在日常教学中，建议增加“综合与實践”活动，让学生在学习中经历更多数学问题的探究过程，体验实际问题的解决方法. 实施“综合与实践”时，教师要放手让学生参与，启发和引导学生进入角色，组织好学生之间的合作交流，并照顾到所有学生. 教师不仅要关注结果，更要关注过程，不要急于求成，要鼓励、引导学生充分利用“综合与实践”的过程，积累活动经验，展现思考过程，交流收获体会，激发创造潜能.

在实施过程中，教师要注意观察、积累、分析、反思，使“综合与实践”的实施成为提高教师自身和学生素质的互动过程.

另一方面，建议增加“综合与实践”类的作业和评价形式，并加强这方面的训练. 这些有助于积累“综合与实践”类问题的解题经验，推动学生数学学科核心素养的发展.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]陈莉红，张仁华. 2018年中考“综合与实践”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2019（3）：47-55，59.

[3]邱思明. 2019年中考“综合与实践”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2020（3）：40-47.

[4]王晔，李晓宇. 2020年中考“综合与实践”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2021（3）：50-57.