整体关联视角下的单元教学设计

吴涛

摘  要：整体关联性是单元教学设计的主要特征. 以“多边形外角和”单元教学设计为例，从整体关联视角出发整合教材内容，以知识关联为内容，以方法关联为纽带，以逻辑关联为支柱，引导学生形成由特殊到一般的探究几何图形的方法.

关键词：整体关联;单元教学设计;外角和

一、前言

数学单元教学设计是在整体思维指导下，以提升学生数学学科核心素养为目的，通過对教材内容进行一定的重组和优化，以突出数学内容的主线及知识之间的关联性. 整体关联性是单元教学设计的主要特征，意图通过寻找数学内容之间的整体关联，设计教学内容，打破传统课堂中课时与课时之间的隔阂，不再拘泥于教材中每节课的教学内容，而是以一个更加广阔的视角，循着教学思路，以知识关联为基础，以方法关联为纽带，以逻辑关联为支柱，进而形成一个“整体”. 引导学生在学习探索过程中暴露数学思维的生长过程，迁移数学活动经验的成果，从而厚植数学理性精神的文化.

二、单元教学设计的课堂教学实践

1. 知识关联是单元教学设计的基础

知识是数学教学的主要内容，知识关联是单元教学设计的基础，知识关联意在设计教学时通过对照《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）分析教材，寻找知识点之间的联系，从上位、下位、并列关系出发，将碎片化的数学知识进行模块式整合，有助于从整体上把握教学内容，确保知识结构的完整性，明确单元内容在《标准》以及整个学段中的定位与要求，以期形成一个整体. 相较于其他学科而言，数学知识内部之间的关联更加紧密，学习新知识的过程就是学习者积极主动地从自己已有的认知结构中提取与新知识最有联系的旧知识，并且加以“固定”或者“归属”的一种动态过程，过程的结果导致原有的认知结构不断地分化和整合，从而使得学习者能够获得新知识或者清晰稳定的意识经验.

以本节课为例，从大框架而言是学生对图象性质的探索，再逐步具体到三角形与多边形的角的性质，如图1所示.

学生在学习本节课之前已经对三角形的内角和、多边形的内角和进行探索，感受到三角形与多边形之间的联系，所以本节课在设计教学内容时，打破原有的课时安排，整合三角形的外角和与多边形的外角和的内容. 整体思路设计为先对三角形的外角和进行研究，再一般化对多边形的外角和进行研究，形成从特殊到一般、从简单图形到复杂图形的基本研究“套路”.

环节1：

问题1：多边形有内角，是否也有外角呢？你认为什么是多边形的外角？

追问1：能否到黑板前画出图2的一个外角？

追问2：对于多边形的外角可以进行哪些方面的研究？

多边形外角和的概念：在每个顶点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和叫做这个多边形的外角和.

追问3：类比多边形的内角和的研究，你打算如何研究多边形的外角和？

【设计意图】从学生已有的知识经验出发，由多边形的内角的概念引出多边形的外角、外角和的概念，激发学生的学习兴趣，体现研究的必要性. 同时，在本环节的设计，笔者意在从教学的初始阶段建立数学知识内部间的联系，一改传统的直接抛出三角形，改为研究一个更加一般的n边形，增强问题的统摄性，引导学生建立由特殊到一般、由简单图形到复杂图形的研究路径，形成学生研究图形的基本“套路”.

2. 方法关联是单元教学设计的纽带

数学思想方法是数学的本质所在. 方法关联是单元教学设计的纽带，意在设计教学时凝练思想方法，寻找关联教学内容之间的方法，进而在关联教学内容中不断渗透思想方法. 一方面，由于关联教学内容在知识的关联性方面决定了其思想方法也存在着一致性;另一方面，由于数学思想方法的抽象性特征相较于知识更加复杂，学生难以通过一节课形成思想方法，所以笔者试图在关联教学内容上不断渗透思想方法，进行“强化”，以期提升学生的思维品质，培养学生的核心素养.

以本节课为例，学生在探索三角形、多边形的内角和时，从操作层面上看，从条件出发，需要将不共顶点的角“转移”到“共顶点”的角，即构造平行线，从而实现角的“相加”，从结论出发，学生需要对180°进行联想，由180°你能想到什么，即平角、同旁内角等. 从思想层面上看，在研究多边形的内角和时，可以从直接和间接两个思路出发：直接路径，即类比研究，“转移”角，是对三角形内角和的探索过程的巩固;间接路径，即转化研究，将多边形转化为三角形，是对三角形内角和的结论的巩固. 可以看出，这一思想方法与即将研究的三角形、多边形的外角和是一致的，所以有必要利用好这一教育资源进行整合，渗透思想方法.

环节2：

问题2：从研究三角形开始，如图3，通过实验操作，度量三角形的外角和，你有什么发现？证明你所发现的结论.

学生独立探索，教师巡视，让有一定探索成果的学生陆续上黑板演示，将不同方法的简要过程写到黑板上，并要求学生再思考是否还有其他的方法.

追问1：类比三角形内角和的证明，你打算如何证明三角形的外角和？

追问2：从条件出发，如何将不共顶点的角转化成共顶点的角？

追问3：从结论出发，根据360°，你能想到什么？你还能想到什么？

学生生成如下.

（1） 如图3，因为∠1 + ∠BAC = 180°，

∠2 + ∠ACB = 180°，

∠3 + ∠ABC = 180°，

又因为∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°，

所以∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° × 3 - 180° = 360°.

（2） 如图4，过点A作AD∥BC，

则 ∠3 =  ∠DAE，∠2 =  ∠DAC.

所以∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠1 + ∠DAE + ∠DAC = 360°.

（3）如图5，取点P，过点P作PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，分别交BC，AC，AB于点D，E，F.

∠2 = ∠HDB = ∠DPF，

∠3 = ∠JFA = ∠FPE.

所以∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠EPD + ∠DPF + ∠FPE = 360°.

（4）如图6，连接DE，EF，DF.

因为∠1 + ∠ADE + ∠DEA = 180°，

∠2 + ∠CEF + ∠EFC = 180°，

∠3 + ∠BFD + ∠FDB = 180°，

而∠ADE + ∠DEA + ∠CEF + ∠EFC + ∠BFD + ∠FDB = 180°，

所以∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° × 3 - 180° = 360°.

【设计意图】笔者在环节2中通过类比三角形的内角和的探索过程，引导学生探索三角形的外角和. 通过问题2的设计，引导学生经历操作、猜想，证明完整的探索过程. 同时，在教学策略上，笔者采用“让学生陆续上黑板演示”，即学生独立探索证明方法，教师巡视，并让一部分学生上黑板写出简要过程. 这样的好处在于：一方面，没有思路的学生观察其他学生的操作启发思考;另一方面，倒逼已经完成的学生再继续思考还有没有其他方法. 这里的追問1、追问2、追问3是在学生独立探索的过程中观察学生的情况做的一些提示，留给学生充足的探索时间，以激发所有学生的思考. 待学生的想法都得以呈现后，教师进行总结、归纳，即“根据360°，你能想到什么？”可以联想到周角或180° × 2，由180°可以联想到平角、同旁内角、三角形内角和等，在总结、归纳中，再次勾连三角形内角和的证明方法. 本环节设计的问题是“一般观念”下的一般问题，以期形成学生在解决问题时的元认知能力.

3. 逻辑关联是单元教学设计的支柱

逻辑是数学教学的基础. 逻辑关联是单元教学设计的支柱，为单元教学设计提供了可行性的条件. 笔者认为，缺少了逻辑关联的单元教学设计就会演变成数学教学内容的堆砌，立足于逻辑关联的单元教学设计可以实现“1 + 1 > 2”的效果. 诚然，教材在编写过程中本身遵循了一定的逻辑，但因为受到教材编写等多方面的要求，教师在教学过程中不能被教材所左右，而应该在遵循逻辑关联的基础上，创造性地使用教材. 以本节课为例，苏科版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）七年级下册第七章第五节在第1课时中探究了三角形的外角和，在第2课时中探究了多边形的外角和. 在实际授课时，笔者将三角形的外角和与多边形的外角和内容进行整合，凸显由特殊到一般的基本逻辑，引导学生经历完整的探索过程，意在打破原有的知识点逐个地了解、识记、理解，转变为关注学生运用知识做事、持续地做事、正确地做事，强调知识点从理解到应用，重视知识点之间的联结及其运用.

环节3：

问题3：类比三角形外角和的探索，能否探索n边形的外角和？

追问1：能否猜想n边形的外角和的度数？操作验证你的猜想.

追问2：能否证明你所发现的结论？

问题4：如图7，五边形纸片ABCDE剪去一个角，得到几边形？此时，多边形的外角和有什么变化？

追问：能否用所学知识说明多边形的外角和与多边形的边数无关？

【设计意图】在环节3中，问题3是遵循由特殊到一般的逻辑，笔者引导学生类比三角形的外角和的探索过程，探索多边形的外角和，环环相扣，迁移活动经验的成果，以期形成学生探索问题的一般思路. 设计问题4，需要学生分情况进行讨论，同时设置追问，引导学生在问题4的启发下从数和形两个角度出发，发现“多边形的外角和与多边形的边数无关”. 从数的角度来看，可以利用公式计算，即180° × n - （n - 2） × 180° = 360°，n在计算过程中被消去，所以与边数无关;从形的角度来看，以五边形为例，五边形剪去一个角可能形成六边形、五边形、四边形，出现如图8所示的三种情况.

（1）如图8（1），当五边形剪去一个角形成六边形时，从外角出发，减少∠1，增加∠2，∠3，因为∠3 = ∠FGB，∠1 = ∠2 + ∠FGB，所以∠1 = ∠2 + ∠3. 所以多边形外角和不变.

（2）如图8（2），当五边形剪去一个角形成五边形时，此时仍为五边形，从外角出发，减少∠1，∠BCG变成∠FCG，增加了∠2，∠3，同理可证∠1 = ∠2 + ∠3. 所以多边形外角和不变.

（3）如图8（3），当五边形剪去一个角形成四边形时，从外角出发，减少∠1，∠BCF变成∠ACF，增加了∠2，∠EAH变成了∠EAG，增加了∠3，同理可证∠1 = ∠2 + ∠3. 所以多边形外角和不变.

问题4的设计，意图从数、形两个角度出发利用已有的知识经验说明多边形的外角和不随边数的变化而变化.

三、单元教学设计的反思与启示

1. 活用教材建整体

初中数学教学不能只以知识传授为目的，更应该着力于提升学生数学学科能力，课程改革要求教师树立“用教材教”而不是“教教材”的教育理念. 教材受编写要求的限制，往往以知识点为序列进行编写，但教师应正确厘清教师与教材之间的关系，深入挖掘教材内容的本质，理解、贯彻教材的内在精神. 例如，教材七年级下册第七章第五节编写的“多边形的外角和与内角和”分为4课时内容，第1课时探究三角形的内角和，第2课时探究多边形的内角和，第3课时探究三角形的外角和，第4课时探究多边形的外角和. 这样的安排符合教材编写的基本逻辑，以逐个知识点为序列进行编写. 但在实际教学过程中，如果只以“了解”“识记”“理解”为目标，难以建构知识之间的联系形成整体. 在实际授课时，笔者整合教材内容，突出从特殊到一般的研究思路，将探究内容整合在两课时中，分别为探究多边形的内角和、探究多边形的外角和，每节课遵循由三角形到多边形的探究思路，这样的探究方法将一以贯之地出现在初中数学学习的各个环节中，形成具有统摄性的“一般观念”.

2. 学思结合寻关联

以知识关联为内容，以方法关联为纽带，以逻辑关联为支柱，以期突出教学内容的主线. 笔者认为单元教学设计不是将关联的知识点整合在一起，这样的整合只有其“表”，不但加重学生的学习负担，也对学生能力的培养难有实质性的帮助. 理想的单元教学设计应从“知识”“方法”“逻辑”三个维度出发，在整体思维指导下，从提升学生数学学科核心素养的角度出发，对相关教材内容进行统筹重组和优化. 以“多边形的外角和”为例，从知识上来看，多边形是三角形的上位概念，多边形的外角和是三角形的外角和的一般化结论;从方法上来看，探究三角形的外角和可以从三角形的内角和出发，也可以通过构造平行线将不共顶点的角转移到一起，转化为周角，多边形的外角和可以沿用相同的思路进行探究，同时从“数”“形”角度说明多边形的外角和不随边数的变化而变化，又沿用了上一课时探究的结论，体现了课时与课时之间的联系;从逻辑上来看，遵循研究某个几何图形往往从最简单的图形研究的一般逻辑，符合学生的认知规律.

3. 以人为本促成长

从“以知识为本”到“以人为本”，“以人为本”是应树立的教学观念. 米山国藏在其名著《数学的精神、思想和方法》中指出：学生在初中、高中等阶段接受的数学知识，毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常是出校门后不到两年，很快就忘掉了. 然后，不管他们从事什么行业的工作，唯有深深地铭刻在头脑中的数学精神、数学思想方法、研究方法、推理方法和着眼点等却随时随地地发生作用，使他们受益终身. 单元整体设计正是秉持着这一观念. 以本节课为例，从整体上来看，环节1从一个大问题出发，引导学生主动设计探究路径，树立了研究平面几何图形的“一般观念”;从局部来看，环节2类比三角形的内角和的探索过程探索三角形的外角和，突出类比的数学思想，创设学生充分讨论交流的时间和空间，引导学生多方法、多角度、多层次的理性思考的发生. 环节3回归到本节课的主旨问题上来，从“数”“形”两个角度出发说明结论的正确性. 可以看出，每个环节之间环环相扣，都试图促进学生数学学科核心素养的培养.

综上，单元教学设计符合学生的认知规律，顺应时代的发展需求. 但不可否认，还有很多问题亟待解决，这将是笔者继续努力的方向.

参考文献：

[1]崔允漷. 学科核心素养呼唤大单元教学设计[J]. 上海教育科研，2019（4）：1.

[2]吕世虎，杨婷，吴振英. 数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤[J]. 当代教育与文化，2016，8（4）：41-46.

[3]陈彩虹，趙琴，汪茂华，等. 基于核心素养的单元教学设计：全国第十届有效教学理论与实践研讨会综述[J]. 全球教育展望，2016，45（1）：121-128.

[4]王华鹏.“一般观念”指导下的三角形起始教学[J]. 中学数学教学参考（中旬），2019（11）：75-78.