再探初中生符号意识的形成策略

钟珍玖 刘静

摘  要：符号是数学表达的工具，符号意识是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的10个核心关键词之一. 七年级又是学生符号意识形成的关键学段，根据教材内容安排，在数与数的运算教学中夯实符号意识形成的心理基础，在方程和不等式教学中让学生学会用符号表达生活模型，强化符号意识，用符号刻画图形的位置和数量关系，并用符号思想进行推理，培养逻辑思维能力，深化符号意识.

关键词：关键学段;符号意识;教学思考

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）将“符号意识”作为10个核心关键词之一，培养符号意识作为数学教学的重要目标. 而七年级是在小学学习基础上深化符号意识的起始学段，学习内容由具体的数到抽象符号的表达和思想的转变，用符号表示数量关系和变化规律，由“常量数学”到“变量数学”的质的转变. 本文阐述如何培养七年级学生的数学符号意识，以下是笔者在教学中的一些思考和做法.

一、在数及数的运算中，夯实符号意识形成的心理基础

在小学数学学习的基础上，七年级学生对数及其数量关系有较为深刻的认识. 数有“过程”和“概念”的双重属性，也具有一定的抽象性. 但数的概念都可以在生活中找到原型，是事物的直接抽象，学生理解起来难度不大. 七年级的数学学习，逐步实现从算术问题向代数问题转变，学生容易受到数的思考方式的影响. 数是事物抽象的直接结果，更强调数量关系的运算结果，即数和数的运算结果是具有确定性的，而用字母表示数和数量关系既是“过程”，又是“结果”，具有不确定性和任意性，所以在教学中应当尽量避免数感对符号意识形成产生负迁移.

案例1：苏科版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）七年级上册“2.4 绝对值与相反数”.

问题：a的相反数是什么？-a是负数吗？

学生对于第一个问题都能给出正确答案-a，第二个问题回答“-a是负数”的学生人数较多. 正数前面添上“-”就得到负数，学生就会产生负迁移，字母前有“-”也是负数. 由于数所表达的结果确定，所以学生对含有字母的数的理解就产生偏差. 抽象思维能力稍强的学生通过举反例来说明“-a不一定是负数”，当a = 0时，-a = 0. 对于-a可以代表任意数，学生的理解仍然不够深刻，教学中可以从“确定”和“任意”、“特殊”与“一般”的关系入手. 若给定a = 3，那么-a的值就是-3;若给定a = 0，那么-a的值就是0;若给定a = -3，那么-a的值就是-（-3） = 3. 给字母a取任意值，从特殊情形入手，通过分类讨论厘清-a的符号特征.

教学策略：要克服“数感”对符号意识形成的负迁移，还是要从“数”入手. 因为“数”是用字母表示数的认知起点和心理基础，要用数的确定性帮助学生理解字母的一般性. 字母和数一样可以表示量的关系，要发挥“数”对符号意识形成的正迁移作用，消除负迁移的心理障碍.

二、在运用符号表达中，强化符号意识，形成代数思维习惯

1. 表达数或形的规律，体验字母表示数的一般性，强化符号意识

从教材七年级的编排来看，第二章是“有理数”，其主要内容是有理数的运算，但是很多概念、法则（如相反数、绝对值、交换律等）教材也都进行了一般化的处理，用字母表达了这些概念和法则. 第三章是“代数式”，只安排了一个课时“列代数式”，用字母来表示数实际上在第二章已经做了字母表示数的铺垫，为第三章的整式的加减打下基础. 字母可以参与运算，具有更高的抽象性，所以代数是一般化的算术，其一般化的途径就是逐步抽象用符号表示而获得形式化，在抽象的水平上运用符号进行思考.

案例2：教材七年级上册“3.1 用字母表示数”.

用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图1所示的方式拼正方形.

第（1）个图形有1个正方形，

第（2）个图形比第（1）个图形多      个正方形，

第（3）个图形比第（2）个图形多      个正方形，

第（4）个图形比第（3）个图形多      个正方形，

第（10）个图形比第（9）个图形多      个正方形，

第（n）個图形比第（n - 1）个图形多     个正方形.

教学策略：七年级学生抽象思维能力还不强，要理解抽象符号的意义，或者把具体事物的数量关系用符号来表示比较困难，所以在教学中要运用数的具体性，让学生积累丰富的感性材料，通过把“数”抽象一般化为字母，让学生在经历的过程中体验字母是对数的抽象化、符号化表示. 教师在教学中不要操之过急，认为学生小学已经接触过用字母表示数，忽视学生的认知过程，用大量练习替代学生的理解. 教学中，要多举实例，让学生经历由数到字母的抽象过程，在用字母表示数初步形成符号意识时，教师要注重过程教学，把学生对具体数的表象逐步抽象成用字母来表示，使他们反复体验从特殊（数）到一般（字母），再从一般到特殊的过程，加深对符号一般性意义的理解，为灵活运用符号解决问题打下坚实的基础，让学生在抽象的符号层面进行思维活动.

2. 使用符号表达方程和不等式模型，强化符号意识

能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，是将问题进行一般化的过程，是列方程（组）、不等式解决实际问题的基础. 很多七年级学生由于缺乏用符号进行抽象的思维能力，不会在具体情境中用字母表示实际问题中的量，导致解决应用性问题能力较低. 实际上，一般化过程超越了实际问题的具体情境，用代数式表达问题的变化，深刻地揭示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把学生对符号的理解提升到新的水平和高度.

案例3：某城市平均每天生产垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理，已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，需费用550元;乙厂每小时处理垃圾45吨，需费用495元.

（1）甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要几小时才能完成工作？

（2）若规定该城市每天用于处理垃圾的费用不超过7 370元，甲厂每天至少需要几小时处理垃圾？

生1的解题过程如下.

（1）设每天需要x小时才能完成工作，

由题意，得55x + 45x = 700.

解得x = 7.

（2）设甲厂每天工作y小时，

则乙厂每天工作（7 - y）小时.

由题意，得550y + 495（7 - y） ≤ 7 370.

解得y ≤ 71.

……

师：当思维受阻或者产生错误时，我们必须反思思维过程，回到审题阶段，我们所找的不等关系正确吗？不等关系中的量的表示正确吗？尝试用文字表述.

生2：甲厂每天处理垃圾的费用 + 乙厂每天处理垃圾的费用 ≤ 7 370.

师：你能把甲厂、乙厂每天处理垃圾的费用问题中的有关量表达出来吗？

生2：甲厂每天工作时间 × 甲厂每小时处理垃圾的费用 + 乙厂每天工作时间 × 乙厂每小时处理垃圾的费用 ≤ 7 370.

师：这个不等关系中，甲厂、乙厂每天的工作时间是关键量，生1所列不等式中乙厂每天工作时间正确吗？

生2：第（2）小题并没有第（1）小题的条件，生1的审题不正确，正确的解法如下.

设甲厂每天工作y小时，

则乙厂每天工作[700-55y45]小时.

由题意，得550y +[700-55y45]× 495 ≤ 7 370.

解得y ≥ 6.

从问题的解决过程来看，学生的困难在于把乙厂的工作时间用所设的字母来表示，而且要带着这些未知数进行计算，要让学生明确不仅“数”能表示实际问题中的量，字母也可以表示这些量，而且具有一般性. 在用方程（组）来解决实际问题的教学中，教师应进一步引导学生用含未知数的代数式來表示问题中的量和数量关系，最为关键的是要通过教师的讲解和学生的训练，让学生形成用代数式表达复杂问题中量与量之间关系的意识.

教学策略：通过教师的示范和学生的练习，熟练地把生活语言、文字语言转化为数学符号语言，学会借助文字语言强化对符号语言的理解，建立数量和数量之间的联系，从而构造出方程（组）、不等式模型来解决实际问题. 这里要强调设了未知数以后，尽可能用含未知数的代数式表示实际问题中的量，强化学生的符号意识.

三、在运用符号思维中，深化符号意识，培养逻辑思维能力

在七年级的数学学习中，学生要经历几何入门教学，小学的几何学习都是动手操作，运用实验法让学生直观感知几何图形的性质，不要求学生运用符号来表示空间图形的数量关系和位置关系，以及运用符号语言进行逻辑推理.《标准》指出：探索并掌握相交线、平行线、三角形的基本性质和判定，掌握基本的证明方法和作图技巧，明确指出要运用符号语言进行推理和思考. 实践证明：很多学生能够得出几何问题的答案或者要证明的结论，会用文字表达思考的过程，但是运用符号语言进行推理就比较困难，所以对于运用符号语言进行推理的几何入门教学值得探究.

案例4：教材七年级下册“平行线性质与判定的综合应用”.

问题：如图2，若AD∥BE，∠EDC = ∠C，那么∠A = ∠E吗？

分析：直接由平行线的性质不能得到∠A = ∠E，但是结合已知条件∠EDC = ∠C，根据平行线的判定定理可得ED∥AC. 再由平行线性质，可得∠EBC = ∠E. 再根据条件AD∥BE，可得∠EBC = ∠A. 所以∠A = ∠E.

解：因为∠EDC = ∠C，（已知）

所以ED∥AC.（内错角相等，两直线平行）

所以∠EBC = ∠E.（两直线平行，内错角相等）

因为AD∥BE，（已知）

所以∠EBC = ∠A.（两直线平行，同位角相等）

所以∠E = ∠A.

教学策略：几何符号语言的表达是几何入门教学的又一难点. 首先，要把每一个几何概念、定理、公理、法则的几何语言书写规范，并能熟练使用;其次，使用几何语言时要遵循由浅入深的原则，对于复杂问题的书写，建议用思维导图，或者先用文字写出书写步骤;最后，理解用符号进行推理的规范和逻辑合理性（即前一步的因就是后一步的果），养成“言必有据”的习惯.

七年级学段是学生符号意识形成的关键时间节点，学生虽然在小学初步了解了用字母表示数，但是小学生抽象能力弱，对于抽象符号的意义、内涵和外延理解不深刻，随着年龄的增长和学习内容的深入，学生对事物的认识逐步由感性趋于理性，所以从学生学习心理的角度来看，更适合在七年级进行符号意识培养. 另外，从七年级整个学段的教材内容编排来看，符号意识逐步渗透、贯穿始终. 有理数中有关概念、运算法则、运算律的表示初步渗透了符号意识，整式的加减则是符号参与的“操作”（运算），方程和不等式用代数式表达复杂问题之间的数量关系，几何推理则是更深入一步，用符号语言表达图形中的位置和数量关系，用符号进行逻辑推理. 故在七年级教学中，教师要时时处处考虑符号意识形成的教学策略，为学生学习更为抽象的函数打下坚实的基础，为整个初中学段数学学习奠基.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]钟珍玖. 初中生符号意识形成策略初探[J].  中国数学教育（初中版），2017（6）：29-32.