*环上的扭可逆元

严佳萌, 陈 轩, 魏俊潮

(扬州大学数学科学学院, 江苏 扬州 225002)

令R为有单位元的结合环.设a∈R, 若存在b∈R,且满足a=aba,b=bab,ab=ba, 则称a是R的群可逆元,b为a的群逆元.由文献[1]知,b是唯一的, 记为a#,有a=aa#a,a#=a#aa#,aa#=a#a.用R#表示R的全体群可逆元的集合.

设*:R→R是一个双射.若满足(a*)*=a,(a+b)*=a*+b*,(ab)*=b*a*,∀a,b∈R, 则称R为一个对合环或*-环[2].设R为*-环,a∈R.若存在b∈R, 使得a=aba,b=bab,(ab)*=ab,(ba)*=ba,则称a为R的Moore Penrose可逆元, 简称为MP可逆元, 称b为a的MP逆元.由文献[3]知,b是唯一的,记为a+,有a=aa+a,a+=a+aa+,(aa+)*=aa+,(a+a)*=a+a.用R+表示R的全体MP可逆元的集合.设R为*-环,a∈R#∩R+.若a#=a+, 则称a为EP元[4].用REP表示R的全体EP元的集合.关于EP元的研究还可参见文献[5～9].

设R是一个*-环,a∈R,若存在b∈R, 满足a=aba,(ab)*=ba, 则称a为扭可逆元,b为a的扭逆元.易见,若b为a的扭逆元, 则a(bab)a=(aba)ba=aba=a,(a(bab))*=((aba)b)*=(ab)*=ba=b(aba)=(bab)a, 故bab也为a的扭逆元,可见扭可逆元的扭逆元是不唯一的.用atw表示扭可逆元a的全体扭逆元的集合.若a为R的可逆元,则a为R的扭可逆元,且a-1为a的扭逆元.本文拟借助扭可逆元继续刻画EP元.

1 主要成果

定理1设a为*-环R的扭可逆元,a0为a一个取定的扭逆元, 则atw={a0+x-a0axaa0|其中x∈R, 满足(ax)*=xa}.

证明 设W={a0+x-a0axaa0|其中x∈R, 满足(ax)*=xa}.任取y∈atw, 则a=aya,(ay)*=ya, 易见a(y-a0)a=0, 有y=a0+(y-a0)-a0a(y-a0)aa0, 且[a(y-y0)]*=(ay-aa0)*=(ay)*-(aa0)*=ya-a0a=(y-a0)a.从而y∈W, 即atw⊆W.反之, 对任意x∈R, 满足(ax)*=xa,有a(a0+x-a0axaa0)a=aa0a+axa-aa0axaa0a=a+axa-axa=a,[a(a0+x-a0axaa0)]*=(aa0+ax-axaa0)*=(aa0)*+(ax)*-(axaa0)*=a0a+xa-(aa0)*(ax)*=a0a+xa-a0axa=(a0+x-a0axaa0)a.从而a0+x-a0axaa0∈atw, 即W⊆atw, 故atw=W.

记Itw(a)={x∈R|axa=0且(ax)*=xa},则由定理1可得下面的推论.

推论2设a为*-环R的扭可逆元,a0为a的一个扭逆元, 则atw=a0+Itw(a).

定理3设R为*-环,a∈R,则a∈REP当且仅当a∈R+且a为扭可逆元.

证明 必要性.假设a∈REP, 则有a∈R+且a+=a#, 故a=aa+a,(aa+)*=aa+=aa#=a#a=a+a.因此,a为扭可逆元.

充分性.由于a为扭可逆元, 则有b∈R,使a=aba;(ab)*=ba.因a∈R+, 故a+存在且aa+=abaa+, 从而aa+=(aa+)*=(abaa+)*=(aa+)*(ab)*=aa+ba, 于是a+=a+aa+=a+(aa+ba)=a+ba, 进而a+(1-a+a)=a+ba(1-a+a)=0, 从而aa+(1-a+a)=0.两边取*得(1-a+a)aa+=0, 故(1-a+a)a=(1-a+a)aa+a=0, 即有a=a+a2.又因a+a=a+(aba)=(a+a)(ba), 故a+a=(a+a)*=(ba)*(a+a)*=aba+a.左乘1-aa+, 得(1-aa+)a+a=(1-aa+)aba+a=0.两边取*得a+a(1-aa+)=0, 故a=a2a+, 于是aa+=(a+a2)a+=a+(a2a+)=a+a, 从而a为EP元.

推论4n阶复方阵A是EP矩阵当且仅当A是扭可逆矩阵.

设a∈R+, 则由文献[10]中定理1.1知aa*∈REP, 因此由定理3得下面的推论.

推论5设R为*-环,a∈R+, 则aa*,a*a都是扭可逆元.

定理6设R为*-环,a∈R#, 若a为扭可逆元, 则a∈REP.

证明 由于a为扭可逆元,则有b∈R,使a=aba;(ab)*=ba, 故ba=(ab)*=(a#aab)*=(ab)*(a#a)*=ba(aa#)*, 从而a=aba=aba(aa#)*=a(aa#)*.因此aa#=aa#(aa#)*, 即aa#为对称元, 故由文献[10]中定理1.2知a∈REP.

推论7设A是n阶复方阵,有: i)若AHA是扭可逆矩阵, 则AHA是EP矩阵; ii)若AAH是扭可逆矩阵, 则AAH是EP矩阵.

定理8设R为*-环,a∈R为扭可逆元,b∈atw,有: i)ab*∈R#且(ab*)#=a*b; ii)(bab)*a∈R#,且[(bab)*a]#=ba*; iii)ab*a为扭可逆元,且ba*b为ab*a的一个扭逆元.

证明 i)由b∈atw, 得a=aba,(ab)*=ba, 故(ab*)(a*b)(ab*)=a(b*a*)(ba)b*=a(ab)*·bab*=ababab*=ab*,(ab*)(a*b)=a(ab)*b=abab=ab;(a*b)(ab*)=a*(ba)b*=a*(ab)*b*=(baba)*=(ba)*=ab, 有(ab)*(a*b)=(a*b)(ab*), 知ab*∈R#, 且(ab*)#=a*b.

ii)因[(bab)*a](ba*)=(bab)*(ba)*a*=(ababab)*=(ab)*=ba,(ba*)[(bab)*a]=b[a*(bab)*]a=b(baba)*a=b(ba)*a=baba=ba,[(bab)*a](ba*)[(bab)*a]=ba(bab)*a=(ab)*(bab)*a=(babab)*a=(bab)*a, 故(bab)*a∈R#, 且[(bab)*a]#=ba*.

iii)因(ab*a)(ba*b)=ab*(ba)*a*b=a(abab)*b=a(ab)*b=abab=ab,(ba*b)(ab*a)=ba*(ab)*b*a=b(baba)*a=b(ba)*a=baba=ba,(ab*a)(ba*b)(ab*a)=ab(ab*a)=ab*a, 故ab*a为扭可逆元, 且ba*b为ab*a的一个扭逆元.

定理9设R为*-环, 则a为扭可逆元当且仅当a*为扭可逆元.

证明 由于a为扭可逆元, 则有b∈R, 使a=aba;(ab)*=ba, 故a*=(aba)*=a*b*a*;(a*b*)*=ba=(ab)*=b*a*, 得a*是扭可逆元.同理可知(a*)*为扭可逆元, 从而a是扭可逆元.

定理10设A为n阶复方阵, 若有方阵B, 使A=ABA且(AB)H-BA为幂等矩阵, 则A为EP矩阵.

证明 由已知条件知(AB)H-BA=[(AB)H-BA][(AB)H-BA]=(AB)H-(AB)HBA-BA(AB)H+BA, 从而 2BA=(AB)HBA+BA(AB)H.左乘A得2A=A(AB)HBA+A(AB)H, 右乘BA得2A=2A(AB)HBA, 故A=A(AB)HBA=A(AB)H.再右乘AA+得A2A+=A(AB)HAA+=A(AA+AB)H=A(AB)H=A, 故r(A)=r(A2), 从而A#存在且A#A=A#A2A+=AA+, 于是A为EP矩阵.

定理11设R为*-环,a∈R,则a为(1,3)-可逆元当且仅当a为左*-可消元, 且存在b∈R, 使得(1-ab)[1-(ab)*]=[1-(ab)*](1-ab),a=aba.

证明 必要性.假设a为(1,3)可逆元, 则a为左*-可消元且有(1,3)-逆元c, 使a=aca,(ac)*=ac, 故(1-ac)[1-(ac)*]=(1-ac)2=[1-(ac)*](1-ac).

充分性.若存在b∈R, 使a为左*-可消元且a=aba;(1-ab)[1-(ab)*]=[1-(ab)*](1-ab), 则ab(ab)*=(ab)*ab, 从而ab(ab)*a=(ab)*a,a*ab(ab)*a=a*(ab)*a=(aba)*a=a*a.因a为左*-可消元, 故ab(ab)*a=a, 于是a=(ab)*a,ab=(ab)*ab, 故(ab)*=ab, 即有a为(1,3)-可逆元.

定理12设R为*-环,a∈R, 则a为扭可逆元当且仅当存在x,y∈R, 使得a=axa*=a*ya且ya*=x*a.

证明 必要性.由a为扭可逆元, 有b∈R, 使a=aba,(ab)*=ba, 则a=a(ab)*=ab*a*=(ba)*a=a*b*a.取y=x=b*, 则a=axa*=a*ya,ya*=(ab)*=ba=x*a.

充分性.因a=axa*=a*ya,ya*=x*a, 故a*=ax*a*=a*y*a, 有a=axa*=ax(a*y*a)=(axa*)y*a=ay*a,a=a*ya=(ax*a*)ya=ax*(a*ya)=ax*a.取b=x*ay*,则ab=ax*ay*=ay*;aba=ay*a=a,(ab)*=(ay*)*=ya*=x*a;ba=x*ay*a=x*a.所以(ab)*=ba,故a为扭可逆元.

定理13设a∈R+∩R#,则a(a#)*(a+)*∈REP当且仅当a(a#)*(a+)*是扭可逆元.

证明 注意到[a(a#)*(a+)*]a*a*a+=a(a2a+a#)*a+=a(aa#)*a+=aa+,(a*a*a+)·[a(a#)*(a+)*]=(a+a#a+a3)*=(a+a)*=a+a,故a(a#)*(a+)*∈R+且[a(a#)*(a+)*]+=a*a*a+.根据定理3知a(a#)*(a+)*∈REP当且仅当a(a#)*(a+)*是扭可逆元.

推论14设a∈R+∩R#, 则下列条件等价: i)a∈REP; ii)a(a#)*(a+)*∈REP; iii)a(a#)*·(a+)*是扭可逆元.

定理15设a∈R+∩R#, 则a(a#)*(a+)*a#∈R+且[a(a#)*(a+)*a#]+=a+a2a*a*a+.

证明 由定理3可知[a(a#)*(a+)*a#](a+a2a*a*a+)=a(a#)*[(a+)*a#a+a2](a*a*a+)=a(a#)*(a+)*(a*a*a+)=aa+,(a+a2a*a*a+)[a(a#)*(a+)*a#]=a+a2{(a*a*a+)[a(a#)*·(a+)*]}a#=a+a2a+aa#=a+a, 故a(a#)*(a+)*a#∈R+且[a(a#)*(a+)*a#]+=a+a2a*a*a+.

推论16设a∈R#∩R+, 则下列条件等价: i)a∈REP; ii)a(a#)*(a+)*a#∈REP; iii)a(a#)*(a+)*a#为扭可逆元.

定理17设a∈R#∩R+, 则a∈REP当且仅当[a(a#)*(a+)*a#]+=aa*a*a+.

证明 必要性.假设a∈REP, 则a+=a#, 故由定理15知[a(a#)*(a+)*a#]+=a#a2a*a*a+=aa*a*a+.充分性.假设[a(a#)*(a+)*a#]+=aa*a*a+, 则由定理15知a+a2a*a*a+=aa*a*a+.右乘a(a#)*得a+a2a*=aa*,再右乘(a+)*得a+a2=a, 故a∈REP.