全等三角形中双垂直问题的探究

洪萍

摘要：在双垂直条件背景下，能通过抽象、概括去认识、理解、把握全等三角形的数学本质，熟悉基本图形的特征.渗透学生的核心素养，增强学生的数学素养与数学学习的能力，培养学生应用数学的意识.

关键词：双垂直;核心素养;解题策略

引言：

在全等三角形的问题中，经常會添加双垂直的条件，如何使学生能更好地理解全等三角形的概念，能通过抽象、概括去认识、理解、把握全等三角形的数学本质，在本文中对解决此类型的问题，进行了解题策略的探究。

一、从图形与图形的关系中抽象出全等三角形的概念，从双垂直的具体背景中抽象出一般规律和结构

1.如图，DC⊥CA，EA⊥CA，CD=AB，CB=AE，求证：

（1）△BCD≌△EAB;

（2）DB⊥BE.

解题策略：在证明第（1）题时，结合图形，从DC⊥CA，EA⊥CA，的双垂直条件中，找出∠C=∠A=90°后，应用“S.A.S.”证明两个三角形全等，第（2）题应用“全等三角形对应角相等”得到∠D=∠ABE，再通过“直角三角形的两锐角互余”得到∠D+∠CBD=90°，使得∠ABE+∠CBD=90°，就容易推理出DB⊥BE。

本题在双垂直条件的背景下，寻找证明全等三角形的条件，应用全等三角形和直角三角形的性质证明线段垂直.帮助学生理解全等三角形的概念、性质，熟悉基本图形的特征。

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验.学生能更好地理解数学概念、性质，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯。

二、能掌握全等三角形推理的基本形式，能理解双垂直和全等三角形图形之间的联系，建构知识框架

2.如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别为B、E，AE、BC相交于点F，且AB=BC，求证：△ABF≌△CBD.解题策略：由双垂直条件CB⊥AD，AE⊥DC，找出∠ABF=∠CBD=∠AED=90°，可以利用“直角三角形的两锐角互余”得到∠AFB=∠CDB，或者找到“8字型”的△ABF和△CEF，利用“三角形的内角和等于180°”得到∠A=∠C，再运用“A.S.A.”证明△ABF≌△CBD。

本题在双垂直条件背景中，利用“直角三角形的两锐角互余”或者“8字型”模型，找出证明全等三角形的条件，使学生掌握一题多解的证明方法，经历演绎推理的过程。

关于全等三角形的三个基本事实，是进行演绎推理的重要推理，学生能够发现问题和提出命题，表述论证的过程，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。

三、对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建全等三角形模型解决问题

3.如图，王强同学用10快高度都是2㎝的相同长方体彩色小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺ABC（AC=BC，∠ACB=90°），点C在地面DE上，点A和B分别与木墙的顶端恰好重合，求两堵木墙之间的距离DE，并说明理由。

解题策略：在实际情境中发现，与地面双垂直的木墙之间的等腰直角三角尺ABC，找出∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，利用“直角三角形的两锐角互余”得到∠CAD=∠BCE，运用“A.A.S.”证明△ACD≌△CBE.应用“全等三角形的对应边相等”推理出CD=BE，AD=CE.就容易求出DE长。

本题对现实问题进行数学抽象，在双垂直的背景下，构建全等三角形模型解决问题。

数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。

四、利用图形描述、分析数学问题，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路

4.如图，已知AD⊥BC于点D，AD=BD，AC=BE.

（1）求证：∠1=∠C;

（2）猜想BE和AC有何特殊位置关系，并说明理由.

解题策略：第（1）题AD⊥BC可以得到∠BDE=∠ADC=90°运用“H.L.”证明Rt△BDE≌Rt△ADC，应用“全等三角形的对应角相等”推理出∠1=∠C.第（2）题直观想象BE⊥AC，做BE的延长线到AC，交AC于点F，应用“全等三角形的对应角相等”得到∠DBE=∠DAC.找到“8字型”的△BDE和△AEF，利用“三角形的内角和等于180°”得到∠BDE=∠AFE=90°，说明了BE和AC有特殊位置关系：垂直。

本题在双垂直条件的背景下，直观想象BE和AC有特殊位置关系，运用全等三角形的数学模型，进行逻辑推理，构建抽象结构。

五、进一步发展数学运算能力，能有效借助运算方法解决实际问题，通过运算促进数学思维发展

5.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D、E，AD=3，BE=1，则DE=          。

解题策略：从AD⊥CE，BE⊥CE，可知∠ADC=∠CEB=90°，利用“直角三角形的两锐角互余”得到∠CAD=∠BCE，运用“A.A.S.”证明△ACD≌△CBE.应用“全等三角形的对应边相等”推理出AD=CE，CD=BE，就可以计算出DE长。

本题在双垂直的条件下，结合直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，通过两线段差的运算，促进数学思维发展。

在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力;能有效借助运算方法解决实际问题;能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯;形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

激发学生的学习兴趣， 增强学生的数学素养与数学学习能力，体会数学的应用价值。

参考文献：

[1]《初中数学课程标准》2021版.

[2]《浅谈培养初中生数学核心素养的策略》 [J] 吕运来 天天爱科学教育前沿 2020.688114E1-4DE3-4D3A-A479-BDA8BF3674C7