用磁标势求解正方形边界区域内外感生电场的分布

姜付锦 邓 峰

（1.黄陂一中试题研究中心，湖北 武汉 430300；2.北京理工大学附属中学，北京 100089）

1 参考文献［1］中的问题

如图1所示，设想圆弧所在圆周是由同样导体制成的闭合电路，设整个圆周产生的电动势为E周，圆弧l产生的电动势为E弧，则根据法拉第电磁感应定律有

图1

由于圆周的对称性，每段等长的圆弧所产生的感应电动势都必然相等，所以

为了寻求感应电动势与扇形面积之间的关系，对（2）式作一个等效变换，

所以

（4）式表明，处于变化磁场中的一段圆弧形导体产生的感应电动势大小等于圆弧所对应的扇形面积与磁感应强度变化率的乘积.当然，需要注意的是：（4）式结论成立的前提是磁场必须是“无限大”的磁场，与磁感应强度是否均匀变化无关.

2 圆柱形边界形成的感生电场

若磁场的边界是圆柱形，圆柱半径为R，磁感应强度随时间变化率为，则由法拉第电磁感应定律可得周围空间感生电场强度为［2］

如图2所示，感生电场线是与圆柱同心的一系列圆周，当r增大时感生电场强度先增大，后变小.当圆弧形导体放在这样的感生电场中，且圆弧圆心与圆柱的轴重合时，（4）式正确，并且与边界是否无限大无关，与磁感应强度是否均匀变化无关；若圆弧形导体的圆心与圆柱的轴不重合，即便是无限大边界磁场，根据参考文献［3，4］中的方法与思想可以证明（4）式有待商榷.这是因为当扇形的两个半径与所处位置的感生电场线不垂直时，电路的有效面积不等于扇形面积.为了使圆弧形导体产生的感应电动势等于扇形面积与磁感应强度变化率的乘积，则扇形的两个半径必须与所处位置的感生电场线垂直.

图2 圆柱形边界感生电场线

3 正方形边界形成的感生电场

图3

（9）式是对边界内、外的区域都统一成立.

若已知矩形的边界和磁感应强度的变化率，利用（9）式可以求出感生电场强度的两个分量表达式，但是这个积分非常复杂，可以用数学软件来运算，可以参看参考文献［5］中的表达式，这里不再赘述.

3.1 感生电场线方程的推导

设感生电场线方程为y=y（x），根据参考文献［6］的思想与方法得

（11）式是对边界内、外区域都适用.这表明边界内、外的电场线方程在形式上是统一的.感生电场线方程可由（11）式确定，但是（11）式的积分非常复杂，这是因为感生电场线方程不是显函数，而是隐函数.我们可以换一种思路，对整个感生电场，一般不能引入标量势，但对于对边界外的区域，由于感生电场强度的旋度处处为0，

类似磁场在无电流分布的区域可以引入磁标势一样［7］，可以引入标量势A，得

正方形边界内外形成的感生电场线是二维曲线簇，可以根据解析函数的实部函数和虚部函数对应曲线簇在空间处处正交的性质，将A作为解析函数的实部，通过构造一个解析函数而求虚部E，即得电场线方程.

设感生电场线曲线族等值方程为

由解析函数柯西 黎曼条件［8］

（17）式曲线簇等值方程表示边界外部电场线方程.

正如（9）、（11）两式的分析，边界内、外的电场线方程是统一的，因此（17）式也可以表示边界内部感生电场线方程.

设磁场矩形边界为-a≤x≤a，-b≤y≤b，则（9）式积分可变为

（20）式曲线簇等值方程为正方形边界形成的感生电场线方程.

3.2 正方形边界内外感生电场线

研究发现：（20）式不定积分结果有解析解，但是相当复杂，可以用数学软件来计算.若k=2πT／s，a=b=1 m，则正方形边界内外感生电场线如图4所示.

图4 正方形边界内外感生电场线

图4是由（20）式数值模拟出的正方形边界内外的感生电场线分布图（图4中黑色边框为磁场的边界）.可以看出，正方形边界内部越靠近边界，感生电场线越类似变形的正方形，靠近中心的感生电场线为圆周，正方形边界外的感生电场线类似一系列同心圆［5，9］；若圆弧形导体（图4中虚线部分）的两个半径与所处位置的感生电场线垂直，则导体上感应电动势为扇形面积 与磁感应强度变化率的乘积；若不垂直，则导体上感应电动势并非正比于扇形的面积，导体上产生的感应电动势可以用感生电场强度沿导体的定积分来计算［3，4］，限于篇幅这里不再赘述.

4 结语

通过以上分析不难发现，若圆弧形导体处在圆柱形边界的感生电场中，且圆弧的圆心与圆柱轴重合，则导体上感应电动势为扇形面积与磁感应强度变化率的乘积；若圆弧形导体处在正方形边界的感生电场中，且圆弧形导体的两个半径与所处位置的感生电场线垂直，则导体上感应电动势为扇形面积与磁感应强度变化率的乘积；若扇形的两个半径与所处位置的感生电场线不垂直，则导体上感应电动势不等于扇形面积与磁感应强度变化率的乘积，导体上产生的感应电动势可以用感生电场强度沿导体的定积分来计算.若磁场边界是正方形，则空间产生的感生电场强度和感生电场线方程都有解析解，电场线方程偏离圆周曲线方程.