对2021年全国高考甲卷物理卷第11题的深入思考

陈 俊

（南京市第九中学，江苏 南京 210018）

1 原题重现

例 题.（2021年高考甲卷物理卷第11题）如图1，一倾角为θ的光滑斜面上有50个减速带（图中未完全画出），相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带L处由静止释放.已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关.观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同.小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下.已知小车与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.

图1

（1）求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；

（2）求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；

（3）若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应满足什么条件？

（2）由（1）知小车通过第50个减速带后的速度为v1，则在水平地面上根据动能定理有

从小车开始下滑到通过第30个减速带，根据动能定理有

2 试题评析

这是一道以生活中常见减速带为背景命制的情景类试题，考查考生对牛顿运动定律、能量守恒定律等知识点的掌握情况，从物理核心素养的角度来看，体现了对考生的物理观念（运动观念，能量观念），科学思维（模型构建，关键能力）和科学意识（交通安全意识，社会责任意识）的考查，不失为一道好题.但是在问题的解答部分有需要商榷的地方，在此提出想法供大家参考.

从物理模型看，这道题创设了一个无摩擦的理想斜面模型，无动力小车在光滑的斜面匀加速下滑，模拟了汽车在斜坡上无动力滑行的情景；为了将汽车速度减小以保证安全，在汽车行进路线上安装减速带，汽车遇到减速带时会损失一部分机械能（动能），使得汽车速度减小；从题目的描述上看最终达到一种相对稳定的状态（相邻减速带间的平均速度均相同）时需要通过30个减速带，现实生活中应该没有哪个斜坡上会安装这么多减速带，所以不提倡汽车在斜坡上无动力或空挡滑行，体现试题的交通安全意识和社会责任意识的引领.

题目中提到“已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关”也与实际情况基本相符.速度越大，汽车与减速带间的相互作用就越强烈，损失的机械能就越大.这样才能起到很好的减速效果.所以这句话可以引申理解为“小车通过减速带时速度越大，损失的机械能就越大”.这句话是本题的核心，也是接下来讨论问题的关键.

3 运动分析

因为小车下滑的起始位置不确定，所以与第1个减速带相遇时的速度未知，可能较小（L不太大时），也可能较大（L较大时），使得小车从第1个减速带到第30个减速带之间的运动可以出现两种情景.

（1）L较小——小车在到达第1个减速带时速度较小，与减速带之间作用时损失的机械能较小，小于在相邻两个减速带之间增加的动能，所以在到达第2个减速带时的速度大于到达第1个减速带时速度；以此类推，在30个减速带之前小车与每一个减速带作用时损失的机械能均小于在相邻两个减速带之间增加的动能，所以小车在斜面上运动的速度会逐渐增加；当通过第30个减速带后，小车与每一个减速带作用时损失的机械能均等于在两个减速带之间增加的动能.

（2）L较大——小车在到达第1个减速带时速度较大，与减速带之间作用时损失的机械能较大，大于在相邻两个减速带之间增加的动能，所以在到达第2个减速带时的速度小于到达第1个减速带时速度；以此类推，在30个减速带之前小车与每一个减速带作用时损失的机械能均大于在相邻两个减速带之间增加的动能，所以小车在斜面上运动的速度会逐渐减小；当通过第30个减速带后，小车与每一个减速带作用时损失的机械能均等于在两个减速带之间增加的动能.

以上两种情况都符合题目的描述，所以满足条件的L应该会有两个值，这两种情况在每一个减速带上平均损失的机械能是不同的，标准解答中的表达式

可以看出，L取不同的值，ΔE′的值是不同的，符合前面的分析.

这样一来，本题的第（3）问的解答过程就有待商榷了：“（3）若小车这种情景，则L应满足什么条件？”

从给出的标准答案上看，只要利用前面两问的结论进行简单的判断，在正确分析出前两问的基础上本问的解答没有任何难度.作为一道题的最后一问不论是从试题设问的结构上还是从试题考查的梯度上看略有不妥.

4 深入思考

（1）很明显从题目的设问上分析：“小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能”，这种情况对于应该是L较大的情景：小车的从第1个减速带开始通过减速带损失的机械能是依次减小的，均大于通过第30个减速带损失的机械能，所以才符合题目设问的要求；如果是第1种情景，则小车在通过1—30个减速带的速度是逐渐增加的，但均小于通过第30个减速带损失的机械能，所以小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能应小于之后每一个减速带上损失的机械能，不符合设问的要求.

（2）按照题目的要求，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同，那么小车在到达第30个减速带时的速度应该是一个定值.这样才能保证通过每一个减速带时损失的机械能相等，等于两个减速带之间的重力势能的变化量.据此分析小车在这种情况下释放处距第一个减速带L应该是一个定值而不是一个范围，提供的解答中认为L是一个范围，至少要大于某一值的说法值得商榷！

当然本题中根据题中现有的已知条件无法求出这个值，因为小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时速度的具体关系没有明确给出.这个关系会比较复杂，可能不是简单的正比关系所能描述的，既要跟实际情况基本吻合，又要跟题目中所给出的小车在平面上的运动的数据形成自洽的结果，设置起来有很大的难度.

我们不妨通过简单的假设来分析一下：假设ΔE与v2成正比，即ΔE=kv2.小车到达第1个减速带时的速度为

根据题目的描述：小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同.可得

这里计算量颇大，就不展开求解了，从上述关系式可以看出，满足条件的L应该是一个定值.

当然这里的ΔE与v2成正比是一个假设，在此只是以其中一种存在的可能性来帮助分析答案的合理性，两者之间满足的关系可能比这要复杂得多.

如果这样来分析本题的第（3）问，考生遇到的思维难度不小，对学生的分析综合能力要求比较高.考查了学生分析、推理、判断和综合能力，体现了对考生辩证性思维能力的考查.