高中数学课堂培养学生建模素养的实践探索

李婷

摘 要：数学建模，是用数学语言、数学符号对实际现象进行描述，可用来解释特定现象间的数学联系，在实际问题解决中发挥着重要作用。文章先分析培养数学建模素养的重要意义，再粗略探讨培养数学建模素养的可行性途径，旨在打造一个良好的建模体验环境，让学生善于用相对完善的模型解决实际问题。

关键词：数学;建模素养;培养

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1673-8918（2022）06-0078-04

一、 引言

以往教学活动，习惯直接讲解课堂知识，再为学生布置一些作业，不重视开展数学建模活动，学生们缺少用数学建模解决问题的经验。同时，因学生们数学建模基础知识相对薄弱，所以，对建模活动兴趣不大，总是抱着无所谓的态度。加之个别教师建模能力相对薄弱，影响到了学生数学建模素养养成。为解决这个问题，要创新设计课堂上的数学建模活动。

二、 培养数学建模素养的意义

数学建模，需要通过观察事物间关系、空间关系和数学信息抽象出相关问题，再建立对应模型。建模过程中，学生们将自然而然养成良好独立思考习惯，从中掌握用数学模型解决实际问题的方法。学会建模以后，学生们将拥有一定“翻译”能力，能抓住问题实质将实际问题“翻译”为数学问题，再以列表分析法、图像分析法等相对简单的方法解决问题。同时，对学生数学建模素养进行培养时，引导他们善用数学知识自主建立相应数学模型，能让他们真正体会到学以致用的乐趣，进而产生求知欲，积极参与到知识学习中。以往教学，以教材为主，使学生渐渐形成了求同思维，爱模仿课本训练题进行思考。针对这个问题，设计一些开放性题目，引导学生运用不同方法，从不同角度建立对应模型，解决问题，能促使学生养成求异思维，让他们拥有良好的创新意识。除此之外，对学生数学建模素养进行培养，有助于学生想象力、分析能力、创造能力的共同发展。

三、 数学教学培养学生数学建模素养的对策

（一）选取生活案例

数学建模学习中，只有产生浓厚兴趣，才能长时间集中注意力，不出现走神情况。以往教学中，一味使用教材中例题开展建模活动，令学生感觉索然无味。针对这个情况，为点燃学生数学建模兴趣，要精心筛选一些生活案例，结合生活案例开展建模教学。数学学科来源于生活，又服务现实生活，其有着生活性特征。善用生活案例，不仅便于学生理解建模过程，也有助于学生深入了解、体会建模。对生活案例进行筛选时，要充分考虑学生们的认知水平，使用难度适中的案例。同时，要注意案例的趣味性，选择日常生活中的小事。如此，能激发学生发散性思考如何用数学模型解决现实问题，乐于建立模型。另外，实际教学中，要重视将生活案例融入各个教学环节，包括新课导入环节、知识要点讲解、案例教学等。其中，在案例教学环节，可指导学生有效解析生活案例。生活案例解答中，面对复杂、繁冗的问题，一步步为他们建立相关数学模型，用数学模型简化问题，消除他们在案例解析中表现出的畏惧、消极心理，培养学生养成良好的建模意识。而在知识要点讲解中，为了让学生深刻理解知识点关键内涵，也可选取适合的生活案例，再带领学生一起探寻与生活案例相呼应的数学模型，结合数学模型分析知识要义。其间，学生们将始终保持相对积极的模型建立意识，能带着现实案例建立数学模型，探知数学知识点。其中，在“指数函数”一课教学时，可精心创设“折纸”这样一个真实情境。折纸，是日常生活中比较常见的，让学生动手折纸发现对折次数x与所得层数y之间的关系，能较好地调动学生好奇心，使他们主动动手操作与观察，认真记录对折次数1次、2次、3次、4次、x次所对应的纸张层数2（21）层、4（22）层、8（23）层、16（24）层、2x层，自行构建出y=x2这样一个函数模型。折纸过程中，还可引导学生自主观察对折次数x与折后面积y之间的关系，对x与y的关系展开分析，认真记录折前纸张面积为1的情况下对折次数1次、2次、3次、4次所对应的折后面积12、14、18、116，最后构建y=12x这一对应数学模型。当学生有了一定指数函数模型建模体验以后，可引入《庄子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”取短木棍生活案例，请学生分析取x次后，短木棍的剩留量y与x的函数关系。在这里，让学生结合生活案例发现问题，在具体问题中“翻译”出指数模型，能增进学生对生活中指数函数模型的感受，让他们养成良好数学建模素养。

（二）融入信息技术

在对学生数学建模素养进行培养时，可发挥信息技术优势，用于分析数据，直观呈现模型建立过程，对模型进行求解和检验。其中，在模型分析这个环节中，可用几何画板动态展示模型，让学生清楚看到用数学知识构建起的函数模型、几何模型、代数模型等，再细致解析模型。而在模型建立环节，面对数据较多的情况，可打开几何画板，一步步指导学生如何建立模型，直观演示模型建立过程。这种教学方式，能让学生牢牢掌握具体模型的建立方法。同时，依托信息技术培养学生建模素养时，要充分考虑到学生们对数学知识的理解情况，紧密联系他们熟悉的情境用信息技术直观、形象演示数学模型的整个建立过程，为学生想象模型的建立提供支撑，使模型建立过程变得简单易懂，最终收到事半功倍的数学建模素养培养效果。其间，在直观演示模型以后，还要指导学生细致观察模型，转换角度对模型进行分析和描述，以深化对数学模型的认识，从中积累良好的数学模型建构体验，为建模素养养成奠定下良好基础。另外，为更好地满足学生数学建模素养养成需求，要尝试用相对简洁的方法表示模型，多媒體展示模型。当用课件将数学模型建立过程逐步展示到学生眼前以后，要注意引导学生完整、有序地说出数学模型的本质，以深化他们的建模体验。其中，在“统计案例”一课教学时，当学生掌握了本节课所学知识以后，可为他们设计这样一道练习题，用于检验他们的知识学习情况：某海水养殖场的某水产新、旧网箱养殖方法产量对比、收获时各随机抽取了100个网箱，那么有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关吗？其间，用多媒体教学工具直观展示测量各箱水产品产量的频率分布直方图，再为学生直观演示根据箱产量频率分布直方图构建列联表的方法，正确填写出列联表中旧养殖法下箱产量<50kg的有62箱，箱产量≥50kg的有38箱。新养殖法下，箱产量<50kg的有34箱，箱产量≥50kg的有66箱。得到列联表数学模型以后，根据列联表中数据展开分析，运算K2=200×（62×66-34×38）2100×100×96×104，得到15.705>6.635，最后由模型分析结果得出有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。整个教学活动中，通过融入信息技术为学生演示数学模型建立、分析全过程，让学生数学建模能力得到了较好熏陶，为学生数学建模素养发展奠定了良好基础。

（三）模型分类教学

高中阶段，学生们将学习到理论模型、人口模型、生态模型、解析几何模型、各类函数模型、描述性数学模型等不同类型模型。针对数学模型的多样性，要有针对性地采取分类教学活动，结合教材和习题，有目的地为学生讲解某一种类型的数学模型，对模型的一般建构流程等进行分析，以逐步发展学生数学建模素养。同时，采取分类教学方法，能让学生真正做到学以致用，善用所学到的模型建构方法解决具体问题，真正加深学生对数学建模的理解。模型分类教学中，可精心组织一系列专题活动。专题活动中，为学生耐心讲解常见的数学模型分类，根据模型的功能、目的、变量间关系、结构等分析模型的不同类别，再引导学生一同分析数学模型的具体特点，结合实例了解不同类型模型应用中的相关注意事项。当学生增进了对数学模型的理解以后，他们将更善于应用模型化方法，以建模方式解决更多问题。“函数模型”，是数学问题解决中常用模型之一，可针对这一部分内容展开专题教学，以专题教学方式增进学生对函数模型的理解和认识。在“函数模型”专题教学中，先为学生耐心讲解直线型、二次型、幂函数型、指数函数、对数函数型几种常见的函数模型;接着，细致分析几种函数模型中指数函数增长最快，其次是幂函数型，最后是对数函数型;同时，结合具体例题，为学生解析函数模型建构过程，说明要先准确设出自变量x，找到待求量y，解决问题，将其转化为数学问题。另外，在这个过程中，指出建立函数关系式是难点。然后，为学生布置一个任务，要求学生自主动手在同一坐标系中画y=x、y=x2、y=x3、y=x12、y=x-1这5个函数的图像，观察函数模型，分析这样几个问题：①所有图像都不过第几象限，为什么？②第一象限内图像的变化趋势与指数有什么关系，为什么？③所有图像都过哪些点，为什么？④对原点，什么样的幂函数过什么样的幂函数不过，为什么？函数模型构建中，通过直观观察，学生们将自主发现幂函数的相关性质。在这里，通过分类教授函数模型，能锻炼学生对函数模型的应用，让他们的建模素养有显著性提高。

（四）丰富教学形式

对学生数学建模素养进行培养时，不能局限于传统“灌输式”教学模式，要采取不同的教学形式。首先，课堂上，可以通过建模方式攻克课程教学重难点。具体教学中，以建模方式有选择性地讲解重点知识。其次，要重视引导学生欣赏优秀的建模案例。高中阶段，对建模的应用相对广泛，应尝试展示稍复杂的建模案例，辅导学生学习案例中的建模方法。再次，要有针对性地采取自主、合作、探究教学模式，在突出学生主体地位基础上为他们安排一些数学建模自学任务，鼓励他们相互分享、交流建模经验，共同成长。除此之外，课堂上，为夯实学生建模能力，要精心组织趣味性建模比赛，通过实践活动帮助学生积累建模经验，让学生建立起数学建模自信心。在数学建模实践活动组织中，为增强学生对数学建模的认识，激发学生学习数学建模的热情，可专门开设数学建模知识讲座，以知识讲座的方式向学生渗透数学建模思想和数学建模理论。当学生初步形成了数学建模意识以后，有针对性地为他们组织一次交流会，鼓励他们相互交流自己的见解，丰富学生建模经验。然后，在班内组织一次小型的建模大赛，鼓励学生运用自己已掌握的知识展现建模这门“手艺”。通过参与群众性建模比赛，学生们的数学建模潜能将被充分激发出来，他们将提高运用数学模型解决实际问题的综合能力。其中，在“平面向量的运算”一课教学时，为培养学生数学建模素养，可采取自主探究教学模式。实际教学中，请学生自主求解两块斜边长相等的直角三角板拼在一起的情况下，若AD=xAB+yAC，则x是多少。基于自主探究学习情境下，要求学生自由构建数学模型解决问题。其间，有的学生将尝试以AB所在直线为x轴、以A为原点构建平面直角坐标系，结合这个数学模型设定AB=2，再结合题中已知條件求解x的值，得到x是1+32。当个别学生提出这种模型构建方法以后，请其他学生发散自己的思维，从不同角度、不同方向展开思考，尝试采取其他模型构建方法。通过自主思考，有的学生将提出过D作DF⊥AB交AB的延长线于F。构建完模型以后，求解BF=DF=32AB，再根据已知条件得到最终结果。待学生发表完自己的建模观点以后，可为他们搭建一个交流平台，引导他们探讨哪种建模方法更为简单，以便在日后学习中灵活运用适合的数学建模方法。基于自主探究教学模式下，学生们将获得更多自主构建模型的机会，能从中养成良好数学建模素养。

（五）巧用建模习题

建模习题，对学生数学建模素养培养有着重要作用，利于学生真正领悟数学建模内涵，有助于学生认识数学建模基本步骤。巧用建模习题培养学生数学建模素养时，要充分考虑学生认知水平，设计难度较低的建模习题，再循序渐进增加建模难度，以促进学生积累更多成功的建模经验。同时，求解习题时，要尽可能地呈现建模的整个过程，耐心介绍建模的基本环节，以便于学生在问题解决中养成良好建模能力。当学生掌握了难度较低的模型构建方法以后，要以综合知识应用为出发点，设计难度较高的建模问题，再科学指导学生构建对应数学模型。如此，能让学生建模能力得到更好的训练。另外，针对学生数学建模素养进行培养时，要精心安排不同形式的建模习题，鼓励学生自主建立模型完成习题。习题安排中，要充分考虑学生层次水平的不同，设计符合各个层次学生学习需求的建模习题，对他们的建模能力进行训练。同时，要侧重于设计开放性习题，引导学生灵活应用建模知识解决问题。除此之外，要科学布置实践性习题。面对此类习题，学生们将主动搜集相关信息，分析信息，再发挥自己的联想能力构建模型，创造性解决习题中的问题。但是，不管布置何种形式的习题，都要紧密联系课堂教学重难点，启发学生运用数学模型深刻理解重难点，牢牢掌握重难点知识。举这样一个简单的例子，在“三角函数的应用”一课教学时，为培养学生数学建模素养，当学生学会用三角函数解决某些简单的平面几何中距离（线段长度）、夹角等问题以后，可精心为他们布置这样一道练习题：对△ABC，若A>B，则sinA>sinB，请学生自主建立模型判断是否正确。面对这样一道习题，提示学生要根据勾股定理建立对应模型。模型建立中，通过分析A>B这个数学信息，学生们将顺势得出a>b，再由勾股定理建立一个数学模型asinA=bsinB，由此得出sinA>sinB成立。接着，可请学生继续判断“在△ABC中，若a=8，c=10，B=60°，则符合条件的△ABC有两个”是否正确。面对这个判断题，可提示学生结合余弦定理建立数学模型：

b=82+102-2×8×10×12