几何条件梳理，思路突破探究——以2021年苏州市中考几何综合题为例

⦿苏州高新区实验初级中学 张 玲

1 考题再现

考题(2021年苏州市中考数学试卷第28题)如图1所示，在矩形ABCD中，线段EF，GH分别平行于AD，AB，它们相交于点P，点P1，P2分别在线段PF，PH上，PP1=PG，PP2=PE，连接P1H，P2F，P1H与P2F相交于点Q.已知AG∶GD=AE∶EB=1∶2.设AG=a，AE=b.

图1

(1)四边形EBHP的面积四边形GPFD的面积(填“>”“=”或“<”)；

(2)求证：△P1FQ∽△P2HQ；

分析：此题为几何综合题，条件众多，形成了矩形叠套、三角形与矩形结合，同时融合了动点.问题探究涉及到了矩形面积比较、三角形相似、面积比值分析等.问题的条件信息具有层次性，解答分析需要对条件进行梳理，具体如下.

几何背景——矩形ABCD；

平行线——EF∥AD∥BC，GH∥AB∥CD，又EF⊥GH，将矩形分割为四个部分，也是四个矩形；

线段比例——AG∶GD=AE∶EB=1∶2，该信息隐含了矩形相似，即矩形AEPG∽矩形ABCD∽矩形PHCF，且相似比为1∶2∶3；

等线段——PP1=PG，PP2=PE；

交叉三角形——连接P1H,P2F，两线交叉形成了众多三角形.从图形比例关系来看，其中必然存在相似三角形.

2 思路突破

本题目共分三问，解题时要把握问题特征，立足问题条件开展思路探究，下面逐问突破.

2.1 线段比例构建，面积大小分析

第(1)问探究四边形EBHP和四边形GPFD的面积关系，根据条件可知这两个这两个四边形之间没有相似关系，需要根据条件来推导线段长，然后结合公式求面积.

根据题干中的平行条件可知，四边形EBHP和GPFD均为矩形.又知AG=a，AE=b，AG∶GD=AE∶EB=1∶2，则PE=a，PG=b，GD=PF=2a，EB=PH=2b.所以四边形EBHP的面积=PH·PE=2ab，四边形GPFD的面积=PF·PG=2ab，从而可知四边形EBHP和四边形GPFD的面积相等.

2.2 等面积转化，相似关系构建

2.3 面积问题转化，模型构建突破

第(3)问则是关于四边形面积的比值问题，所涉两个四边形的形状不规则，为一般四边形.求两四边形面积的比值，有两种思路：①从割补法构建模型切入，将四边形面积转化为几个常规三角形面积的和，借助三角形分析面积比值；②从图形相似入手，初步来看两四边形为相似关系，只需证明四边形的四个角对应相等即可证明图形相似，则结合相似图形的线段比可推知面积比.基于上述方法思路，下面具体解答.

解法1:构建面积割补模型.

如图2,连接P1P2，FH，则四边形PP1QP2的面积可表示为S1=S△PP1P2+S△P1P2Q，四边形CFQH的面积可表示为S2=S△FHC+S△FHQ.

图2

因为∠P1PP2=∠C=90°，所以△P1PP2∽△FCH.

解法2:构建图形相似模型.

因为∠P1PP2=∠C=90°，所以△P1PP2∽△FCH.

3 深度反思

上述对一道几何综合题进行了深入探究，从突破过程来看，线段的比例、三角形相似的知识是突破的核心，下面深入反思问题解法.

3.1 关于第(2)问的思考

第(2)问是关于三角形相似证明的问题，构建解题思路为：等面积条件转化(四边形EBHP=四边形GPFD)→辅助相似三角形推导(△PP2F∽△PP1H)→问题相似三角形证明(△P1FQ∽△P2HQ).即基于第(1)问的矩形面积相等，提取关于边长相似的比例条件，证明图形中两个矩形相似，进而推导出关键的等角——∠PFP2=∠PHP1.其中辅助相似三角形在思路构建中起桥梁作用，旨在串联问题中的矩形条件与等角关系.同时，证明辅助相似三角形的方法在几何证明题中十分常见.

3.2 关于第(3)问的思考

第(3)问是中考常见的面积比值问题.常见的面积比值问题有两大背景：一是几何图形背景，如本题目；二是函数曲线背景，如反比例函数曲线、抛物线等.在求解面积比值时上述解法采用了两种不同的思路，其中解法1的本质是割补思想，旨在将面积比值转化为面积关系；而解法2的本质是相似转化，旨在将面积比值转化为线段长度关系.故基于不同的方法思路构建了不同的数学模型，由模型完成了面积比值求解.对于两大背景中的面积比值问题，下面总结对应的转化策略.

几何图形背景中的转化策略：

策略1——面积公式，直接求几何面积；

策略2——面积割补，面积比值转化为线段比值；

策略3——相似转化，由相似比求面积比.

函数曲线背景中的转化策略：

策略1——底高模型，面积比值转化为线段比值；

策略2——铅垂模型，面积比值转化为点的坐标参数比值.

3.3 关于问题教学的微设计

实际探究时，建议采用教学微设计的方式引导学生读题审题，理解题意，把握知识条件来构建解题思路.以上述第(3)问的面积比值探究为例，下面开展教学微设计.

环节一：条件梳理，基础强化

条件1：如图2所示，在矩形ABCD中，线段EF，GH分别平行于AD，AB，它们相交于点P；

条件2：点P1，P2分别在线段PF，PH上，PP1=PG，PP2=PE，连接P1H，P2F，P1H与P2F相交于点Q.

条件3：已知AG∶GD=AE∶EB=1∶2，设AG=a，AE=b.

设问1针对条件1，可以得到哪些信息，图中有几个矩形？

针对条件2，P1H和P2F形成了两组三角形△P1FQ和△P2HQ，△PP2F和△PP1H，可以得出怎样的猜想？

针对条件3：根据线段比例，是否可以证明四边形AEPG∽四边形ABCD∽四边形PHCF？若可以请求出相似比.

设计意图：环节一旨在引导学生梳理条件，挖掘隐含信息，同时作出猜想，为后续的综合探究作铺垫.

环节二：设问引导，相似推导

设问2AG∶GD=AE∶EB=1∶2，根据上述条件求四边形PP1QP2与四边形CFQH的面积之比.

设问3请根据设问2中四边形面积的比值关系，证明△P1FQ∽△P2HQ.

设计意图：环节二主要引导学生从线段比值中推导面积关系，利用面积关系完成比例线段提取，进而证明三角形相似.其中思维线索“线段比例→面积关系→相似关系”是探究的关键.

环节三：深入探究，面积比构建

连接P1P2，FH，如图2所示，对于四边形PP1QP2与四边形CFQH，若∠QHC=∠QP2P，∠QFC=∠QP1P，则可证两三角形相似.

设问4请根据△P1FQ∽△P2HQ的性质条件，证明△P1QP2∽△FQH.

设问5是否可以结合上述相似三角形的对应角相等，证明四边形PP1QP2与四边形CFQH相似？

设问6请根据四边形PP1QP2∽四边形CFQH，求出这两个四边形的面积比.

设计意图：环节三设计的核心是帮助学生掌握四边形相似的证明思路，即“四边形分割→相似三角形证明→四边形相似证明”.

4 教学建议

几何综合题常作为压轴题在中考数学试卷中出现，问题条件的处理方法，以及思维推理的构建过程在解题中十分重要，也是教学的重点.下面提出几点教学建议.

(1)把握背景，条件串联.几何综合题的问题条件具有层次性，往往立足图形特征来串联条件，实现了条件之间的交叉融合.而在实际解题时建议对问题的条件进行梳理，厘清条件之间的联系.梳理时需要关注以下几点：一是背景图形的特征，以及特殊图形；二是动点或不确定的点所在线段及轨迹；三是提取三角形以及其他几何图形.

(2)转化分析，思路引导.问题条件的转化是破解几何综合题的核心方法，即对问题或条件进行转化，然后构建思路.解题教学中不能仅注重方法的讲解，还要重视思维的引导；应将问题的推理过程、思路的构建过程作为重点；引导学生理解题干信息，初步处理条件，合理转化问题，利用解题策略探索思路的构建过程.