一道图形旋转问题的解题突破与探究——以2021年宿迁市中考旋转压轴题为例

⦿苏州高新区实验初级中学 陈 超

1 考题初探

考题(2021年江苏宿迁中考数学试卷第27题)已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周.

图1

(2)当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF和BE，分别取CF和BE的中点为M和N，连接MN，试探究MN与BE的关系，并说明理由；

图2

(3)连接BE和BF，分别取BE和BF的中点为N和Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积.

思路突破：本题以正方形旋转为背景开展几何探究，属于动态几何问题，解析突破需要把握运动规律，采用“化动为静”的策略，构建几何模型，利用性质定理求解.下面逐问探究.

1.1 第(1)问的探究

第(1)问求正方形AEFG绕点A旋转时其中的线段比例关系，问题中隐含了“手拉手”正方形模型，提取其中的相似关系即可求解线段比值.

图3

1.2 第(2)问的探究

第(2)问取中点构建了线段，可以考虑采用旋转变换的方法，提取其中的全等关系，实现线段的转化，再结合其中的几何性质探究关系.

如图4,连接BM并延长使BM=MH，再连接FH，EH.可将△FMH视为是△CMB绕点M旋转180°所得，必然有全等关系，证明过程如下.因为M是CF的中点，所以CM=MF.又知∠CMB=∠FMH，则△CMB≌△FMH.由全等性质可得BC=HF，∠BCM=∠HFM.

图4

在四边形BEFC中，有∠BCM+∠CBE+∠BEF+∠EFC=360°，又知∠CBA=∠AEF=90°，所以∠BCM+∠ABE+∠AEB+∠EFC=360°-90°-90°=180°，∠HFE+∠ABE+∠AEB=180°，所以∠HFE=∠BAE.又知四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，所以BC=AB=FH，EA=EF，则△BAE≌△HFE，从而BE=HE，∠BEA=∠HEF.因为∠HEF+∠HEA=∠AEF=90°，所以∠BEA+∠HEA=90°=∠BEH，可证△BEH为等腰直角三角形.

1.3 第(3)问的探究

第(3)问中同样取线段BE和BF的中点，求线段QN扫过的面积，显然需要确定线段QN的运动轨迹.由于点Q和N两点因旋转而发生位置变化，可知点Q和N的轨迹为圆，因此，只需确定轨迹圆的圆心和半径即可.

图5

2 深度探究

上述一道中考几何旋转题中涉及到了众多的知识点和几何模型，如图形旋转、三角形相似、中位线性质、圆环面积，以及“手拉手”模型等.其中第(3)问为考题的核心之问，考查学生对几何运动规律的把握，从本质上来看，可将其归为线段旋转扫过的图形面积问题，下面对此进一步深入探究.

2.1 线段旋转归纳

对于线段旋转扫过的图形面积问题，需要关注两点：一是旋转中心和旋转线段长度；二是二者的相对位置关系.尤其是后者，将直接决定旋转图形的形状，以及适用的公式.以旋转中心O和旋转线段AB的相对关系为例，下面分三种情形加以探究.

(1)旋转中心在旋转线段上

旋转中心在旋转线段上，即旋转线段绕着自身上的一点旋转，则其旋转图形会出现两种情形.如图6-1,设AO=a，BO=b，a>b,旋转角度为α.

图6-1

图6-2

图6-3

(2)旋转中心在旋转线段的延长线上

当然图形的旋转中心也可在旋转线段的延长线上，如图7-1所示.可设AO=a，BO=b，a>b,旋转角度为α.

图7-1

图7-2

(3)旋转中心不在旋转线段及其延长线上

原考题就属于该种情形，当线段AB的两个端点分别是线段AB上到旋转中心O的距离最长和最短点时，如图8-1所示.可设AO=a，BO=b(a>b)，旋转角度为α.

图8-1

图8-2

2.2 考题关联探究

线段旋转问题在初中数学中十分常见，其中的规律具有极强的应用性，同时不同情形之间含有一定的联系，本质上同为环形及圆形的面积割补.实际考查时常采用几何探究的方式，下面结合实例进一步探究.

问题(1)操作：如图9-1，在线段AB所在直线上取一点O(点O在线段外)，线段AB绕着点O旋转一周，可得如图9-2所示的圆环，则环形面积就为线段AB扫过的面积.记AB=2，OA=1，则线段AB扫过的面积为.

图9-1

图9-2

(2)如图10所示，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=30°，AC=2.将△ABC绕着点A旋转一周，试判断线段BC扫过的图形，并求出图形的面积.

图10

(3)若将图10中的Rt△ABC绕着点C旋转一周，试判断线段AB扫过的图形，并求出图形的面积.

分析：上述是关于几何线段旋转的问题，题目中所探究的3问实则就是线段相对于旋转中心的三种情形，只需根据总结的规律来构建面积模型即可.

解：(1)该情形为旋转中心O在旋转线段AB的延长线上，则线段AB扫过的面积为环形.由AB=2，OA=1，可得OB=3.所以环形的面积S=π(OB2-OA2)=8π.

(2)△ABC绕着点A旋转一周，该情形为旋转中心A不在旋转线段BC及其延长线上，则旋转图形为圆环.在Rt△ABC中，可求得AB=2AC=4.故圆环的面积S=π(AB2-AC2)=12π.

图11

评析：上述为几何线段旋转探究题，其中涉及到了线段旋转的两种情形，问题解析分两步进行.①判断旋转中心与旋转线段的相对位置关系；②引入环形面积模型，确定圆的半径，利用面积公式求解.

3 教学思考

上述以一道几何旋转考题为例进行了探究，并立足核心之问开展深度探究，围绕线段旋转的三种情形构建模型，并总结规律，对于理解线段旋转，强化旋转知识有着一定的帮助.下面基于教学实践进行深入反思.

3.1 关注几何旋转，挖掘旋转本质

上述考题以正方形旋转为背景开展几何探究，旋转是图形运动的重要形式，掌握图形旋转的三要素及其特性十分重要.以上述考题为例，正方形AEFG绕点A旋转一周，其中旋转中心为A，旋转方向逆时针或顺时针均可行，旋转角度为360°，正方形旋转到任何位置，其特性均不变.实际教学中要引导学生理解旋转的定义，并掌握图形旋转的过程中从图形全等的角度来理解旋转，通过全等关系来把握旋转特性.

3.2 把握模型特征，归纳模型特性

几何压轴题中往往综合了众多的几何模型，利用模型将知识考点融合在一起.因此，解题探究要关注问题中的模型，提取模型特征，充分利用模型性质来转化问题条件.如上述考题实则以“手拉手”正方形相似模型为背景创设命题，该模型具有“相似”特性，包括正方形相似和三角形相似.以上述考题为例，题干中正方形ABCD与正方形AEFG显然为相似关系，旋转过程中衍生了△CAF∽△BAG.教学中要引导学生提取模型，归纳模型的核心特性，并结合几何知识加以证明，强化学生对模型的理解.

3.3 探索问题内涵，总结生成规律

考题的第(3)问本质上是求旋转线段扫过的图形面积，并且旋转中心不在旋转线段及其延长线上，这是问题的本质特征.上述基于旋转线段进行了深度探究，并立足三种情形总结图形规律及面积公式，形成类型问题的解题策略，其探索过程具有一定的参考价值.教学中要引导学生探索问题内涵，挖掘问题本质，基于问题特征开展深度探究，总结规律，帮助学生积累解题经验，提升数学思维.