矩阵—向量组—方程组三位一体教学模式探讨

张继国 魏玉华

（广州工商学院 广东·广州 510850）

线性代数主要的研究对象是行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间和线性变换，其独特的代数计算方法是培养学生逻辑思维能力和抽象思维能力的主要手段。但该课程具有计算量大，以及理论知识抽象化的特点，也是学生公认比较难学的课程之一，从而导致出现学生学习线性代数的积极性不高，学习比较吃力等现象。因而老师如何教，学生如何学是很多教学工作者感兴趣的研究课题，为此相关文献大多从宏观和微观两方面对此予以了较为充分的探讨。

参考文献[1]对线性代数教学核心点做出了分析，认为在实际的教学中，教学方法和教学内容略有欠缺，导致教学成效较差，需要教师明确线性代数教学的核心点，以及教学中存在的核心问题，并进行教学核心点的深入分析，以探寻问题的解决对策，进而促进大学线性代数教学的高水平发展。参考文献[2]探索了在新工科背景下，工科线性代数课程在教育教学理念、课程体系建设、教学内容等领域所采取的一系列改革措施，以期通过改革来提高学生的理论水平、应用能力和创新能力。

在具体教学实践中，参考文献[3]分析了地方工科院校线性代数教学过程，在总结了学生、教师、教材、学生和教学法等存在的问题后，分别从几何观点、代数观点和公理化观点三个方面阐述了线性代数的知识结构，认为地方工科院校线性代数教学应该强化几何化背景，为的是给学生有一个良好的几何直观，牢固树立线性代数的几何观是非常重要的。笛卡尔坐标系的建立，在一定程度上使得代数与几何得到统一和协调。强调教师要在几何观下教材处理，将行列式作为线性代数理论独立存在，强化线性变换在线性代数的核心作用，把矩阵作为变换的附属物。在树立了变换的核心地位之后，向量空间的引入和介绍就越早越好。参考文献[4]通过方程组求解问题和矩阵问题，引入了简单易懂，有趣实用的案例教学法，突出线性代数的实用性及有趣性，从而有效的提升了学生学习线性代数的兴趣，了解了线性代数的实用性。参考文献[5]通过实际问题讨论了矩阵等式与线性代数概念的对应关系，阐述了一个矩阵等式可能蕴含着多种线性代数含义，并用矩阵等式来揭示线性代数概念的本质与规律。比如用矩阵等式定义正交矩阵，定义矩阵之间的三种等价关系，用矩阵等式抽象线性代数问题，挖掘矩阵等式所蕴含的线性代数含义等。参考文献[6]从明确教学目标、激发学习兴趣、丰富教学资源、创新教学平台、注重因材施教和优化评价模式等6个方面采取了线上线下的混合教学模式，强调只有加强教学模式的创新，使其更加符合学生的学习需求，才能提高学生的学习效率。

在国外，美国的数学教育一直处在改革之中。1990年，美国线性代数大纲研究组对线性代数的课程大纲与教学提出了四条改革建议。其要点是：（1）首先要满足非数学专业面向应用的需要；（2）要强调以矩阵运算为基础；（3）要从学生的水平和需求出发；（4）要采用最新的软件工具。这四条都是为了提高课程的实用性，降低其抽象性，以利于它的“大众化”[7]。

线性代数课程具有知识难度大、理论高度抽象的特征，课程本身定义概念多，公式定理繁杂，计算复杂，定理和推论的证明不容易被学生理解，各个章节内容相对独立又存在内在的逻辑关系[8]。在地方院校或民办大学中，一般主要讲解前四章，主体内容为矩阵、方程组和向量组。这三个方面的内容既有相对独立性，又有内在关联性，实际上是相互联系具有统一性的。如果将它们的内在逻辑性以教学模式的方式展现，必将起到事半功倍的效果。而我们在以往的教学中，尤其是年轻教师，由于教学经验缺乏，不是特别重视或者没能认识到这一点，只是将三部分的知识点按照教材编排顺序逐一讲解，无意中将它们割裂开来，导致学生的学习困难。

本文取材于同济大学的线性代数（第六版）[9]，结合笔者长期教学经历，着重阐述矩阵、方程组和向量组之间的相互转换，以及这三者间的知识点内在逻辑关系，建立了“三位一体”的教学模式，力求让学生尽快掌握这三个方面的内容。

1 矩阵—方程组—向量组相互转换关系

矩阵、方程组和向量组之间在很大程度上是相互一一对应的。给定线性方程组（齐次或非齐次），从中可导出系数矩阵A或增广矩阵B＝（A，b），以每个未知变量的系数构成列向量，则得到了向量组；反之，给一个矩阵，按照要求可构成齐次或非齐次线性方程组，也可按每列构成的向量得到向量组。可见矩阵—方程组—向量组之间的一一对应关系形成了一个闭循环。例如给定非齐次线性方程组①、矩阵②和向量组③如下。

可见，方程组①、矩阵②与向量组③中任意两个都是一一对应的，从一个可以导出另一个，这就为三者间的知识点建立联系打下了基础。

齐次线性方程组、矩阵和向量组之间也具有这样的一一对应关系。

上述这种转换关系在教材中只是一笔带过，教学经历缺乏的老师可能不会引起注意，这就要求教师在教学中做出解释，并通过画逻辑图和实例予以示范，并适时强调使学生加深印象和理解。

2 矩阵—方程组—向量组知识点的内在逻辑性

现分别以向量b能由向量组A线性表示和向量组的线性相关性为例讨论矩阵、方程组和向量组的内在逻辑性。

2.1 向量由向量组线性表示

向量b能否由向量组A=(a1,a2…,an)线性表示？即是否存在一组数k1,k2,…,kn使得下面等式成立？

该表达式较为抽象，学生开始学习时难以理解。正如表1所示，如果将向量b,a1,a2…,an,代入式(1)，就可以转化为一个非齐次线性方程组，而方程组不仅直观，而且学生也较为熟悉，也就容易理解式(1)的内涵。同时根据该方程组是否有解来确定向量b能否由向量组A线性表示。

表1：非齐次线性方程组与矩阵和向量组逻辑关系表

例如，在③中要判断向量b是否能由向量组a1,a2,a3线性表示，只需将它们转化成方程组①，再利用矩阵初等行变换求出增广矩阵B和系数矩阵A的秩。经计算得

R(A)=R(B)=2<3（变量个数）

由表1知向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示，且表达式不唯一。经求解非齐次线性方程组①，其表达式为

b=(-3c+2)a1+(2c-1)a2+ca3

其中c可取任意实数。

经过这样的讲解，不仅使得式(1)的抽象性转化为具体的非齐次线性方程组，而且式(1)右端向量组A的线性组合的系数即是方程组①的解。

另外，在判断方程组解的状态时，将其转化为系数矩阵A与增广矩阵(A,b)的秩以及方程组中未知变量个数之间的相互关系。

2.2 向量组的线性相关性

众所周知，向量组A的线性相关性更为抽象，它的表达式如下，

其中k1,k2,…,kn不全为零。正如表2所示，将向量组(a1,a2,…,an)代入式(2)后就得到一个齐次线性方程组，因此向量组相关性问题转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题，若有非零解，则向量组线性相关，反之，则线性无关。这样显得直观的多，学生更容易接受和理解，同时也掌握了判断向量组相关性的方法。同时，在解齐次线性方程组时，通过系数矩阵的秩与变量个数的关系，来判别方程组是否存在非零解。

表2：齐次线性方程组与矩阵和向量组逻辑关系表

例如，设有向量组

讨论向量组A=(a1,a2,a3)是否线性相关。根据线性相关性表达式，该问题就是是否存在不全为零的数k1,k2,k3，使得下式成立。

在教材[9]中，根据第四章第2节的定理4，直接计算矩阵

的秩。如果R(A)<3，则向量组A线性相关，否则线性无关。

这样按照教材的编排讲解无疑不存在问题，但是如果先让学生知道可将式(3)转化为一个齐次线性方程组

根据表2，若该方程组存在非零解，则向量组④线性相关，如果只有零解，则线性无关。判断齐次线性方程组解的状况，就是求出矩阵⑤的秩。经初等变换得出其秩等于2，小于向量组④的向量的个数3，所以向量组④线性相关。

3 结语

在教学实践中，关于向量组的线性相关性，以及一个向量由一个向量组线性表示，我们发现学生难以理解和快速接受这两个概念，原因在于它们较为抽象。虽然教材中讲到了将其分别转化为齐次线性方程组和非齐次线性方程组，但也只是一句话而已，这就要求教师加以重视，通过实例来演示和诠释，帮助学生尽快掌握，也为矩阵—方程组—向量组三者间的内在逻辑关联性的建立打下基础。

实际上，矩阵的秩、线性方程组的解以及向量组的线性相关性，教材中均对每一个有详细的阐述，但教学实践表明，教师要在开始讲授第2章和第3章时，不断反复地强度矩阵、方程组和向量组作为三位一体的教学模式，从而将三者的知识点统一起来，避免了把三者分割开来，使学生能做到了融会贯通，准确快速判断方程组解的状态和向量组的线性相关性。