卢业照：指向高中数学抽象素养下的数学概念教学

卢业照

摘要：落实学科核心素养的主阵地是课堂。就数学学科核心素养的发展来看，教学目标的设计既要符合“立德树人”的教育目标，更要以培养创新精神和实践能力为重点，同时促进学生的全面发展。为实现以人为本的教育教学目标，课堂教学需整体把握教学内容，聚焦学科核心素养，把握数学学科体系与关键教学内容，实行单元教学设计。特别是概念教学，需要精心设计教学环节，向学生提供经过设计的、具有教学意图的结构化教学材料。

关键词：概念教学合作探究类比猜想抽象素养

数学来源于生活，抽象的原型来源于生活。数学抽象是指抽取出同类数学对象的共同的、本质的属性或特征，舍去个别的、非本质的属性或特征的思维过程，是建构概念的必要手段。研究对象的数量与数量关系和图象与图象关系，从具象的因素中得到抽象的本质，这是我们得出数学概念的关键。

数学概念的产生都是“去粗取精”进行本质提炼的结果。在具体实践中，尤其是课堂教学中，枚举典型事例和相关的问题情境，利用合作探究的教学方式，理解事物的本质、形成概念，从而发展学生的抽象思维，促进学生抽象能力与意识的提升，进而培养学生的抽象素养。

我在教学“任意角的三角函数”时，以问题为任务驱动，以合作探究为手段，以形成概念为载体，以发展抽象思维为目标。利用概念教学促进学生的合作探究学习，发现了探究学习与学生对数学概念的建构和理解紧密结合在一起的规律，提升了学生的数学抽象素养。

（一）问题导学：温故知新，设置情境

1.锐角三角函数是怎样定义的？

通过引导学生回忆初中学过的锐角函数的定义，遵循学生已有的知识经验，引出任意角三角函数的定义。

2.任意角的三角函数如何定义？如何利用锐角三角函数的定义构造直角三角形？任意角的三角函数的定义的本质是什么？

引导学生经历从特殊到一般，由静态到动态得到象限角、轴线角和终边相同的角的概念的过程，从而引导学生思考怎样由锐角三角函数的概念类比推广到任意角的三角函数的概念。

任意角的三角函数的概念与锐角三角函数的概念对学生认知产生巨大冲击，会引起学生强烈的好奇心，促进学生深度思考。

3.若已知sin30°=1/2，如何求sin150°，sin210°的值？

由特殊到一般，会激发学生的求知欲望，学生会猜想：sin150°=1/2，sin210°=-1/2。

学生会进一步猜想任意角的三角函数的定义与角的终边上的点坐标有关。

设计意图：通过对已学知识的回顾，学生会列出这几个特殊角的三角函数，会自然地猜想角的终边在不同的位置有没有统一的三角函数表达式。这为在直角坐标系内探索任意角的三角函数做了铺垫。问题的设置贴近学生思维的最近发展区，会更快地激发学生的学习兴趣与研究的动力。

（二）自主学习：主动探究，构建新知

由此进一步得到，终边在x轴正半轴上，终边在x轴负半轴上，终边在y轴正半轴上，终边在y轴负半轴上，虽然正弦和正切的值都很特殊，但是符合三角函数的定义。终边在y轴正半轴上，余弦和余切的值为0，正弦值为1，正切无意义;终边在y轴负半轴上，余弦和余切的值为0，正弦值为-1，正切无意义。

设计意图：教师通过6个层层递进的问题，让学生产生认知冲突，经历由一般到特殊再到一般的思维过程，建构任意角的三角函数的定义，完善概念体系，从而将学生的思维引向自主学习、自主探索的“再创造”过程中，发展学生的抽象核心素养。

（三）合作探究：深化理解，生成概念

图2探究7：根据任意角的三角函数的定义，y=sinα是函数吗？能否通过取适当点将三角函数的表达式进行简化？简化后的结果是什么？

再结合函数的一般性定义，理解任意角的三角函数的定义：y=sinα是函数，任意一个角α的终边与单位圆的交点P（x，y）是唯一确定的;任意一个角α在求正弦的对应关系作用下，都有唯一一个实数y与之对应。正弦函数y=sinα的定义域为R，值域是[-1，1]。進而建构任意角的三角函数的正弦函数一般性定义：y=sinx，x∈R。

探究8：能否通过类比得到其他三种三角函数也是函数？

y=cosα是函数，任意一个角α的终边与单位圆的交点P（x，y）是唯一确定的;任意一个角α在求余弦的对应关系作用下，都有唯一一个实数y与之对应。正弦函数y=cosα的定义域为R，值域是[-1，1]。

一般性定义，余弦函数：y=cosx，x∈R。

y/x=tanα是函数，任意一个角α的终边与单位圆的交点P（x，y）是唯一确定的;任意一个角α在求正切的对应关系作用下，都有唯一一个实数y/x与之对应。正弦函数y/x=tanα的定义域为{α∈R|α≠π2+kπ}（k∈Z），值域是（-∞，+∞）。

一般性定义，余弦函数：y=tanx，x≠π/2+kπ（k∈Z）。

x/y=cotα是函数，任意一个角α的终边与单位圆的交点P（x，y）是唯一确定的;任意一个角α在求余切的对应关系作用下，都有唯一一个实数xy与之对应。正弦函数x/y=cotα的定义域为{α∈R|α≠kπ}（k∈Z），值域是（-∞，+∞）。

一般性定义，余切函数：y=cotx，x≠kπ（k∈Z）。

此时教师引导学生归纳四种任意角的三角函数的统一定义：正弦、余弦、正切、余切函数都是以角为自变量，以角的终边与单位圆的交点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数，是四种函数。

设计意图：引导学生类比函数定义理解正弦、余弦、正切、余切函数;引导学生理解变量字母的替换体现函数的一般形式，凸显函数的三要素;培养学生高度的抽象思维能力，落实学科抽象思维的培养。

（四）分组讨论：运用概念，形成能力

例1给出具体的角4π/3，求4π/3的正弦、余弦、正切和余切值。

变式可以从以下三个角度命题：

设计意图：将班级分成三个小组进行合作探究，每一个小组选派代表说出解法。通过例题和变式，剖析求解三角函数的具体解题步骤，从具体的解题过程中加以总结解题的步骤，也是一种抽象的能力;同时也加深对概念的理解。通过变式教学发现终边相同角的三角函数值相等，培养学生的逆向思维，发展其逻辑推理和数学抽象素养。

引导学生思考终边相同角之间的三角函数值的关系。

（五）课堂小结：知识方法思想，完善认知结构

教师引导总结：本节课你都学到了什么？发现了哪些规律？

1.知识方面：三角函数的定义。

2.数学方法：特殊到一般的思想，数形结合的思想，类比思想。

本文以数学概念为载体，通过课堂教学活动，促进学生的自主认知和发现数学规律能力发展，加强学生由特殊到一般的思维。在探究式学习过程中逐步落实数学抽象素养培养目标，主要从以下三个方面进行：

1.引导学生化未知为已知，探究如何由锐角三角函数类比联想任意角三角函数概念的逻辑关系，逐渐体会转化与化归的数学思想，形成自觉运用抽象思维进行类比推广的意识。

2.通过层层递进的问题探究学习，逐步发现任意角三角函数与锐角三角函数概念的内在联系，培养由特殊到一般数学抽象素养。

3.归纳四种三角函数的统一定义，培养概括总结能力，提升抽象素养。

培养学生抽象思维的最有效的方法是在教师的引导和帮助下，通过设置问题情境让学生进入探讨者的角色，这样学生思维的主动性会提高，内驱力的加强也会助力抽象思维的发展。高效的课堂就是精心设计贴近学生最近发展区的问题，引导和帮助学生自我建构知识体系、能力体系、道德体系，在遵循学习者的认知规律上，将理论和现实生活结合起来，这样才能发展学生的学科核心素养，让学习者真正形成适应终身发展和社会发展的必备品格和关键能力。

责任编辑：唐丹丹