谈高等教育视野下中学概率教学改革的实践与思考

贺 勤,宋剑平

(1.深圳市香港中文大学附属知新学校，广东 深圳 518172；2.深圳市龙华区龙腾学校，广东 深圳 518000)

随着社会的发展和科技的进步，概率论与数理统计的应用更广泛.从20世纪80年代，全球数学教育研究者逐渐认识到“将统计与概率的初步认识作为数学基本素养的组成部分引入到中小学课程”的重要性.2003年我国颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》，重点学习古典概型、几何概型的方法及应用，在《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》[1]中，将数据分析作为数学学科的核心素养之一，将“概率与统计”内容作为四大主线之一，贯穿于整个高中数学课程结构之中，培养学生的概率与统计思维.对于概率论部分的学习，要求学生不仅能解决现实生活和经济发展中的问题，还要为高等教育阶段概率与统计课程的学习打下扎实的基础.因而，这就需要研究分析高等教育视野下中学概率统计教学现状与存在的问题，对中学概率统计的教学进行改革，探索中学数学与高等教育的衔接问题，有很好的应用研究价值.

1 高等教育视野下中学概率教学现状与存在的问题

目前中学阶段的概率教学方面存在的问题主要表现是：首先，一些教师的概率知识体系不完整，对教学大纲的理解把握不到位.其次，学生的知识基础与认知能力相对欠缺，导致与高等教育阶段的概率与统计教学衔接不当的问题，为此， 现对中学概率教学现状与存在的问题给予分析.

1.1 教师的知识体系与新课标教学大纲的教学要求存在差距

中学阶段对概率知识的教学内容与要求：普通高中数学新课程标准规定概率知识的主要教学内容包括随机事件与概率、古典概型与几何概型、条件概率与事件的独立性、随机变量的数字特征以及概率应用等五个部分.新课标对学生充分了解随机事件发生的不确定性和发生频率的稳定性提出了要求，能理解并掌握概率的定义、概率及频率两个概念的区别与联系等.

高等教育阶段概率论的教学内容相对不同院校、专业及教材有一定的差异，但主体内容是一致的，概率的内容主要包括概率的基本概念、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、中心极限定理、多维随机变量及其分布，大数定律等.要求学生深入的了解样本空间及随机试验的概念，能理解并掌握随机事件的概念，能计算随机事件的概率，清晰地理解概率概念的公理化过程，及其与频率的区别与联系，对概率的基本性质熟练掌握和运用.掌握中心极限定理及大数定律的核心思想并能解决相应的实际专业问题.

由于中学阶段存在中高考指挥棒的作用，而中高考对概率部分的考查往往相对比较简单，仅以古典概型和几何概型作为考查对象，对期望和方差也仅仅停留在考查基本计算公式和基本意义的基础上，对原理和应用基本上不做重点考查.中学教师往往注重应试的部分内容，对深入学习和挖掘概率发展的历史及数学逻辑很少探究，相当一部分老师不了解概率论中的有些基本的悖论问题，不了解概率的公理化定义的前因后果.一些中学数学教师所掌握的概率论知识体系和教学能力与新课标教学大纲的要求存在一定的差距，因而，要求中学数学教师掌握的完善概率论知识体系，全面提升其概率教学水平很有必要.

1.2 概率论中的几个基本概念的理解与认识

1.2.1 关于概率定义的理解

初中教材给出的是概率的古典定义，高中教材介绍的是概率的统计定义，而大学教材要给出概率的公理化定义，中学阶段的两种定义都是描述性定义，更能被学生接受和理解，但缺乏数学逻辑的严密性.进入高等教育阶段，随着学生学习微积分知识和抽象逻辑思维能力的增强，能很好地理解概率的公理化定义.但是在中学阶段应该让学生认识到概率的描述性定义存在的局限性，在高中阶段适当地渗透一些概率的公理化定义过程，逐步培养学生的严密的逻辑抽象思维能力，培养学生观察社会随机现象的数学思维能力.

1.2.2 关于随机变量定义的理解

随机变量是概率中的一个基本概念，中学教材只介绍其描述性定义，没有解释清楚“变量”的意义和表现形式，不是严格的数学定义，大学阶段在介绍样本空间之后，将随机变量定义成样本空间上的函数，将研究事件的概率问题转化为随机变量的分布函数问题，从而促进了概率论的发展.

1.2.3 关于数学期望与方差定义的理解

中学阶段仅学习有限的离散型随机变量，期望的定义也仅限于简单有限的离散型随机变量，高等教育阶段不仅研究离散型随机变量，将变量的个数推广到可数的情形，还研究连续型随机变量，定义更具一般性，这也是由于中学阶段学生不具备极限、级数、微积分等知识的原因.

中学阶段给出了方差和标准差的计算公式和步骤，但中学阶段的方差实际上使用的是二阶中心矩的概念，只是借用了方差和标准差的符号，这样显得非常生硬，高等教育阶段给出的是期望与方差的统一定义，概括了离散型和连续型两种情况，揭示了方差是关于随机变量与期望偏差平方的数学期望这一本质.

1.3 中学概率与高等教育的教学内容的差异

在概率论基本概念、古典概型、几何概型、条件概率、随机变量的数字特征及简单概率应用方面，教学内容基本相同，这部分教学两个阶段的教学内容存在重复现象.但在中学阶段对于全概率公式、贝叶斯公式则不着重介绍，对中心极限定理、多维随机变量及大数定律则没有引入，同时中学阶段对于概率知识的引入和讲解着重从试验和实践出发，淡化公理化的定义，淡化理论推导，这样做虽然便于学生接受和理解，但对概率定义的理解不到位，学生对概率的基本性质把握不清晰.

2 高等教育视野下中学概率教学改革的建议

2.1 在教学思想和教学方法方面

作为中学数学教师应当摆脱应试教育的束缚，按照新课标的大纲掌握较完善的概率论知识体系，考虑学生的未来发展，在高等教育思想指导下考虑中学数学的内容处理，改进教学方法做好中学数学到高等数学的教学衔接.中学课堂教学应该更具开放性，在教学内容的选择上，教师应更能兼顾数学逻辑的严密性渗透和在实际生活中的应用.在教学方法的选择上也应该多样化，借助现代的多媒体技术，展示概率论的研究对象是随机现象的不确定性思维，培养学生的学习兴趣，譬如，适当介绍概率论的起源及发展历史，介绍贝特朗悖论等，培养学生运用概率统计的思想方法解决实际问题的能力.

2.2 在教学内容处理方面

(1)概率定义的教学中渗透概率定义的公理化过程.中学数学教师应当知道概率描述性定义的不足，在教学中引导学生质疑描述性定义，适当介绍概率定义的发展历程，给学生渗透概率公理化定义的思想，这样可以让学生感受到数学家们对数学严谨性的追求，培养学生不断追求真理的价值观念.

(2)古典概型、几何概型的教学中渗透随机变量的分布函数的概念.高中阶段已经学习了基础的集合知识，可以借助集合的观点来处理事件及事件间的关系，把事件的运算类比为集合的运算，可以适当介绍样本点和样本空间的概念并用它来描述事件.在几何概型的定义中，“事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关”很重要，有了一维随机变量的概念，就很容易发现：一维的几何概型就是一维的均匀分布，结论可以推广到二维和三维的情形[3].

(3)期望、方差的教学中由离散型随机变量向连续型拓展.中学教材通过计算公式来定义期望和方差，期望的本质就是均值，对于离散型随机变量就是加权平均，方差的本质是期望的期望，反映的是随机变量取值的集中或分散程度的量.教师可以引导学生考虑随机变量从有限到可列，从离散型到连续型随机变量的情形，适当地给学生进一步思考的问题，激发学生的好奇心和学习兴趣.

(4)频率分布直方图的教学中渗透密度函数曲线的概念.在频率分布直方图的教学中，如果将样本容量取得大一些，分组的组距取小一些，频率分布直方图上顶边中点的连线就越来越光滑，教师可以让学生通过自主作图，让组距逐渐变小，体验频率直方图的变化趋势，感受密度函数曲线和极限的思想.

(5)均值及其估计的教学中引出最小二乘思想.均值是一个重要的统计量，学生在初中学习过平均数，在高中的教学中，教材对均值的合理性有了详细的解释，教师可以引出最小二乘的思想，这样的思想渗透有助于学生进入高等教育以后的概率统计课的学习.

总之，中学数学教师应在高等教育的视野指导下，结合数学史的知识和发展特点，介绍一些研究概率问题的背景和实际案例，精心规划设计教学内容，改进教学方法，做好中学与大学教育的衔接.

2.3 中学概率教学案例分析

在概率定义的教学中，除介绍描述性定义以外，可以结合概率论的起源与发展历史，介绍贝特朗悖论及概率公理化定义的过程，贝特朗悖论于1899年提出，该悖论对几何概率的概念提出了挑战.

图1 贝特朗悖论问题的三种解答

在圆的所有弦中任选一条弦，求这条弦的长度大于圆内接正三角形边长的概率.该问题有三种解法.

由此看来，同一事件有不同概率，这就是著名的贝特朗悖论.显然这三种解答都是正确的，出现这一情况主要原因是问题中没有明确在圆内“作弦”规则，不同的“等可能性假设”引出了不同的样本空间(其中“均匀分布”可理解为“等可能取点”).解法一是在直径上等可能的取点作为弦的中点，直径上的点组成了样本空间.解法二是在圆周上等可能的取点作为弦的另一端点，圆周上的点组成了样本空间.解法三是在大圆内等可能的取点作为弦的中点，大圆内的点组成了样本空间，三种不同的解法引出了三个不同的样本空间.贝特朗悖论提醒人们，在定义概率时要事先明确所研究问题的样本空间，否则，就会得到不同的结果.中学概率的教学，即使不能完整的介绍概率的公理化定义，但教师在教学或命题过程中，也应该清楚明白这个原理，避免出现不应该出现的错误命题.譬如，下面这道试题的问题.

要求在白纸上任意画了一个锐角，求所画的角在45°～60°之间的概率.该题的命题者显然不懂贝特朗悖论，题设条件没有明确锐角的画法，所研究问题的样本空间不确定，因而，该问题有多个答案.

高中阶段的教学，由于学生已经接触函数的导数与微积分学中的部分内容，虽然还没有建立起完整的极限理论，但教师也可以对积分、测度、集合函数及概率的公理化定义的部分内容进行适当的渗透.

19世纪末，勒贝格提出了勒贝格测度和勒贝格积分的概念.基于测度论的启发，苏联数学家科尔莫格洛夫在1933年给出了概率的公理化定义[2]，用概率应具备的三条基本性质来定义.其中包括两个方面，一是事件的公理化表示(利用集合论)，二是概率的公理化表示(测度论).科尔莫格洛夫的思想主要是所有的事件都是集合，所有的可能事件的集合(以事件集合为元素的集合)就是概率空间.概率则是对该概率空间上的各种集合的一种度量.

在中学阶段的概率教学中如果能渗透悖论对概率的公理化过程产生的影响，使学生体会到概率系统内概念及理论的严密性，这对学生分析解决概率问题有很好的指导作用，对学生的后续学习也有帮助.

3 总结与展望

通过对中学概率教学在教学思想、教学方法及教学内容处理上的改革，能让学生理解概率论知识的系统性，体验严密数学的发展历程，培养学生的独立思考能力，敢于创新的能力，并培养学生的随机思维能力.但我们仍然要看到，由于中学教师与大学教师很少能有机会进行教学交流和沟通，使得中学教育与高等教育的衔接教学始终存在一些问题.努力探索中学数学与大学数学教学的衔接问题，是提高高等教育教学质量的关键，也是每一个数学教育工作者的责任与义务.