指向数学思维提升的问题设计
2022-04-11福建省上杭二中364200黄财英
福建省上杭二中 (364200) 黄财英
问题是驱动学生思维活动的向导，是学生课堂深度学习的助推器，能有效激发学生的求知欲、探索欲、表现欲、创新欲.通过问题设计，可以把知识的逻辑结构与学生的思维过程有机的联系起来，使知识的逻辑结构转化为学生的认知结构，让学生发现数学的内在规律，认识理解数学本质.教师若能重视学生认知的“最近发展区”计有效的问题，将会大大提高课堂教学质量.
1.悬念问题，开启思维
“良好的开端是成功的一半”,讲授新课之前，先设置悬念问题，可以触发学生的求知动机，产生一种非知不可的紧迫心情.此时，学生的注意力高度集中，思维处于积极的状态，教师最容易吊起学生的学习兴趣.
例1 抛物线概念的教学
讲授抛物线的概念，可预设悬念，诱发好奇心理，引发探究欲望，激发学习热情，开启思维，设置以下问题：
(1)椭圆与双曲线都有两个焦点、两条准线，你们见过只有一个焦点与一条准线的曲线吗？(悬念1：提出单焦点、单准线曲线的存在性，诱发好奇心理)
(2)椭圆与双曲线的离心率的取值范围分别是0
(3)其实在初中我们已对这类曲线做了简单的研究，你们能猜出是什么曲线吗? (悬念3：学生非常惊讶，真的在初中就研究过了吗?那是什么曲线呢?引起学生质疑，思考)
通过以上预设问题，学生基本上会猜想到这是抛物线，接下来可继续设置以下问题：
(4)由椭圆与双曲线的第二定义：对平面内的一个动点，若它到一个定点与到一条定直线(定点不在定直线上)的距离之比是一个常数e，当0
(5)椭圆与双曲线的标准方程都分别有两个，那么抛物线的标准方程会有几个呢?(悬念5 ：为推出抛物线的四个标准方程埋下伏笔)
一连串层层深入的问题使课堂教学跌宕起伏、妙趣横生，几乎使学生忘记是在上数学课，而是在做一项动人心魄的思维游戏，学生的学习主动性、积极性得到充分的发挥，学生在疑问、思考、探索、解决问题中得到概念的理解、知识的融会、方法的渗透、能力的提升，在这种氛围之下还用忧愁课堂教学中学生思维不开启吗？所以说，教学方法一旦触及学生的情感和意志领域，触及学生的心理需要，这种教学就变得高度有效.
2.变式问题,激活思维
数学就其本质而言是一种思维，数学课堂的根本就是培养和发展学生的数学思维能力.通过变式问题教学，力求做到思维迁移具有深刻性、发展性和创造性，变式训练具有拓展性、探索性和灵活性.教师由浅人深，循序渐进，多层次、多角度、多观点、多变化地设计了如下的变式问题教学，通过问题的变化、引申，培养和提高学生思考、解决问题的能力.
例2 (1)若方程x2-(m+1)x+4=0有两个不等实数根，求实数m的取值范围;
(2)若方程x2-(m+1)x+4=0在[0,3]上有两个不等实数根，求实数m的取值范围;
(5)已知抛物线y=-x2+mx-1,点M(0,3)，N(3,0)，若抛物线与线段MN有两个不同的交点，求实数m的取值范围;
(6)若不等式x2-(m+1)x+4>0在[0,3]上恒成立，求实数m的取值范围.
以上问题有基本、有变式、有拓展、有延伸，形成了一个问题串，构成了思维的整体性，体现了思维的层次性和探究性.在问题串的引领下，学生进行系列的、连续的思维活动，不断攀升思维的新高度，强调了解题策略的成因分析，不仅有利于学生思维的飞跃，加深对数学本质的认识，同时，通过经历问题的形成和解决过程，激活学生思维，能有效提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.
3.错误问题,批判思维
教学过程应强调师生互动，学会从学生的角度思考问题，与学生共同交流解题思路，及时发现学生中的典型错误问题，教师也应在课堂上适时地进行“诱错”、“示错”，然后引导学生进行“辩错”、“识错”、“明错”、“改错”，让学生从“错误”走向“正确”.从一定意义上讲，“错误”比“正确”更有教学价值，教师应深深地意识到“错误”与“正确”都是教学上的重要资源.
此题若直接讲解，简单明了，节省时间.但笔者以“错误与正确都是教学上的重要资源”为指导，先让学生练习，再交流，最后完成解题.
学生出现的主要两种典型错误问题如下：
以上不仅正确解答了题目，而且分析了解题中的常见错误，错中求正，败中求胜，有效防止类似错误的再次发生，提高解题正确率.
4.多解问题,优化思维
教学过程中，如果不时对一些问题提醒学生进行解题后的反思，可以有效地帮助学生加深对概念的认识和理解，有效地克服解题思路的偏差和不透彻，优化解题过程，对自己的解题方法的优劣加以评价，寻找最佳方案，从而培养他们严谨的学习态度，提高学生的分析综合能力.
这是一道具有很高训练价值，对提高同学们分析问题、解决问题的能力有很大的作用，是培养思维的全面性、深刻性、批判性、灵活性的良好素材，师生提供以下解法并展开反思.
解法1：设t=cosαsinβ，则
∵-1≤sin(α+β)≤1且-1≤sin(α-β)≤1，
反思1：这是被普遍认为正确的解法.但师生分析后同时也认为以上解法有不足之处.为什么取以上两者的交集就是正确答案了呢？它是充要条件了吗？
反思3：通过反复分析，师生认为这是一种相对条理清楚、逻辑严密、科学有效的解法.
5.规律问题,总结思维
数学学习离不开解题，但不能陷入题海，不能让学生成为解题的机器.对做过的题目要进行反思总结，并站在一定的高度加以审视，从中发掘题目的精髓，看清问题的本质，对数学有思有悟，这样，学生才能从更高的观点，用更宽的视野，更理性的眼光，去思考解决数学问题，让数学问题不断规律化，让数学课堂不断出新出奇出彩.
例5 (1)10个同样的小球，随机放入3个盒内，求有多少种不同的方法；
(2) 求方程x1+x2+x3+x4=9的非负整数解的组数；
(3) 试问(x+y+z)12有多少项？
(4) 用7种不同颜色的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不着色，问共有几种着色法？
“问题是数学教学的心脏.”因心脏的搏动，思维才如同血液般运动，整个课堂才变得灵动高效.教学中要有意识地以数学问题之石激起师生思维之浪，让数学课堂教学高潮一浪高过一浪.
