创设问题情境，关注生成过程，提升核心素养——“直线与平面垂直的判定”教学实践与思考

湖北省襄阳市第一中学 (441099) 李 珍湖北省襄阳市第五中学 (441057) 马文俊

《普通高中数学课程标准(2017年版)》强调要培养和提升高中学生的数学学科核心素养.数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.如何在课堂实践中提升高中学生的数学核心素养呢？笔者通过直线与平面垂直的判定的教学实践和思考做了一些探索，以飨读者.

一、教学内容解析

本节内容是人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修②中直线、平面垂直的判定及其性质第一课时.直线与平面垂直是空间中点、线、面位置关系的核心内容.直线与平面垂直既是对直线与直线垂直的深化，也是研究平面与平面垂直的基础.同时，它也为后续研究斜线与平面所成的角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容奠定了基础.

二、学生情况分析

学生掌握了直线与平面平行的判定定理和性质定理，也掌握了直线与直线垂直的判定方法，有“通过观察、操作，抽象概括出数学结论”的学习体验，具备学习本节知识的基础.但是，从生活情境中抽象概括出直线与平面垂直的定义对学生而言有一定困难.另外，为什么判定直线与平面垂直要且只要“垂直于平面内的两条相交直线”，理解立体几何中的“平面化”的思想和“降维”的思想，学生也会感到有困难.

三、教学目标设置

(1)借助生活中直线与平面垂直的实例，通过直观感知和抽象概括，形成直线与平面垂直的定义，提升直观想象和数学抽象素养；

(2)借助折叠三角形纸片，通过直观感知、操作确认、思辨论证，归纳出直线与平面垂直的判定定理，提升直观想象和逻辑推理素养；

(3)能够对直线与平面垂直的定义和判定定理进行简单应用，提升逻辑推理素养.

四、教学重点及难点

教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用.

教学难点：理解直线与平面垂直的定义，探究直线与平面垂直的判定定理.

五、教学情境设计与思考

1.直线与平面垂直的定义的建构

环节一：创设情境、感知概念

问题1：直线与平面有哪几种位置关系？我们已经研究了直线与平面哪些内容？运用了什么思想方法？

问题2：观察下面的图片，请思考：旗杆与地面、大桥的桥柱与水面、竖直的墙角线与地面是什么位置关系？给我们留下了什么印象？

评析：让学生意识到直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况并引出课题.另外，这样设计能够激发学生学习兴趣，吸引学生主动参与到学习过程中来.

师：什么是直线与平面垂直呢？ 这是本节课的研究内容.请同学们观看旗杆和它在地面上的影子的动画，(教师播放动画)，思考旗杆和它的影子的有什么位置关系.

图1

问题3：直线l与平面α内不经过点B的直线B′C′垂直吗(图1)？

评析：在具体生活情境中，让学生去感知直线与平面垂直，为抽象概括出直线与平面垂直的概念做准备.同时，在感知线面垂直的过程中，培养学生直观想象和数学抽象的数学核心素养.

环节二：抽象概括、形成概念

师：请同学们归纳直线与平面垂直的概念，并用符号语言表述.

图2

直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.(图2)

评析：让学生通过操作、思考(用三角板和笔在桌面上比试)，加深对概念的理性认识.

环节三：尝试练习——深化概念

练习：判断下列说法是否正确：

(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线就与这个平面内任意一条直线都垂直；

(2)若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线就与这个平面垂直；

(3)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

答案：(1)对；(2)错；(3)对.

证明：(3)如图3，假设过点P有两条直线PA、PB与面α垂直，设面PAB∩面α=l，则PA⊥l，PB⊥l，因为直线PA、PB、l共面，所以过点P有两条直线PA、PB与直线l垂直，显然不可能.因此，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

图3

教师引导学生得到：

结论：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

评析：通过尝试练习，让学生更深刻的理解直线和平面垂直的概念，为后面探究并运用直线与平面垂直的判定定理奠定基础.

2.直线与平面垂直的判定定理的探究

环节一：创设情境——提出问题

问题4：请观察教室里竖直的墙角线所在的直线与地面所在的平面垂直吗，为什么？

师：我们可以几何直观的角度感知得出，竖直的墙角线所在的直线与地面所在的平面垂直.我们根据直线与平面垂直的定义，只需要判断竖直的墙角线与地面内任何一条直线都垂直.那么如何判断呢？

评析：从研究墙角线和地面垂直的入手，感知判定直线与平面垂直的方法，为研究直线与平面垂直的判定定理做准备.

环节二：动手试验——猜想定理

演示试验过程：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触).

图4

问题5：图4中折痕AD与桌面垂直吗？为什么？如何翻折才能让折痕AD与桌面所在平面α垂直呢？﹙学生分组试验﹚

引导学生得到：如图5，折痕AD与桌面所在平面α垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高.由于翻折前后垂直关系保持不变，折痕AD与平面α内的直线BD、CD均垂直.

图5

评析：让学生通过折纸实验和相互交流，从正反两个方面理解直线与平面垂直的问题，可以从正反两方面理解直线与平面垂直的判定条件，为猜想出直线与平面垂直的判定定理做好准备.

问题6：通过试验，你能得到什么结论？

问题7：请学生观察，直线AD还经过BD、CD的交点.在增加了这个条件后，应该如何更准确地表述试验的结论？

问题8：如果直线l与平面α内的两条相交直线m、n都垂直，但不经过它们的交点，那么直线l还与平面α垂直吗？

评析：通过让学生自主操作，思考系列问题，激发学生的求知欲，让学生在动手实验过程中，增强学生对立体几何的直观感知，提升空间想象能力，同时，还能够培养学生的相互合作意识和交流表达能力.

环节三：抽象概括、确认定理

师：请同学给出线面垂直的判定定理，并用符号语言把这个定理表述.

直线和平面垂直的判定定理：

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

图6

符号语言：l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n=A⟹l⊥α(图6).

师：判定定理的实质就是通过线线垂直来证明线面垂直，它体现了立体几何中降维的重要的数学思想.

评析：通过理性分析，概括出折纸实验的数学本质，培养学生的逻辑推理能力，提高学生抽象概括的能力，培养学生的直观想象和数学抽象的核心素养.

辨析：判断下列说法是否正确：

图7

(1)若一条直线垂直于一个梯形的两条边垂直，则这条直线就与梯形所在的平面垂直(图7)；

(2)若一条直线垂直于一个平面的无数条直线，则这条直线就与这个平面垂直.

评析：通过概念辨析，强化定理中“两条相交直线”这一条件，深化学生对直线和平面垂直的判定定理的内涵的理解.

3.直线与平面垂直的初步应用

例1 已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.

评析：通过例1让学生学会运用定义和判定定理解决相关问题.让学生体会解决此类问题的方法和步骤，领悟“降维”的思想、化归与转化的思想.培养学生逻辑推理的数学核心素养.

图8

例2 如图8，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？

问题9：证明线面垂直有哪些方法？运用了什么样的数学思想方法？

评析：通过例2培养学生熟练地将线线垂直和线面垂直进行相互转化，从而使他们能够灵活应用定义和判定定理进行逻辑推理论证.进一步培养学生的逻辑推理的数学核心素养.

课堂练习：课本第152页练习第2、4题.

评析：课堂内完成教科书中练习题，能有效地检验学生对直线与平面垂直的了解、理解和掌握情况.

4.总结提升、建构体系

问题10：本节课，我们学习了哪些判断线面垂直的方法？运用了哪些数学思想方法？我们是如何研究这些知识和方法的？

评析：师生一起回顾整节课的学习与探究历程，体会立体几何学习的“直观感知、抽象概括”、“直观感知、操作确认”的认识过程，感受线线垂直、线面垂直的转化与化归的数学思想方法，以及逻辑推理的思维过程.

5.布置作业、课后探究

课本第162页习题第4题，第163页习题第5、14题，第164页习题第15题.

评析：课后完成适量的练习题，能有效地巩固学生课堂内学习的知识、方法、数学思想等，有利于帮助学生熟练掌握所学的基本知识、思想方法等.

六、教学反思

本课力图尝试在直线与平面垂直的问题的过程中，让学生在直观感知、抽象概括、形成概念的过程中自然生成并建构直线与平面垂直的概念，在直观感知、操作确认、合作探究的过程中主动生成并建构直线与平面垂直的判定定理，整个教学过程中，让学生从数学的角度发现问题、提出问题，用数学的方式理性思考、分析问题，用数学的方法准确地表达、解决问题.通过教学实践，体会到可以通过教师设计显性的数学探究活动，在学生经历数学知识产生发展的过程中，提升学生的隐性的数学核心素养.

可取之处：整个过程中，教师积极为学生创设问题情境，引发学生的认知冲突，并启发诱导，激发学生的求知欲，提升学生思考的积极性，让学生在迫切要求之下学习.对达成教学目标和促进学生发展起到了重要的作用.

改进之处：本课在形成概念和建构判定定理方面设计了系列数学活动，起到了很好的教学效果，但如何真正引导学生自觉感知、自主生成，如何提升学生的直观想象、数学抽象的素养，还有待于进一步探索.