立足课标 回归教材 提升素养——以一道学业水平题为例

浙江省嘉兴市秀洲区王店镇建设中学 (314011) 洪 安浙江省海宁市丁桥中学 (314400) 陈振锋

一、试题呈现与评价

(一)原题呈现

图1

如图1，在△ABC中， ∠BAC=30°,∠ACB=45°,AB=2,点P从点A出发沿AB方向运动,到达点B时停止运动.连接CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连接A′C，A′P.在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为.

(二)试题评价

1.动静结合，图形美观

本题的三角形是一个内角为30度和45度的钝角三角形，在初中阶段，学生对于这两个角度非常熟悉，在考场上看到这样的角度和图形，学生会有亲切感.当我们过点B做AC的垂线后，就分割成了两个非常熟悉的直角三角形，从而已知一边，可以快速求出其他线段的长度.平时学习过程中，要多关注特殊的基本图形，学会欣赏图形的美妙之处.

P是线段AB上的一个动点，点A关于直线CP的对称点为A′，图形的轴对称变换是一种非常美观的构图方式.题中的构图方式，有动有静，动静结合.学生能在这个变化中找到动和静，变与不变，将为解题带来思路.整个图形线条简洁，构图直观，清晰美观，让学生体会几何图形独特的美感.

2.线面结合，题目简洁

本题是2021年浙江省嘉兴市初中数学学业水平考试填空题的最后一题，两小问，共4分，问题简洁，两小问具有递进关系，分别求的是点到直线的距离和线段扫过的面积.点动到线动，线动又可以进一步求解面积，这是我们平时学习的流程，从学生的最近发展区出发，为通过动点来发展教学内容，提供了教学材料，让学生经历知识的发展建构过程，这为我们平时的教学提供了思路.这样的教学流程，必然能提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

二、试题求解

(一)重视审题，获取思路

审题是解题的第一步，从审题的过程中获取多少信息，产生多少知识间的联想，将直接影响到题目的解决.在△ABC中，∠BAC=30°,∠ACB=45°,AB=2,直接可以得到另外两边的长度.点A关于直线CP的对称点为A′，可以得到△ACP≅△A′CP，P在动的过程中，线段A′C=AC，根据动点到定点的距离等于定长，可以知道A′的轨迹是一条弧，这为我们后续的解题提供了方向.第一问要求A′到直线AB距离的最大值，可以联想到垂径定理，即A′C垂直于直线AB时，所求距离最大.第二问要求线段A′P扫过的面积，我们已经确定A′的轨迹是一条弧，从而可以确定所求面积是圆心角为90度扇形的一部分，通过对P点特殊位置——起始点和终点的作图，可以确定图形，从而求解.

(二)重视画图，以静制动

解决几何题，特别是动点轨迹问题，作图是关键，可以帮助思考，辅助计算.在动点问题中，要学会以静制动，根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，通过对图形的直观分析、判断，以此来进一步求解.本题中学生一定要尝试大胆作图，现将辅助图形呈现如下：

第一问辅助图(见图2，图3，图4)：

图2 图3 图4

第二问辅助图(见图5，图6)：

图5 图6

有了图形就能获得直观的感受，从而突破本题带来的困扰.通过对图形的分析和计算，就能获得答案.作图是一个呈现思维的过程，让思维可视化，也让教师进一步了解学生的知识掌握情况和思维发展情况.精准作图，助力轻松解题.

(三)重视计算，获得答案

三、深度挖掘

(一)再探基本图形

本题的基本图形是一个45度和30度的钝角三角形，对于此图形课本中涉及较少，能不能基于两个特殊角，利用该图形得到一些常用的结论，成了笔者在解决此题后思考的第一个问题.

基本图形7，过点B做AC的垂线，分割成两个特殊的直角三角形，这两个直角三角形在平时的课堂中研究较多，三边的关系比较清楚，故在本文中，不再多加叙述.

图7 图8

图形8，作AN=AB，将△ABC分割成一个顶角为30度的等腰三角形，则另一个三角形与它本身相似，此处，我们可以进一步探究顶角为30度角等腰三角形模型的三边关系.

图9

图形9，在一个顶角为120度的等腰三角形中，作FD=FQ，得到一个顶角为30度的等腰三角形和一个内角为30度和45度的三角形，即△ABC～△EQD,从等腰三角形DEF的边角关系可以进一步探究分割出的三角形边的关系.

(二)再作图形变换

本题的图形变化是轴对称变换，还可以研究图形的平移和旋转，在此将进一步通过图形旋转，探索在这个过程中，得到的一些结论，也启发学生在平时的学习中，学会多角度的看待问题，探究问题，总结问题.

图10

变式1 如图10，在△ABC中，∠BAC=30°,∠ACB=45°,AB=2,点P从点A出发沿AB方向运动,到达点B时停止运动.连接CP, 将△ACP绕着点A顺时针旋转30°得到△AC′P′.设AP的长度为t，求：(1)PP′的长度(用t表示)；(2)求△PC′P′面积的最大值.

图11

变式2 如图11，在△ABC中，∠BAC=30°, ∠ACB=45°,AB=2,点P从点A出发沿AB方向运动,到达点B时停止运动.连接CP，将△ACP绕着点A顺时针旋转和逆时针都旋转30°得到△AC′P′和△AC″P″.设AP的长度为t，求：

(1)∠P′PP″的度数是否为定值，若为定值，求出其度数；

(2)求△P′PP″的面积(用t表示)；

(三)再求变式结论

在有了两个变式之后，可以尝试去计算结果，培养空间观念、运算能力和模型思想.

在求解的过程中，学生综合运用了各种知识，对题目有了更深刻的认识，提高了个人的数学素养，培养了探究精神.

四、教学思考

(一)关注课标，挖掘教材

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生.”本题的背景源于课本，但是又高于课本.教材中对于特殊的直角三角形都有所涉及，但是组合型的三角形又没有直接呈现，启发我们在教学过程中多探索新的特殊图形.《课标》中对图形的轴对称提出了明确的要求，而本题是在动态中的轴对称，相比于以往的题目，难度有所增加，但是考查的知识点又都是我们所熟悉的.如何利用课本，又能让学生挖掘出高于课本的素材，需要教师不断的引导，师生共同的探索.

(二)关注方法，抽象模型

数学的练习，要做一题，会一类，这就需要在每道题后及时反思和总结方法.如对于本题来说，首先如何解决轨迹问题值得反思，初中阶段，轨迹一般分为两类，线段和弧.本题中确定轨迹为弧后，考虑利用割补法解决问题.其次遇到点到直线的距离问题如何思考，结合A′的轨迹为弧，转化到了垂径定理，从而解决问题.我们也可以把上述的两种思考，提炼出两种模型，遇到相似的问题时，就往这样的角度去思考.在平时的教学过程中，我们要多引导学生对图形进行探究，通过归纳反思，提炼模型，培养模型意识.

(三)关注思想，提升素养

数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.而数学活动经验的积累是提升数学核心素养的手段，这是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.在本题的解决过程中，学生的数感、空间观念、几何直观、推理能力、运算能力与模型能力等得到进一步的提升.学生需要通过分析题意，利用几何直观构建图形，在此过程中学生的作图能力得到进一步发展.通过题意，利用所学，充分利用已知的模型，将复杂的问题进行转化.这一过程中，学生也充分体会到了数形结合、转化等数学思想对于解题的帮助.在平时的教学过程中，教师要强调几何直观和模型思想的重要性，要善于引导学生总结模型，联想模型，应用模型.教师只有在平时的课堂中不断的渗透数学思想方法，学生才能在学习活动中感知核心素养，从而提升个人的数学素养.