引入环向压应力系数的竖井井壁空间被动土压力新解

关晓迪，曹周阳，朱勇锋，何盛东，马迪

(1.西安理工大学土木建筑工程学院，西安 710048; 2.郑州航空工业管理学院土木建筑学院，郑州 450046; 3.长安大学地质工程与测绘学院，西安 710048；4.西安交通工程学院土木工程学院，西安 710300)

长期以来竖井结构被简化为平面问题，大多数采用半经验的方法进行相关设计[1]，如悬浮体地压、重液地压及夹心墙地压等[2]，也有直接采用朗肯土压力理论[3]或库仑土压力理论[4]进行受力分析。然而竖井结构往往具有空间效应，对竖井围岩空间土压力的研究是土力学研究中的一个经典课题[5]，针对竖井围岩土压力试验测试方法主要有现场原位测试试验和室内模型试验，现阶段针对竖井围岩空间土压力试验测试相关方面的研究较少。陈绪禄等[6]通过对竖井围岩取试样进行土工离心模型试验，研究了井底隆起现象产生的机理及井底加固的效果，明晰了井壁土压力随开挖进展的变化规律。冷伍明等[7]通过模型试验研究了竖井不同基础埋深对井壁土压力的影响，探讨了竖井的合理基础埋深，从而为竖井设计提供了科学试验依据。闫登峰[8]以西安市交通项目工程单孔矩形竖井为研究对象，深入分析了实测土压力与主动土压力和静止土压力的关系，得到了黄土地区竖井下沉不同深度时井壁土压力的大小及分布规律。上述研究通过室内模型试验、现场原位试验，分析了在各种不同因素影响下的井壁土压力分布规律，然而现场原位测试试验虽可信度较大，但测试原件或试验成本费用较高、施工干扰大、人为影响因素多，所以基于现场测试的有益成果较为紧缺，而室内模型试验往往需进行大量的假设简化计算，导致其研究成果的实用性受限。

现阶段，针对竖井井壁空间土压力分布规律方面的研究大多采用数值模拟方法[9-10]。杨卓文[11]采用有限差分软件FLAC3D对竖井施工进行数值模拟，对比现场监测的竖井相应的位移场和应力场，得到了井壁土压力随开挖深度的增加而减小的规律。胡金平等[12]通过建立竖井表土段三维弹塑性模型，动态模拟了竖井井口段的施工过程，得到了在井壁周围围岩开挖卸载过程中，井壁底部受土体侧向压力作用产生张拉应力。朱正国等[13]采用FLAC3D有限差分软件对各种条件下深竖井进行三维数值模拟，分析了深竖井土压力与变形规律，确定了土压力系数及土压力与支护结构变形、深度间的函数关系。以上学者以实际竖井工程案例为研究背景，采用数值分析软件对竖井井壁受力特性以及土压力的分布规律进行了深入的分析与研究，这些研究成果均对竖井井壁空间土压力分布规律进行了有益的丰富和拓展。

竖井围岩空间土压力是竖井支护设计时需要定量计算的重要荷载，是支护设计中研究多年而未能很好解决的问题之一[14]，因此，竖井围岩的空间土压力计算问题一直是岩土工程研究的热点问题。李造鼎[15]在极限平衡理论的基础上，假定井帮周围土体沿柱状面垂直下滑，不考虑土体垂直于地面方向上的切应力，推导出井壁土压力的解析表达式。赵彭年[16]以空间轴对称圆形竖井为研究对象，基于哈尔-卡门完全塑性准则，推导出轴对称竖井井壁的主动土压力解析解。Cheng等[17]引入一个广义环向压应力系数对空间轴对称滑移线问题中的哈尔-卡门完全塑性假定进行修正，采用简化滑移线法推导出竖井衬砌主动土压力解析表达式。应宏伟等[18]建立了正交挡墙三维有限元分析模型，研究了不同长高比挡墙平动对墙后主动土压力及空间滑裂体形状的影响，提出了方形竖井空间土压力计算模型，推导出竖井挡墙主动土压力分布的理论计算公式。

值得注意的是，在针对竖井井壁空间被动土压力方面的研究较少，远滞后于工程实际需要[19]，因此，现针对轴对称竖井围岩被动极限平衡状态开展分析，引入一个环向压应力系数，推导出一般环向压应力系数下竖井井壁空间被动土压力计算新解，为竖井井壁被动土压力的计算提供一种新方法。

1 推导前提与假定

研究轴对称圆形竖井围岩的空间被动土压力问题，通过对竖井围岩的被动极限平衡状态展开分析发现：井壁围岩有背离井筒轴线方向移动的趋势，此时假定围岩应力状态满足径向正应力最大、环向正应力次之、轴向正应力最小，且此时竖井井壁围岩的屈服条件满足式(1)，在井壁后背竖直光滑、井壁背面填土水平的条件下，采用简化滑移线法，推导出井竖井井壁空间被动土压力解析解。

(1)

式(1)中：σ1、σ2、σ3分别为最大主应力、中间主应力和最小主应力；c为竖井围岩的黏聚力；φ为竖井围岩的内摩擦角。

2 井壁空间被动土压力公式推导

基于Mohr-Coulomb强度理论，在对轴对称竖井围岩空间被动极限平衡状态展开分析过程中假定竖井井壁为刚性，井壁背面竖直、光滑且井壁背面填土水平，如图1所示。

R为竖井半径；r为井壁围岩中一点的半径；σr为径向正应力；σz为轴向正应力；σθ为环向正应力；τrz为沿z方向作用的剪应力；τzr为沿r方向作用的剪应力

通过将竖井围岩微元体上各力对其中心径向轴及z轴建立平衡方程，得到空间轴对称问题的平衡微分方程为

(2)

式(2)中：γ为竖井围岩的重度。

为了解决哈尔-卡门(Haar-Von Karman)完全塑性准则求解出的竖井井壁空间被动土压力偏大的问题，引入环向压应力系数λ，以便更合理地分析井壁所受空间被动土压力。针对井壁围岩空间被动土压力问题，因为围岩有远离井筒轴线方向移动的趋势，所以环向正应力σθ应为较小主应力，即环向正应力满足：

σθ=σ2=λσ3

(3)

式(3)中：λ为环向压应力系数[20]，当λ≥1时，轴对称竖井井壁围岩微元体应力满足σ1(σr)>σ2(σθ)>σ3(σz)，即为所提出的一般环向压应力系数条件；特别地，当λ=1时，竖井井壁围岩微元体应力满足σ1(σr)>σ2(σθ)=σ3(σz)，即为哈尔-卡门(Haar-Von Karman)完全塑性准则[21-22]。

由于竖井井壁围岩在r-z平面内满足屈服条件[式(1)]，此时r-z平面存在两族滑移线，其与σ1轴夹角为±u，令第一族滑移线的角度为正，第二族滑移线的角度为负，如图2所示。

1为第一滑移线；2为第二滑移线

则在被动极限平衡状态下井壁围岩的应力分量表达式为

(4)

σθ=λσ3=λσ(1-sinφ)-λccotφ

(5)

为了建立竖井围岩问题的极限平衡状态微分方程，将式(4)、式(5)代入空间轴对称问题的平衡微分方程式(2)，可得

(6)

(7)

联立式(6)、式(7)，可得

(8)

(9)

联立式(8)、式(9)，可得

(10)

(11)

若用s1和s2分别表示r-z平面内的第一族和第二族滑移线的弧长，根据方向导数公式可得

(12)

将式(12)代入式(10)、式(11)，可得被动极限平衡状态下轴对称竖井井壁围岩微分方程为

(13)

(14)

q为表面载荷

基于上述假定，可知r-z平面内的两族滑移线为两族平行直线，则第一族滑移线倾角为

(15)

将式(15)代入式(14)，则

(16)

可得

(17)

(18)

(19)

则微分方程式(17)的解为

(20)

将式(20)代入式(4)、式(5)，可得井壁围岩的应力分量表达式为

(21)

若第一族滑移线与井壁交点的纵坐标为zb，第一族滑移线与水平地表面交点的横坐标为rb，则有

(22)

利用应力边界条件σz|r=rb=q可得式(21)中的积分常数为

(23)

则在被动极限平衡状态下轴对称竖井井壁围岩的应力分量表达式为

(24)

令井壁围岩中一点的半径r=R，将其代入式(24)的第一式中，可得一般环向压应力系数下轴对称竖井井壁空间被动土压力计算新解为

(25)

将式(22)代入式(25)，得到一般环向压应力系数的竖井井壁空间被动土压力pb随着竖井深度zb的变化规律，可以发现：一般环向压应力系数下竖井井壁空间被动土压力值随着竖井深度的增加呈幂函数曲线增加，当zb→∞时，竖井井壁空间被动土压力值趋于无穷大[21]，工程实践证明，在表土层圆形竖井地压(井深z≤180 m)的计算中井壁空间土压力比挡土墙公式更接近实际[23]。

当环向压应力系数λ=1时，式(25)转化为别列赞采夫被动土压力公式[式(26)]，可见别列赞采夫被动土压力公式为推导的井壁空间被动土压力新解的特例。

(26)

式(26)中：

(27)

由于在相同条件下(相同埋深和等效宽度)竖井井壁外侧处于被动极限平衡状态的围岩体积远大于平面应变条件下的情况，使得竖井井壁空间被动土压力值较大[24]，因此，竖井井壁空间被动土压力值必须大于或等于平面被动土压力值，经推导计算得

η+1≥1

(28)

将式(28)代入式(18)，可得

(29)

当λ=1时，井壁围岩微元体上应力满足σ1≥σ1(σθ)=σ3，即为哈尔-卡门(Haar-Von Karman)完全塑性准则。

3 算例分析

为了验证推导出的竖井井壁空间被动土压力计算新解的正确性与适用性，针对深度为15 m、直径为6 m的竖井，采用5种环向压应力系数λ(λ=1.0、1.2、1.4、1.6、1.8)对5种计算工况进行对比分析，各个工况的计算参数如表1所示，取竖井围岩的重度γ=17 kN/m3，表面荷载q=0 kN/m3。

表1 各个工况的计算参数

图4为不同环向压应力系数条件下竖井井壁空间被动土压力分布曲线。通过分析可知：井壁空间被动土压力随竖井深度均呈幂函数曲线分布，且同一工况中不同环向压应力系数的井壁空间被动土压力在地表处相等，随着深度的增大，空间被动土压力相对差值随之增大；在工况1中，以环向压应力系数λ=1.0时深度15 m处井壁空间被动土压力值作为参照条件下，随着环向压应力系数的递增，井壁空间被动土压力分别减小11.5%、21.6%、30.3%和37.9%，说明环向压应力系数越大，井壁空间被动土压力越小。

图4 各工况下竖井井壁空间被动土压力分布曲线

为了研究不同黏聚力对竖井井壁空间被动土压力的影响，取环向压应力系数λ=1.2，分析了工况1、2、3的井壁空间被动土压力，3种工况下井壁空间被动土压力分布曲线如图5所示。通过分析可知：以工况1地表面处井壁空间被动土压力作为参照条件下，工况2、工况3的空间被动土压力分别增大50.0%和100.0%，以工况1深度15 m处井壁空间被动土压力作为参照条件下，工况2、3的空间被动土压力分别增大9.3%，18.6%，说明井壁空间被动土压力随着填土黏聚力的增大而增大，且随着深度的增加，空间被动土压力增长幅度变小。

图5 不同黏聚力对竖井井壁空间被动土压力的影响

图6为不同填土内摩擦角条件下，工况2、4、5的竖井井壁空间被动土压力分布曲线。通过分析发现：3种工况地表处井壁空间被动土压力值相等，且随着深度的增加，井壁空间被动土压力差值增大；同时以工况4深度15 m处井壁空间被动土压力作为参照条件下，工况2、工况5的空间被动土压力分别增大40.8%和100.0%，说明内摩擦角越大，井壁空间被动土压力越大，且随着深度的增加，井壁空间被动土压力增长幅度增大。

图6 不同内摩擦角对竖井井壁空间被动土压力影响

基于参考文献[17]的研究成果，由于在竖井井壁围岩主动与被动极限平衡状态下，其两者的锥形极限状态区的母线与水平面的夹角δ1、δ2为互余角，即此时tanδ1=1/tanδ2；同时基于直线型滑移线的特点，建议采用环向压应力系数为静止土压力系数K0的倒数1/K0时所求得的竖井井壁空间被动土压力值，其中K0= 1-sinφ。

图7为环向压应力系数λ分别为1.0、1/K0时竖井井壁空间被动土压力分布曲线，同时为加强比较，在图7中绘制了朗肯被动土压力分布曲线。通过分析可知：环向压应力系数对竖井井壁空间被动土压力有较大影响，在填土表面处井壁空间被动土压力与朗肯被动土压力相等，且随着竖井深度的增大，井壁空间被动土压力与朗肯被动土压力的差值增大；以环向压应力系数λ=1.0时深度15 m处井壁空间被动土压力作为参照条件下，工况2中环向压应力系数取1/K0时竖井井壁空间被动土压力减小34.6%，朗肯被动土压力减小65.4%，工况4中竖井井壁空间被动土压力减小28.7%，朗肯被动土压力减小59.7%，工况5中竖井井壁空间被动土压力减小40.1%，朗肯被动土压力减小70.3%。

图7 竖井井壁空间被动和朗肯被动土压力分布曲线

综上可见，基于哈尔-卡门假定的别列赞采夫被动土压力值偏大，在工程应用中偏于保守；且一般环向压应力系数下井壁空间被动土压力明显大于朗肯被动土压力，这是由于在相同条件下(相同埋深和等效宽度)井壁外侧处于被动极限平衡状态的围岩体积远大于平面应变条件下的情况，使得井壁空间被动土压力值较大，因此，在工程中采用朗肯被动土压力会偏于危险。

4 结论

(1)依托经典的Mohr-Coulomb强度理论，针对轴对称圆形竖井围岩的被动极限平衡状态开展分析，引入一个环向压应力系数修正了哈尔-卡门完全塑性准则，并采用简化滑移线法，推导出一般环向压应力系数下竖井井壁空间被动土压力计算新解，完善了竖井井壁空间被动土压力的计算方法。

(2)竖井井壁空间被动土压力随深度呈幂函数曲线分布；不同环向压应力系数的竖井井壁空间被动土压力在地表处相等，随着深度的增大，井壁空间被动土压力相对差值增大；同时环向压应力系数越大，井壁空间被动土压力越小。

(3)竖井井壁空间被动土压力随着围岩黏聚力的增大而增大，且竖井深度越大，被动土压力增长幅度越小；同时井壁空间被动土压力随着围岩内摩擦角的增大而增大，且竖井深度越大，被动土压力增长幅度越大。

(4)基于哈尔-卡门假定的别列赞采夫被动土压力值偏大，在工程应用中偏于保守；且竖井井壁空间被动土压力值大于朗肯被动土压力值，因此，在工程中采用朗肯被动土压力值会偏于危险。

由于环向压应力系数对竖井井壁空间被动土压力有较大影响，通过在计算竖井井壁空间被动土压力时引入环向压应力系数，可为竖井井壁空间土压力计算相关工程问题的分析和评价提供一定的理论基础。