基于非线性容量负载模型下电网的级联故障分析

高洁，马杰，杨丽新

(陕西科技大学数学与数据科学学院，西安 710021)

级联失效是一种常见于基础设施网络中的传播扩散现象。网络中突发的自然灾害或人为破坏会引起多个网络节点故障，进一步导致整个网络的崩溃。近年来，美国纽约的多次大规模停电事件,对生产生活造成极大损失。因此分析电网的级联失效规律，构建有效的模型，具有实际意义。Motter等[1]提出了被广泛使用的经典容量负载模型。Kim等[2]通过对不同实际网络探究发现网络中较小容量的节点反而有较大比例的剩余容量，表明负载与容量不具有线性关系。Wang等[3]提出了一个加权级联失效模型，定义连边权重为两端节点的幂函数。崔文岩等[4]基于网络的度和介数提出的加权模型，有效地提高了网络的鲁棒性。刘军[5]提出了时变负载的级联失效模型。谢本凯等[6]改变节点状态探究级联失效。丁明等[7]将电气特征引入电网的级联故障模型中，发现小世界电网脆弱性很难由外部环境改变。王文波[8]将电气介数指标融入级联故障模型。王文韬[9]将级联故障深入耦合电网。但目前大多数关于电网的级联故障研究没有考虑电网实际的电气特征，具有一定的局限性。

现基于非线性级联失效模型，通过构建具有电气特征的加权网络和一般无权网络来探究IEEE118系统面对不同攻击策略的鲁棒性表现，分析网络对级联故障的抗毁性。

1 构建IEEE118网络非线性容量负载模型

无权电网用G={V,E,A}表示。其中V为节点集,E为边集，A为邻接矩阵，表达式为

(1)

节点表示电网中的发动机、负荷、变压器等,边是电网中传输线路。但是由于电网中节点的异质性(不同类的节点设备)，不同设备有不同的电气特征[10]。为了更好地在网络中表达不同设备自身的信息,采用线路导纳的标幺值作为边的权值,线路的导纳决定了电网的潮流分布，从而体现不同节点间的连接强度。加权电网用G={V,E,Z}表示。加权矩阵为Z，表达式为

(2)

式(2)中：ωij为电路的导纳标幺值。

无权网络中的邻接矩阵单纯描述点边之间的物理连接关系，加权网络引入电网的电气特征来描述电网的拓扑结构，能更好地刻画电网。

1.1 两种网络特征刻画

1.1.1 度与权的差别

无权网络中节点i的度定义为邻居节点的个数，即

(3)

加权网络中节点i的强度[11](即权si)与度类似，公式为

(4)

1.1.2 节点间最短距离

在加权网络中，两个节点之间的最短路径dij定义为相异权矩阵中节点(i,j)间边权值ωij的倒数

dij=1/ωij

(5)

则节点(i,k)间的最短路径为

(6)

相似权矩阵则相反，即

dij=ωij

(7)

节点(i,k)间的最短路径[12]为

dik=ωij+ωjk

(8)

1.1.3 两个网络的拓扑特征对比

表1为两个网络的拓扑特征对比，可以看出，加权IEEE118电网具有更小的平均路径长度，更大的聚类系数，小世界网络特征更为显著，更符合电网的实际情况。

表1 两个网络的拓扑特征对比

1.2 构建非线性容量负载模型

1.2.1 加权电网的级联失效模型

(1)初始负荷。加权网络的节点负载表示为

(9)

式(9)中：Γi为节点i的邻居节点的集合；γ为负载参数，γ>0。

(2)非线性模型节点容量Ci。

(10)

式(10)中：α、β为容量参数。节点的容量并不是没有上限，令α∈[0,1],β≥0。

(3)负载重分配策略。当节点i失效后，邻居节点j按照自身剩余容量接收负荷的比例为

(11)

则此时节点j接收节点i的额外负荷为

(12)

1.2.2 无权电网的级联失效模型

当网络中所有连边的权重都相等时si=ki，即为无权电网，ki为节点i的度值。无权网络的节点负载公式为

(13)

容量与负载重分配同上述加权电网模型。

1.2.3 测度

网络最大连通比例为

G=N′/N

(14)

式(14)中:N′和N分别为级联前后最大连通子图的节点数目。

网络效率的计算公式为

(15)

式(15)中:dij为节点i,j间的最短路径长度。

1.3 模型的理论分析

节点i失效后，节点负载会转移到邻居节点。当Lj+ΔLij>Cj时，邻居节点j也会失效，它的负荷也会进一步分配给邻居节点，可能会引发相邻节点的失效，形成级联故障。只有当Lj+ΔLij≤Cj,此时节点j不会失效，级联故障中断。容量参数α的阈值α*是避免网络失效的最小值，α*越小网络对级联失效的抗毁性更强[13]。

为了避免级联失效，必须满足以下不等式

Lj+ΔLij≤Cj

(16)

将初始负载、容量、重分配公式代入可得

(17)

定义P(s′|si)是权为si节点的邻居节点为s′的条件概率，由贝叶斯公式可得

(18)

由于加权网络由电气特征构建，节点间不具有相关性，则条件概率

P(s′|si)=s′P(s′)/〈s〉

(19)

将其代入式(17)可得

(20)

由此可知，参数α的阈值为

(21)

令

(22)

则求α*的最小值即转化为求Z的Zmin。

对式(22)中β求导可得

(23)

由于β≥0，故Z′(β)<0恒成立，Z(β)为单调减函数。故β越大越易取得Zmin，α*越小。

对式(22)的γ求导可得

(24)

由式(24)可知，当β>1时，Z′(γ)<0，Z(γ)为单调减函数，故γ越大越易取得Zmin，α*越小。当0<β<1时，Z′(γ)>0,故Z(γ)为单调增函数，故γ越小越易取得Zmin，α*越小。

综上可得，当β>1时，更大的γ,β有更小的α*；但当0<β<1时，更小的γ,更大的β有更小的α*，此时网络对级联失效的抗毁性更强。

2 探究容量参数对网络鲁棒性的影响

2.1 参数α对两种IEEE118网络鲁棒性的影响

容量参数α越大，需要的网络线路成本越高。为了探究α对加权IEEE118节点系统和无权IEEE118节点系统鲁棒性的影响，基于级联失效模型分别攻击无权网络和加权网络。令α∈[0,1],β=1，γ=0.3。对两个网络随机攻击10个节点，计算级联故障后网络的最大连通比例与网络效率。因为随机攻击的不确定性，重复上述操作100次，结果取均值。

如图1所示，无权IEEE118网络在α≤0.35时，网络最大连通比例略大于加权IEEE118网络，网络的鲁棒性均较差。当α>0.35后，无权IEEE118网络和加权IEEE118网络的鲁棒性都开始急剧提高，但加权IEEE118网络的鲁棒性整体上明显强于无权网络。这是因为在网络中大部分节点都不是关键节点，攻击这些节点不会造成大规模网络崩溃，加权网络更凸显这种异质性，对随机攻击的鲁棒性更强。当α>0.55，加权网络的鲁棒性增势趋于稳定，而无权网络直至α>0.7鲁棒性才趋于稳定。加权电网容量参数α的阈值α*更小,对级联失效的鲁棒性更强。

图1 不同α值下两种IEEE118系统的最大连通比例

由图1知，α∈[0.55,0.75]时鲁棒性变化趋于稳定，在此区间网络在此区间可兼顾成本与网络性能，对实际电网有一定参考作用。图2仿真图的性质与图1基本一致。

图2 不同α值下两种IEEE118系统的网络效率

2.2 参数β对两种IEEE118网络鲁棒性的影响

参数β越大，需要的线路网络成本越高。为探究对加权IEEE118节点系统和无权IEEE118节点系统鲁棒性的影响，令α=0.55,γ=0.3对两个网络进行相同序列的随机攻击10次，计算网络的鲁棒性。重复上述操作100次，结果取均值。

如图3所示，首先从整体看，加权网络的鲁棒性强于无权IEEE118网络。放大局部图可知，两种网络鲁棒性都在β>1后开始急剧增加并逐渐趋于稳定，但是加权网络在β≥1.2之后趋于稳定，无权网络直到β≥1.4才逐渐趋于稳定的。这是因为加权网络节点的差异性较大，对随机攻击网络的鲁棒性更强。

图3 不同β值下两种IEEE118系统的最大连通比例

图4仿真图的性质与图3基本一致。综上加权网络节点的异质性较大，容量参数的阈值更小，对随机攻击网络的级联失效抗毁性更强。

图4 不同β值下两种IEEE118系统的网络效率

3 蓄意攻击对两种网络的影响

3.1 负载攻击对网络鲁棒性的影响

令α=0.55,β=1.2,γ=0.3，此时网络具有较好的鲁棒性。对两种网络进行蓄意攻击，攻击方式为最大负载攻击(HL)和最小负载攻击(LL)，对排序前十的节点依次攻击，网络的鲁棒性变化如图5、图6所示。

图5 HL攻击下两种IEEE118系统的最大连通比例

图6 LL攻击下两种IEEE118系统的最大连通比例

如图5、图6所示，HL攻击中明显加权网络的鲁棒性差，在第十次攻击后加权网络的性能只有50%,而无权网络性能仍保持在85%以上。LL攻击下加权IEEE118网络的性能较无权网络下降更快，说明加权网络对蓄意攻击鲁棒性较差，符合实际电网的特征。

3.2 拓扑特征攻击对网络鲁棒性的影响

对两种网络进行度(权)攻击与介数攻击，参数不变，仍然选取排序最大的10个节点攻击来比较级联失效规模。

如图7所示，可以看出，加权网络对权攻击在整体上鲁棒性明显强于无权网络，这是因为加权网络所加权重为电气特征，相对无权邻接矩阵对拓扑攻击有更好的鲁棒性。

图7 度/权攻击下两种IEEE118系统的最大连通比例

如图8所示，两种IEEE118网络对介数攻击的级联故障的抗毁性都较差，攻击高介数节点在第十次攻击时网络性能就只有10%左右，相比度或权攻击网络性能仍保持在50%以上，网络对介数攻击的鲁棒性较差。

图8 介数攻击下两种IEEE118系统的最大连通比例

绘制加权IEEE118系统的拓扑图来探究介数攻击下网络鲁棒性差的原因，如图9所示。如表2所示，两个网络介数排序前10节点重复率高达80%，故鲁棒性表现相似。

图9 加权IEEE118电网的拓扑图

表2 两个网络节点介数排序

通过数据对比(数据见文献[14])发现这些加权介数排序前十节点(图9中红色节点)在IEEE118中对应的是9台变压器的两端节点(除77号节点)，对这些节点进行蓄意攻击对于电网的传输破坏性极大，更易发生级联故障。节点V77(图9中黑色节点)是网络中唯一连接两个变压器节点的普通节点，故节点介数高，在网络中也很重要。因此在实际电网中给这些节点增加权重可以有效提高网络的鲁棒性。

4 结论

对加权电网和无权电网在非线性容量负载模型中进行了深入的分析与对比,得到以下结论。

(1)引入电网电气特征的加权电网较无权电网对随机攻击有更好的鲁棒性。这是因为加权电网的强异质性使节点容量差异性大，随机攻击时移除的节点大部分容量较小，不会造成大规模的级联失效。

(2)加权电网较无权网络在最大和最小负载攻击下的鲁棒性差，表明实际电网对蓄意攻击的鲁棒性差。

(3)加权电网对基于网络拓扑的攻击——权攻击强于相应无权网络的度攻击，这是因为引入的节点权重是基于电网的电气特征，对基于网络拓扑结构的蓄意攻击抵抗性强于仅由电网拓扑结构构建的无权电网。但两种网络对介数攻击的鲁棒性均较差，分析发现高介数节点为变压器节点，在实际网络中可以通过增大高介数节点的保护来提高电网的鲁棒性。