数学实验：丰富小学生探索规律的向度

【摘 要】让每一位学生在数学实验中探索和发现数学规律，验证数学猜想、解决数学问题，是一个值得研究的教学问题。苏教版六上《表面涂色的正方体》一课，是在学生认识了长方体和正方体特征、会进行体积计算后安排的一次“探索规律”活动课，主要教学思路是引导学生在观察、想象、实验中发现不同类型涂色正方体个数的规律，培养学生初步的抽象、推理能力和空间观念，促进学生理解数学规律与图形特征的内在关联，发展空间观念，积累数学活动经验。

【关键词】数学实验;表面涂色的正方体;探索规律;空间观念

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2022）17-0063-05

【作者简介】蒋敏杰，江苏省常州市教育科学研究院（江苏常州，213016）小学数学教研员，高级教师，常州市教育领军人才，江苏省首届青年教师教学基本功（小学数学）大赛一等奖获得者，江苏省优秀教育工作者，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象。

【背景】

在数学教学中开展数学实验，是指引导学生借助一定的物化工具，在实验目的的引领下进行规范的实验操作，并通过数学化分析理解数学概念、探索数学规律、验证数学猜想、解决数学问题的一种数学学习方式。数学实验活动有助于激活学生的学习兴趣，促进学生数学地思考、理解并解决问题。

苏教版六上《表面涂色的正方體》一课，是学生认识了长方体和正方体的基本特征，会进行体积计算后安排的一次“探索规律”活动课，旨在通过引导学生经历探索规律的活动，使其产生对数学规律的兴趣，初步形成探索规律的意识。笔者发现，学生虽经历了探索规律的过程，但思维仍处于“接受”状态，且归纳概括时常常束手无策。笔者分析得知，这主要是因为学生思维的深刻性、广度不够，空间想象缺乏支撑，认知不够灵活，不能通过观察、想象等进行形式化类推;教师则更多关注学生是否能概括出3面涂色、2面涂色、1面涂色、没有涂色的小正方体个数的规律，而对于如何观察、想象、说理、建立数学规律与图形特征的内在关联等缺少引领性指导。本文以《表面涂色的正方体》一课的教学为例，以数学实验引导学生观察、想象、实验，展开规律探索，促进学生积累由特殊到一般、由具体到抽象探索简单数学规律的经验，发展数学思维能力和空间观念。

【教学过程及分析】

一、提出问题，激活思维

师（出示正方体模型）：这是一个正方体，如果把这个正方体的表面涂上红色，涂红色的面一共有几个？为什么？

师（课件演示）：将这个表面涂色的正方体的每条棱都平均分成10份。像这样切开，可以切成多少个小正方体？

生：大正方体被切成了1000个一样大的小正方体。

师：请同学们想象一下，这1000个小正方体，是不是都是6个面被涂上了红色？

生1：肯定不是，切开后的小正方体，有的是3个面涂红色，有的是2个面涂红色，有的是1个面涂红色。

生2：不可能有6个面涂红的，因为切开后，里面是没有涂红色的。

师：那会不会出现4个面、5个面涂红色的？

生1：也不会有。我觉得最多只有3个面涂成红色。只能在顶点这个地方，其他地方是2个面、1个面涂红色。

生2：还可以有一些小正方体没有涂红色。因为它在大正方体里面。

师：将一个大正方体像这样把每条棱平均分成10份，切成1000个同样大的小正方体，这些小正方体的表面可能有3面涂色、2面涂色、1面涂色，也可能没有涂色。

师：每一种类型的小正方体各有多少个呢？它们的个数与什么有关呢？这里面还藏着好多有意义的数学问题呢？今天，我们就一起来研究像这样的“表面涂色的正方体”。（揭示课题）

上述教学中，教师首先激发学生探索的需求;其次启发学生初步借助直观想象和推理等方式，明确了要观察和思考的对象，认识到涂色小正方体有不同类型;最后借助复杂问题解决，再次激发学生探索规律的心理需求。这样组织教学，不仅使学生明确了研究的问题与思考的方向，也锻炼了他们初步的空间想象能力，为后续实验的设计与实施提供了支持。

二、实验探索，初识规律

师：在数学中，为了便于研究、发现规律，一般从简单的情况开始研究。我们先来研究可见的三类涂色正方体，没有涂色的稍后研究。

师（提供棱长为2厘米、3厘米、4厘米的正方体各1个，把它们切成棱长为1厘米的小正方体）：仔细观察，它们的每条棱分别被平均分成了多少份？并想一想，切开后各有多少个小正方体，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方体分别在这些大正方体的哪个位置，有多少个？四人小组议一议。

生1：这个（棱长为2）切开后有8个小正方体，它们都是3个面涂色。

生2：这个（棱长为3）切开后有27个小正方体，3个面涂色的在顶点的地方;2个面涂色的在棱中间;1个面涂色的在面上，一共有6个。

生3：这个（棱长为4）切开后有4×4×4=64（个）小正方体，3个面涂色的有8个，在顶点的地方;2个面涂色的在棱中间，一条棱上有2个，一共有24个;1个面涂色的在面上，一个面上有4个，一共有24个。

师：各类涂色小正方体的个数与什么有关？在什么位置？又有什么规律呢？这就需要我们做实验，通过数据来说明与发现。

师：你打算怎样做这个实验，发现规律呢？

生：把正方体沿着均分线切开，分别数一数各类小正方体的个数，看一看它们的位置在哪里、有什么特点。

呈现实验探究单（如图1）。

生自主开展实验，小组内交流获得初步结论。

师：通过刚才的实验，同学们获得了数据，完成了表格，谁能告诉老师，你有怎样的发现？请同学们来交流。

第一层次：发现3面涂色的规律

生：我们发现，无论每条棱均分的份数怎样变，3面涂色的小正方体都是8个。

师：你能结合图形特征说说理由吗？

生：3面涂色的小正方体都处于大正方体的顶点位置，3条棱相交于顶点，这样就有3个面相邻，正方体有8个顶点，所以无论怎样切，3个面涂色的都只有8个。

师：是的，顶点连接3条棱，与3个面有关，这就是3面涂色的小正方体只有8个的原因。

第二层次：发现2面涂色的规律

生（上台指）：2面涂色的小正方体分别是0个、12个、24个。因为棱2等分时，都是3面涂色的，所以2面涂色的没有。棱3等分时，每条棱上有1个，这样12条棱上就有12个。4等分时，每条棱上有2个，这样12条棱上就有24个。

师：这样看来，等分得越多，2面涂色的小正方体就越多。那么，为什么棱3等分后，每条棱上只有1个2面涂色的小正方体呢？

生：我们来看，棱3等分后，每条棱上头和尾的小正方体都在顶点上，是3个面涂色的，去掉这2个，剩下的就是2面涂色的，这样就只有中间的1个小正方体是2个面涂色的。

师（课件直观呈现）：大正方体的棱几等分，每条棱上就有几个小正方体;两端的小正方体连接3个面，是3面涂色的;棱上的这些连接2个面，自然切开后是2面涂色的。所以，这个1我们还可以写成（3-2）。

生：这样就可以是（3-2）×12=12（个）。

师：棱4等分呢？

生：（4-2）×12=24（个）。

师：也就是说，2面涂色小正方体的个数是几的倍数？（12）

第三层次：发现1面涂色的规律

生：1面涂色小正方体的个数都是6的倍数。因为每个面上的个数是一样多的。

师：结合数据与图形，谁来具体说说？

生：1个面涂色的小正方体在每个面的中间。比如这个（3等分），每个面上有1个，一共有1×6=6（个）;这个（4等分）是每个面上有4个，一共有4×6=24（个）。

师：你的发现很直观。还有什么想说的吗？

生：棱3等分时，面上是1个正方形（学生从平面上理解，实际表示的是正方体），可以写成1×1，棱4等分时，面上是4个正方形，可以写成2×2。

师：结合圖形特征，“1×1”“2×2”与原来正方体的棱长有什么关系？

生：可以这样看，去掉头和尾，剩下的正好是一个正方形。1就是（3-2），2就是（4-2）。

师：是的。（课件呈现直观图）这样看，就发现了1个面涂色的规律。

师：同学们刚才通过做实验、观察图形、记录数据，发现了3面涂色、2面涂色、1面涂色小正方体的位置，以及它们的个数与棱长的关系。请大家结合图和表，再把我们的发现在小组内说一说。

本环节教学，重在引导学生通过数学实验的设计、实施与分析，结合获得的数据、图形的特征、不同类型小正方体的位置特点等，进行基于事实的数学说理分析。教师并不急于让学生获得规律，而是将更多时间留给学生，引导学生从数据变化中发现规律，并与图形特征进行关联，使学生认识到顶点处连接3个面，切开后3面涂色的小正方体只有8个;每条棱连接2个面，2面涂色的小正方体在棱上，数量是12的倍数;1面涂色的小正方体在面上，数量是6的倍数。实验成为学生探索规律的重要方式，一方面理解实验对象，进行实验设计，另一方面结合空间想象与逻辑推理，对数据进行数学化分析。在分析数学实验的过程中，教师主要引导学生在数与形之间建立关联，促进他们展开深度思考，提高探索规律的能力。

三、应用验证，抽象表征

1.迁移研究棱5等分的情况。

师（出示棱5等分的正方体）：带着刚才的发现，我们一起来研究棱5等分的情况。思考一下，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方体分别在什么位置？有多少个？能用算式表达出来吗？

生1：3面涂色的在顶点上，有8个。

生2：2面涂色的在棱上，有（5-2）×12=36（个）。

师：请解释一下这个算式的意思。

生：每条棱上去掉顶点上3面涂色的2个，中间就是2面涂色的小正方体。12表示正方体有12条棱。

师：1个面涂色的呢？谁能完整地表达？

生：1个面涂色的在面上，每个面上有5-2=3（个），3×3=9（个），所以一共有9×6=54（个）。

师：都同意吗？（课件直接演示）确实如同学们所想所说。同学们现在不仅能依据图形特征进行思考，而且能通过推理应用规律了。

2.归纳概括规律。

师：现在可以解决一开始的问题了，正方体的棱10等分，请快速思考一下，先想到在哪个位置，再将个数计算出来。

生：3面涂色8个;2面涂色（10-2）×12=96（个）;1面涂色（10-2）×（10-2）×6=384（个）。

师：如果涂色正方体的每条棱都平均分成n份，切成若干个同样大小的小正方体，那么，切成的小正方体一共有多少个？其中，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方体各有多少个？先独立思考，再在小组内交流，之后全班交流。

生1：切成的小正方体有n×n×n=n3（个）。

生2：3面涂色的有8个;2面涂色的有（n-2）×12（个）;1面涂色的有（n-2）×（n-2）×6（个）。

生3：1面涂色的还可以写成（n-2）2×6（个）。

师：用含有字母的式子可以概括地表达我们发现的规律。（n-2）×12是什么意思？

生：棱被n等分，2面涂色的小正方体在棱上，每条棱上有（n-2）个，一共有12条棱，所以是（n-2）×12个。

师：那（n-2）2×6呢？

…………

师：同学们，我们从简单问题入手，在数学实验中观察、想象、分析数据，并结合圖形的特征发现了数学规律。回顾探索和发现规律的过程，你有哪些体会？

实验获得的结论需要具有可重复性。在学生通过棱2、3、4等分初步发现了“表面涂色的正方体”中蕴含的规律后，引导他们对棱5等分的情况进行实验数据验证，使规律更加可靠。用含有字母的式子归纳发现的规律也是本课的难点。让学生用字母进行简单替换不难理解，教师将重心放在引导学生解释说理上，并通过直观图示帮助学生进一步从具体的数量过渡到抽象的符号，不仅使学生的抽象表达更加自然，也使他们认识到规律需要从数据变化和图形特征中提炼，促进了其探索规律能力的形成。

四、深度学习，拓展思维

师：这些小正方体中还有一类——无涂色的小正方体，这些小正方体在大正方体的什么位置？个数可以怎样计算？你打算怎样研究？

…………

师：还是要回归数据，这次的想象更加困难了。（课件演示棱3等分的情况，观察到只有1个）你有什么想说的？

…………

师：它们都在大正方体的正中间，我们可以通过实验，把这些没有涂色的小正方体找出来。先想象再看演示，并将数据记录在表格中。你有什么发现？

生：我发现个数可以是（n-2）3，比如1×1×1=13，2×2×2=23，3×3×3=33。

师：你能试着解释吗？

…………

师：今天，我们研究了表面涂色的正方体。同学们如果感兴趣，还可以像这样来研究研究表面涂色的长方体，看看它有怎样的规律，与正方体有什么相同的地方与不同的地方。

课尾将重心放在没有涂色的小正方体的个数上，由于空间想象要求较高，因而教学中通过呈现直观图示，帮助学生主动迁移。最后提出研究长方体中涂色情况的话题，丰富研究对象，激发学生后续研究的兴趣。

综上所述，开展“探索规律”活动有助于改进学生的学习方式，培养学生发现、提出、分析和解决问题的意识和能力，使学生初步学会从数学的角度观察与分析客观现实，提升数学素养。数学实验引导学生围绕问题，在观察、猜测、实验、计算、推理、验证等活动中学习，能极大地丰富学生探究的视角与方式。在本课教学中，数学实验建立在学生对不同类型小正方体有直观感知、形成初步认识的基础上，是对个人思考的验证与再发现。课始，在学生观察、猜测后，教师指出需要做实验，通过数据来说明与发现。接着以想一想位置、猜一猜个数、切一切方块、数一数个数、记一记数据的实验设计，有梯度地引导学生经历基于思考的结论验证、发现过程。在观察、想象、操作、分析等探索的关键环节，教师有针对性地引导学生展开相应的探索活动，形象、直观地把握3面、2面、1面涂色小正方体的位置、个数与图形特征间的联系，把不易理解、无法看见的数学知识转变成直观表象，进而促进学生开展高质量的数学思考。在实验过程中，教师注重引导学生基于对图形的观察和得到的数据进行说理，通过问题驱动引发学生从现象走向数学实质，促进学生获得分析和解决问题的基本方法，提升其探索规律的能力。

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划教师发展专项重点自筹课题“促进教师专业发展的小学数学教学关键问题的实践研究”（J-b/2018/13）阶段性研究成果。