研究一个圆锥曲线的难点——解析几何中向量最值

贺凤梅

(新疆伊犁巩留县高级中学 835400)

1 试题呈现

A.3 B.4 C.5 D.9

2 总体分析

此题是2021年9月的一道高三调研试题，题干简洁，解法灵活，不同的解法思维量不同，运算量不同，算得上是一道经典题目. 我发现很多学生解答此题仅停留在很基本的认知阶段，相当多的学生又因为计算不过关等原因不同程度卡壳，无法完成解答. 笔者试着将此题进行全方位剖析和解答，以期达到抛砖引玉之功效.

3 试题解答

解法1圆C的圆心为C(2,0)，半径r=2.

当EF所在直线的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2)，

代入(x-2)2+y2=4,得

(x-2)2+[k(x-2)]2=4.

设E(x1,y1)，F(x2,y2)，不妨设x1

①

②

③

将①②③代入整理,得

所以x0=-1时，f(x0)取最小值，且为5.

当EF斜率不存在时，方程为x=2.

则E(2,-2)，E(2,2)，P(x0,y0).

评注因为直线过已知点，可设直线的点斜式方程，联立方程组，求出交点坐标，再利用向量的数量积转化得出关于x0的二次函数，最后利用单调性求出最小值. 此解法看似思路自然，比较符合学生的认知规律，但从呈现的解题过程来看，基本上是一道解答题的运算量，从严密性的角度来看，还要考虑斜率不存在的情况. 所以作为选择题这样求解，的确得不偿失.

解法2根据直线EF过点C(2,0)，可设直线方程为x=my+2，代入(x-2)2+y2=4，得

[(my+2)-2]2+y2=4.

结合解法1，整理求解同样可得

评注此解法所设方程为直线的横截式，可以避免讨论斜率是否存在的情形，但计算量仍然不小.那么，有没有简单的求解方法，实现小题小解呢？

解法3由向量加法的三角形法则,得

因为EF为圆C的直径，

解法4 由向量的减法,得

结合解法1,得

下同解法1.

设P(x,y)，则x2-y2=1.

=(x-2)2+y2-4

=2x2-4x-1.

令g(x)=2x2-4x-1，x≤-1,

结合解法1可知，

x=-1时，g(x)min=g(-1)=5.

学术研究一向存在两种具有辩证色彩的现象，可以分别称为“大题小作”和“小题大做”。所谓“大题小作”，就是面对重大的、牵涉面广的研究课题，研究者要善于突出重点、提炼精华，避免巨细兼顾、失之杂芜；所谓“小题大做”，就是面对涉及的领域相对狭窄的研究课题，研究者要善于以研究对象为基点和核心做横向拓展，善于勾连和比较，使立论扎实、内涵丰厚。尚继武的专著名为《〈聊斋志异〉叙事艺术研究》，但所论内容不限于《聊斋志异》，也不限于“叙事艺术”，内容丰富，视野开阔，可以称得上是一本“小题大做”的著作。

评注此解法利用向量实现转化后，再结合二次函数求最值，方法简单可行，学生也容易掌握.

4 举一反三

下同解法1.

=(x-1)2+y2-4

所以x=-4时，g(x)max=g(-4)=21;

x=4时，g(x)min=g(4)=5.

解法4由解法1或解法2可得

=cos2α-8cosα+12.

令g(cosα)=cos2α-8cosα+12，

而-1≤cosα≤1，

所以g(cosα)=cos2α-8cosα+12在cosα∈[-1,1]上单调递减.

所以cosα=-1时，g(cosα)max=g(-1)=21;

cosα=1时，g(cosα)min=g(1)=5.

5 解题反思

解圆锥曲线和平面向量交汇题的方法通常有代数法和几何法.代数法的关键是设点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用向量的坐标运算法则(加、减、数乘)、运算律及数量积的意义，最终转化为代数关系；也可以利用几何法，关键是利用加法的三角形法则、向量的减法、相反向量等，当然还要结合圆锥曲线的相关性质进行运算和转化.

高中数学教学的目的，归根结底在于培养学生的理解能力和思维能力，提高解题能力是数学教学中一项十分重要的任务，始终贯穿于高中数学教学.在解题教学中，教师应该引导学生学会解题策略和方法，不断进行分析和思考，从而深化对问题的理解，真正掌握解题的本质，探索解题的思路和规律.这样做更有利于培养学生的思维品质和数学能力.