对一道高一期末考试题的解法探究与推广

董 强

(陕西省西安市第八十五中学 710061)

基金项目：陕西省教育科学“十三五”规划2020年度课题“基于学科核心素养的高中数学单元教学设计研究”(项目编号：SGH20Y0157).

直线和圆是解析几何初步的重要研究对象，主要培养学生树立良好的“坐标法”意识，形成用代数的方法求解几何问题的基本解析思想，为后续进一步学习圆锥曲线打下坚实的基础.本文以2019年河南南阳一中高一期末考试直线和圆的综合性试题为例，通过对试题的不同解法进行探究，得到了一些有趣的结论，同时也促进学生对解析几何试题求解思路进行梳理与总结，提高学生学习数学的兴趣.

1 试题再现

题目(2019年河南南阳一中高一期末考试题)在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2+y2=4与坐标轴分别交于点A1，A2，B1，B2.

(1)点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，直线A1Q，A2Q与直线y+3=0分别交于不同的两点N，M，求|MN|的最小值；

(2)点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E.设直线A2P的斜率为k1，直线EF的斜率为k2，求证：2k2-k1为定值.

图1 图2

2 解法探究

2.1 第(1)问解析

解法1 符合题意的点Q应在x轴下方.

由对称性可知，点Q位于点B1时，|MN|最小.因为△A1B1A2∽△NB1M，|OB1|=2，|A1A2|=4，点B1到MN的距离等于1，所以|MN|=2，即|MN|的最小值为2.

解法2取MN的中点C，连接QC，因为∠MQN=90°，所以|MN|=2|QC|.

所以要求|MN|的最小值，即求|QC|的最小值.

由图1可知，当点Q位于点B1时，|QC|取得最小值，为|-3-(-2)|=1.

所以|MN|的最小值为2.

解法3符合题意的点Q应在x轴下方.

设Q(a,b)，则-2≤b<0，易知A1(-2,0).

因为-2≤b<0，所以当b=-2时，|MN|的最小值为2.

所以直线A1Q与直线y+3=0的交点为N(3k-2,-3).

当k>0时，

当且仅当k=1时等号成立；

当k<0时，

当且仅当k=-1时等号成立.

故|MN|的最小值为2.

2.2 第(2)问解析

解法1由题意可知，A1(-2,0)，A2(2,0)，B1(0,-2)，B2(0,2).

因为直线A2P的斜率为k1(k1≠0)，所以直线A2P的方程为y=k1(x-2).

直线A1B2方程为x-y+2=0.

所以直线EF的斜率

直线A1B2的方程为y=x+2.

直线EF的斜率

因为点P在圆O:x2+y2=4上，

因为点E在A2P上，所以y1=k1(x-2).

解析第(2)问中的三种证法都是通过直线方程求出交点的坐标，表示出有关直线的斜率，进而代入待求式子2k2-k1直接进行化简，有效考查了学生的运算能力，三种不同的设点方式化简时的难易程度不尽相同，解法2中最后一步要充分利用点在圆上符合圆的方程的特点有效代换，相比而言，解法3看似字母多，但实质化简简单，思路清晰.

3 结论推广

试题中的第(1)问对于任何圆而言，由对称性可知，均有点P在点B1处时到MN的距离最小，等于圆的半径.对于第(2)问而言，这个定值是1，圆的半径是2，那么这个定值是否与圆的半径有关？对于任意半径的圆，是否还有2k2-k1是一个定值？

结论1 在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2+y2=r2与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2.点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E.设直线A2P的斜率为k1，直线EF的斜率为k2，则2k2-k1为定值1.

因为点P在圆O:x2+y2=r2上，

因为点E在A2P上，所以y1=k1(x-r).

评析从上述的探究证明中可以看出，即使圆的半径改变了，但依然保持2k2-k1是一个定值，是与圆的半径无关的常数1，这是圆的一种本质属性的反映，考虑到椭圆和圆具有很多相似的性质，该结论还可以在椭圆中进行进一步的推广.

图3

证明设F(t,0)，P(x0,y0)，E(x1,y1)，则

因为点E在A2P上，y1=k1(x-a)，

解析对于结论1和结论2除了上述的证法之外，均有和原试题相似的其他证法，这里不再一一赘述.结论1可以看作是结论2的特殊情形.