基于“做数学”理念的几何作图教学探索

摘      要 初中平面几何的学习就是图形的学习，但几何作图的价值与作图能力的培养还没有引起教师的足够重视。几何作图的过程承载着“做数学”理念，在手脑协作的过程中培养几何直观、数学模型、逻辑推理等素养。教师要认识到作图的数学实验价值，通过这个被忽视的途径切实保证核心素养落地。

关 键 词 做数学  几何作图  几何直观  空间观念  逻辑推理

引用格式 潘丽莎.基于“做数学”理念的几何作图教学探索[J].教学与管理，2022（07）：52-55.

“做数学”是指学生运用材料和工具，在动手动脑相协同的过程中理解数学知识，发现数学规律（关系），创造性解决问题，发展数学核心素养，实现学科育人的一种方式。“做数学”包括数学体验、数学实验、综合实践。初中平面几何的学习就是图形的学习，图形作为符号系统中的重要一员不仅帮助学生进行数学思考和表达，更以此培养学生空间观念和几何直观。从最基本的点、线、面、体等几何要素的识别到两条直线的关系，再到三角形、四边形、圆等复杂图形的探究，都需要学生亲历画图过程。几何作图的学习是“做数学”中的数学体验和数学实验的具体途径之一，通过操作、观察、感悟、理解来学习几何，学生积累作图经验获得大量的感性知识，再通过探究、论证，引导学生解决数学问题。几何作图教学包含教学生用三角板、直尺、量角器画基本图形，再现或拆解问题中的图形，依据条件补全图形，基本尺规作图，复杂尺规作图。

从课标的要求看，图形与几何部分的学习对培养学生数学素养是不可或缺的。但据几何教学的观察，教师们普遍只关注学生的逻辑推理素养的形成，花费大量的力气教学生能够有条理地思考和表达，严重忽视几何作图教学，导致学生只会解决有简单图形的问题，一旦遇到没有图形或者复杂图形就束手无策。因此，反思几何作图教学的特征、价值、途径有利于找到落实核心素养的直接路径。

一、几何作图教学的特征

1.亲和性

几何作图以生动多样的呈现方式，展示数学的发生发展过程，激发兴趣和美感，引发学习激情。学生可以采用熟悉的直尺、三角板、圆规等工具进行操作，画出的图形丰富多样，易获得成就感。

2.问题性

几何作图的解决入口很宽，具有很强的开放性，容易激发学生迫切解决问题的心理需求，利于教师搭建活动平台，以恰时恰点的问题提高分析能力，孕育创新精神。比如“用两种以上的方法作图：利用尺规过圆外一点作圆的一条切线”，解决方法众多，从不同角度思考可获取不同的作图方式。像这样的作图教材中还有不少，有待于教师备课时进行深度思考和挖掘，提出作图问题，形成问题意识。

3.思想性

几何作图的解决过程就是数学思想方法的渗透与概括过程。教师以此为载体引导学生领悟具体内容所反映的数学思想，运用特殊化、化归等多种思想方法教学生数学地思考问题的方式，提高数学思维能力，培养其理性精神。比如解决“请用尺规三等分已知线段”作图问题，就需要运用转化思想。

4.联系性

几何作图的解决需要运用不同的数学知识和方法，教师通过问题唤醒学生的思维，在启发、类比、推广过程中将知识进行纵横联系，实现“瞻前顾后、彼此贯通”的综合运用目的。上述两例作图问题需要学生充分联系全等或相似知识，从所学的知识库中进行有效信息提取、恰当方法选择才能完成。

二、几何作图教学的价值

1.有助于教师转变育人方式

转变学习方式一直是数学课程教学改革的核心环节，针对不同教学内容采用合适的教学方式是教师在备课时要思考的问题。几何作图属于“动手做”，需要采用发现式的学习方式，需要教师提供目标、暗示方向，学生自己设计路径、制定方案来完成。教师作为组织者的身份参与课堂，对于关键性的难点问题，启发性问题设计是教师专业能力的体现，耐心等待学生解决完成是教师育人理念的体现。

2.有助于增强学习体验性

布鲁纳认为，在人类生长期间，有三种表征系统在起作用，即动作表征、表象表征和符号表征，通过动作或行动、表象或图像以及各种符号等抽象形式来认识事物。这三种表征系统相互作用，是认知生长或智慧生长的核心。初中学生在学习新知、理解知识时仍然需要动作和表象表征的支持。几何作图过程恰是学生身体参与、形成直接经验、有意识整合间接经验的过程，是一个调动原有学习活动经验积极思维、综合运用知识解决问题、逐渐形成数学素养的过程。

3.有助于学生自我知识建构

在几何作图“做数学”的过程中，学生作为独立的个体，通过自己的思考和行动来完成画图，本质上就是自我建构知识的过程。学生通过具体的操作认识图形的特征，通过推理论证作图的合理性。几何作图需要通过合作学习方式进行，作图的关键逻辑顺序、实现每一步的依据需要学生充分讨论、发表自己的看法和意见，在交流的过程中，进一步巩固知识的建构，培养建模和直观想象、逻辑推理等素养。

三、几何作图教学的策略

1.抓住课堂作图阵地，有意培养符号意识

数学是研究数量关系与空间形式的科学，而空间形式最主要的表现就是“图形”，画出图形是图形研究的最基本动作。教师通过课堂主阵地循序渐进地进行作图训练，可以提高学生作图的熟练度、准确度、美观度，形成审美直觉和符号意识。目前教材里几何作图教学并不做为一个独立单元进行学习，而是广泛融入到图形与几何部分的教学中去，在常态教学中有机渗透、随时发生。它既需要教师在备课时有意识安排时间指导，又需要教师观察学生的学习状态即时进行。

（1）全学段运用几何作图教学

學习探索全等三角形的条件、平行四边形、圆、相似三角形单元的每一课时都有大量的机会训练学生的作图，每一道例题都是对学生进行作图方法培养的载体。不论是从作图的顺序让学生理解图形运动和变化，还是对条件的图形标注让学生提炼整合信息，都是在潜移默化地让学生亲近图形、理解图形，学会用图形刻画运动过程，形成符号意识。gzslib202204011643

（2）设计创造性作图问题

学习圆的切线，可以前置作业“利用尺规过圆外一点作圆的一条切线”，课堂请学生展示作图方法，教师进行作图方法归纳;学习完平行四边形判定后可以设计例题“已知平面内不共线的三点A、B、C，请以点A、B、C为顶点画一个平行四边形”。以上这些问题促使学生从不同角度出发，选用不同的方法，运用不同的知识解决问题，灵活考查学生知识运用的能力，拓展学生思维，使其进行深度学习[1]。

2.依据文字描述作图，发展数学空间观念

空间观念的培养是几何知识学习的一个重要目的，学生能根据语言描述画出符合题意的图形是空间观念素养的具体表现形式之一。用图形再现文字或语言描述、图形刻画运动与变化的过程是发展学生的空间想象的有效途径。教师梳理图形与几何中的重要章节中的重要作图，针对典型问题、典型图形的特征引导学生进行操作、研究，形成深刻理解，打下坚实的基本功。

例题1.（2018江苏无锡卷）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积为______.

【解析】本题先确定∠B，再截取BA=10（如图1），难点在于在射线BM上如何确定点C的位置，即在BM上找一点到点A的距离为2，联想到圆的定义“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”，从而通过作出隐圆确定点C的位置有两个，继而再利用勾股定理解决线段长的问题求出面积。

【几何作图解读】本题巧妙的反向利用“已知三角形的两边与一个角，不一定能确定三角形的形状”这个结论构造有新意的问题。在全等图形的新课学习时教师通过演示两种图形结果来强调“已知三角形的两边与一个内角不能证明全等”，而常常忽略让学生动手画图体会两种可能性，失去了辩证地看待这个结论的机会，失去形成空间观念的机会[2]。教师对作图教学的弱化直接导致学生对知识的理解停在表面，没有思维的深度加工;学生没有作图的功底，思维链常常断裂，提高解决问题能力常会遇到发展的瓶颈。

在图形与几何内容的学习中，教师应充分意识到作图过程既是考查学生综合运用知识能力的载体，又是培养空间观念的过程，要善于抓住典型内容进行长期训练形成经验积累，将空间观念的培养贯穿于整个学习过程中。

3.依托基本图形作图，提升几何直观能力

数学家希尔伯特在著作《直观几何》中认为，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题，可以帮助我们寻求解决问题的思路，可以帮助我们理解和记忆得到的结果。在几何教学中，教师须带领学生对基本图形的组成元素间的数量、位置关系进行深度研究，能够熟练画出基本图形，能够从复杂图形，辨认、拆解出基本图形，或者以运动的观点观察基本图形研究图形形质，利用图形进行数学的思考，培养学生的几何直观能力。

例题2.（2012天津市）“三等分任意角”是数学史上一个著名问题。已知一个角∠MAN，设∠α=∠MAN.

（1）∠MAN=69°，∠α的大小为_______;

（2）如图2，将∠MAN放在每个小正方形的边长都是1cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB=2.5cm.现要求只能用带刻度的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明做法（不要证明）_________.

【解析】：如图3，用带刻度的直尺过点A作一条直线，与过B点的两条垂线交于C、D两点，只需量出CD的长为5cm，则∠MAD就是要做的∠α，具体证明如图4取CD的中点K，连接BK，则BK=2.5cm，利用平行—等腰三角形—角平分线模型顺利获证。

【几何作图解读】本题若要用一把带刻度的直尺做角平分线，那么就比较容易联想到平行—等腰三角形—角平分线这个基本图形和思考路径。现在需要做三等分线，是不是可以模仿这个模型？显然，这个方法的迁移是奏效的。通过本题的解决过程，学生的转化、构造能力得到锻炼，对于基本知识点和基本图形进一步深刻理解，直观想象的素养得以落实。

从例题2可以看出，在问题的解决过程中，原有的认知需要被联想，习得的方法需要迁移，旧有的模型需要在新的环境中重新构建，这个思考过程充分体现了核心素养的落实，因此教师要重视几何作图的价值，要引导学生充分思考、动手、解决。

4.利用尺规作图，体现逻辑推理素养

2011版的《义务教育数学课程标准》对尺规作图做出了明确要求：能用尺规完成基本作图，会利用基本图形作几个复杂图形，在尺规作图中了解作图原理[3]。尺规作图难点在于工具的限制，对学生作图前的综合分析能力有一定的要求，需要学生先从结论逆推溯源，再确定作图顺序，需要学生的逻辑推理能力作为分析支撑。

例题3.如图5，矩形ABCD，AB=2，AD=4，请利用直尺（无刻度）和圆规在AD边上找一点P，使得以CP为直径的圆恰好与AB相切，并求出PD的长。

【解析】如图6，作线段AB的垂直平分线MN，交线段AB于点E，连接CE，作线段CE的垂直平分线交MN于点O，作射线CO交线段AD于点P，则点P即为所求。求PD的长略。

【几何作图解读】本题如果单纯是一道计算线段长度的题目，学生仅需画出草图，思路没有阻碍，要么用勾股定理，要么利用圆的性质和相似中的“K”型图模型解决。但本题要先利用尺规作出较复杂的准确图形，这给学生提出了较高要求。仔细审题可以发现问题条件虽然简单，但蕴含的数学知识、方法、思想却相当丰富。

如何利用尺规作出准确图形？切入点在哪里？此时思维需要拓展，特别是逆向推理相当关键。通过观察、逻辑推理找寻点O的确定方法是转折点。先假定找出P点，通过观察、逆推可以先确定哪些点。由于矩形是轴对称图形，所以边AD上的任意点与C点的连线都被矩形水平的对称轴MN平分，即圆心O在直线MN上。然后，圆O与AB边相切，由圆是轴对称图形知切点一定是AB的中点E，则线段OP=OE=OC，顯然这几个点中只有点E和点C为已知，即点O满足到点E、点C的距离相等，故点O在线段EC的垂直平分线上。到此思路已经畅通，问题得以解决。从以上分析可以看出，本题只要找到了切口，运用的基本作图就只是作已知线段的垂直平分线和已知圆心与半径作圆，完全符合课标要求，而寻找切口需要的逆向思维和逻辑推理素养则是解决问题最关键的。所以，此题作为一个载体，将数学的核心素养落实到了问题的解决过程中。

综观以上问题，几何作图条件简单但蕴含的思维量很大，有利于学生进行深度学习，提高学生的思维能力。数学教师需摈弃以考为纲的教学，改以发展学生的数学能力为目标实施教学。通过真正研读课标，思考数学核心素养的落点，教师需树立“做数学”的理念，重视几何作图的教育价值，将相对抽象的思考对象“图形化”，把分析的思维过程可视化，在实践中发挥几何作图“四两拨千斤”的作用，让核心素养落地有形有痕。

参考文献

[1]  喻平.“做数学”的理论基础分析[J].教育研究与评论，2021（06）：22-26.

[2] 何小亚.数学学与教的心理学[M].广州：华南理工大学出版社，2016：139-143.