45 年：一项数学教改实验

2022-03-30顾泠沅

华东师范大学学报（教育科学版） 2022年4期

顾泠沅

（1. 华东师范大学数学科学学院，上海 200241；2. 上海市教育科学研究院，上海 200032）

一、大面积提高质量

（一）一份试卷引发的改革实验

20 世纪70 年代，上海市青浦县中小学数学教学质量在全市“垫底”。1977 年，我们用小学和初中低年级的数学题对即将高中毕业的4 373 名学生开展摸底考试(见图1)。阅卷结果为：及格率2.8%，平均分11.1，零分比例高达23.5%。面对触目惊心的落后现状怎么办？低分学生遍地与现代教育期望的巨大反差，孕育出紧迫的教学改革需求。

图1 1977 年对高中毕业生的摸底考试试题

青浦的骨干教师，在当年教育局长面前立下军令状，以卧薪尝胆、“十年生聚”的决心，发誓彻底改变落后面貌。于是立即成立数学教改实验小组，制定了三年全面调查、一年筛选经验、三年实验论证和八年推广应用的推进计划。

（二）“十五年磨一剑”的改革设计

教改是变革与传承之间的一场博弈。我们的设计思路：一是坚持开放包容，广泛吸纳自身之外的信息，包括经验再生、理论进展与技术更新；二是立足实践筛选，针对现状，通过不断改进与效果检测的反复循环，寻找最合适的改革路径。

具体实施分为四个部分：

（1）教学调查（3 年）。全面调查本地区教学的突出问题及其症结所在，针对问题与症结，采集到160 项专题经验。

（2）经验筛选（1 年半）。将经验运用于课堂教学，经过50 次反复试验、观察、淘汰、优化的循环筛选，聚焦课堂改进，得出如下四方面的关键行为：①让学生在迫切需求之下学习；②组织好教学内容的层次和顺序；③指导学生开展尝试探索的活动；④及时了解学习效果，随时反馈调节。

（3）对比实验（3 年）。选取初中10 个班组共440 名学生，根据上述四方面改进开展严格控制的对比实验以及对其中50 对同质学生进行对偶跟踪比较。

（4）推广与深化（8 年）。在全地区推广并深化实验结论，将传播学的策略引入推广流程，使推广不停留于模仿照搬，而是内化与创造；依托多级教研组进行全覆盖引领，因为我们需要的不是小打小闹，而是大面积提高。

上述四个部分构成了比较完整的改革实验方法体系(如图2)。

图2 以循环筛选为核心的方法体系

该项实验始终瞄准全样本数据统计与精致化个案分析的匹配与互证，特别是创设循环筛选的方法，它填补了调查到实验假说、结论到推广创新之间的空缺。我们肩负着解决真问题的重任，不是“秀才造反”，不能掉进坐而论道的陷阱。

（三）及时反馈，迅速改变落后现状

1977 年那次摸底测试，反映了低分学生遍布全县、尾大不掉的状况，据此在低分生集中的群体中抽取样本，开展个案调查和每日作业观察，归纳他们的形成过程（1982 年）（如图3）。

图3 低分学生的形成过程

从学生的作业侧面揭示了此类学生的形成是学、教两方面问题累积发展到丧失自信的过程，必须及时阻断这种不良循环。于是基于本土经验，采用当日作业反馈、面批加上鼓励的方法，于1986 年开展分组实验，结果表明：及时、个别的针对性反馈指导是改变低分学生的一剂良药（实验结果见图4）。

图4 作业反馈分组实验结果

其实早在中国古代《礼记·学记》中就有“学—不足—自反，教—知困—自强”的双通道反馈模型（见图5），称之为“教学相长”，这充分体现了中华优秀传统文化的魅力。

图5 《礼记·学记》中的教学双通道反馈

（四）思维评估，导致教改的深化与创新

1984 年，我们采用“出声想”多媒体视听技术，对实验组与控制组50 对学生的数学解题过程做思维评估（见图6），从个案中筛选出“变式体验”教学在提升学生思维准确性、敏捷性、深刻性方面的积极影响，这在第二阶段的创新和广泛推进中发挥了重要作用。

图6 成对学生的解题过程比较

（五）从实验方法到教学原理解读

1992 年，青浦实践性教育科研的方法特征有如下四点概述：

（1）导入契合、差异、共变以及演绎、逆推等科学发现模式，使教学行为改善与理性思辨同步进行，增加了实践研究在理论创新方面的可能性和期望值。

（2）确立实践筛选方法，用以填补调查与实验假说之间的空白，以此为核心构建多种方法互补的完整体系，增强了实践研究旨在解决教育真问题的能力。

（3）深入研究教学经验传播的本质与形态，探讨成果推广的条件、方式与效果，为教改实验结论回归到大范围的实际环境中去提供合理依据和实效保证。

（4）建立研究者与教师的科研共同体，以此作为实验主体，可使研究进入实际教育过程的深层领域，提高教改实验的现实有效性和社会化程度。

这其实是一项以教学实践为基础的综合研究。值得注意的是，青浦实验还通过对数学认知与活动过程、数学思维与目标分类等理论层面的探讨，为教改实践的关键教学行为提供解读，逐步形成包括情感意志、有序推进、尝试活动、及时反馈等四方面的基本原理。

（六）赢回了质量

历经10 年，青浦全县9 年级初中毕业生数学成绩逐年提高（见图7），合格率则由1979 年的16%（全市低谷）上升到1986 年的85%（全市为68%）。1986 年4 月，上海市教育局召开大会在全市推广青浦经验。1990 年10 月，国家教委基础教育司组织18 人专家研究小组，赴青浦进行为期9 天的经验、成果及实效考察。1992 年国家教委将青浦经验定为基础教育改革的重大成果正式发文在全国推广。

图7 初中毕业生数学统考成绩统计

青浦实验终于找到一条在最常见的教育条件下普遍提高教学质量的可行途径。该阶段的主要研究成果有：《学会教学》（1991）；《教学实验论—青浦实验的方法学与教学原理研究》（1994）。

二、突破高认知瓶颈

（一）重视对学生数学认知能力的考察

第二阶段的实验分两条线展开：一是认知能力测量，二是深挖优秀经验。先说第一条线。20 世纪90 年代以来，组织专业研究人员，设计能力目标分水平测试，完成了对该地区8 年级学生数学认知能力的三次测量和研究（历时28 年，积累了84 万个标准数据）。

第一次测量是在1990 年。认知能力目标分类参照当年布卢姆、威尔逊的框架，列为计算、知识、领会、应用、分析、综合、评价等7 类，编制50 个测试项目、共106 个考察点的测试题。测试时长共220 分钟（分3 段进行），全县3 200 名同年级学生以25 人为一组单独书面答题。数据处理采用大样本因子分析技术。主要结论有：

（1）确定记忆、理解两个最基本的内隐主因子，各类目标可表示为两个主因子上的不同负荷。数据显示，类别间的连续和等距性不尽合理：计算与知识混杂，领会与应用、分析与综合似可归并、简化（见图8）。

图8 各类目标在记忆、理解主因子上的不同负荷

（2）基本摸清全县不同能倾类型学生的分布情况。总体上看，学生的计算与按步操作相当熟练，对知识（概念）的了解比较清晰，但领会、探究等认知水平总体不高（见图9）。为使学生“聪明”起来，必须摆脱对概念的死记硬背和对题型的机械训练，由此确定领会优先的主攻方向，旨在突破高认知瓶颈。

图9 学生领会、探究等认知能力相对滞后

（二）成绩上去了，学生不聪明怎么办？

第二条线，基于主攻目标，深挖优秀经验。我们重温原先“启发尝试+及时反馈”的两因子实验（1982—1983），当年启发尝试主要采用“变式体验”的教学策略。实验结果如图10 所示。

图10 尝试与反馈的两因子实验结果

（1）及时反馈的“掌握学习”是大幅度提高成绩的主因。

（2） “灌输+反馈”不利于数学思维与阅读能力的提高，还会影响后续学习效果。

（3） “尝试+反馈”的实验，可使学生聪明起来。1985 年，华东师大老校长刘佛年说：“这比通常认为的掌握学习看得更远、更加合理”。

于是变式教学成为这一阶段一线教师的热门话题。1981 年提交给上海市数学会的论文（见图11）明确提出，变式分为概念变式与过程性变式两种类型，而后者正是数学问题解决的本国优秀传统经验。

图11 1981 年2 月关于变式的论文油印稿

（三）在“尝试和体验”中加深领会（数学概念变式）

例如，一个简单概念—平行线。老师告诉学生“平行线是平面上两条不相交的直线（这是抽象概念）”，学生说“我背出来了”，这就是“灌输”。另一位老师说“像列车两根轨道那样的就是平行线（这是描述定义）”，学生问“列车拐弯了还算不算？”

青浦实验采用另一种方法—变式体验，分为三步：第一步具体直观的，这就是平行线；第二步抽象变化的，也是平行线；第三步似是而非的，这就不是平行线了（见图12）。

图12 变式体验方法

多次试验表明：通过材料或形式的变化，从具体到抽象，在“是”“也是”和“似是而非”的体验中形成数学概念，可以(1)显著减轻学生的认知负担；(2)加深对数学概念“关键属性”的领会；(3)提高场景干扰中的独立辨识能力。

（四）数学问题解决中把握“核心关联”（过程性变式）

过程性变式是指精心设计数学问题由易到难的“铺垫（垫脚石，立足牢固基础往上走）”；或者复杂问题看简单的“化归（找出两者之间的核心关联，使复杂问题可以一眼看到底）”。引导学生自己解决问题，摆脱机械训练。

2016 年，重新审视早年“活动过程分析”的实验资料，研究其中的关联样式。例如，7 年级“卡车上桥”的应用题，通常都问两个问题：①什么时候卡车开始上桥？②什么时候卡车开始在桥上行驶？这是两个关节点，可以用两线段“外接”与“内接”的静态线段图来解释。如果我们让卡车从左向右动起来，再问三个问题：①什么时候还没有上桥？②什么时候正在上桥的过程中？③什么时候全在桥上行驶？把握“移动线段图”这一“核心关联”，便可顺利迁移到9 年级两圆之间五种位置关系的探讨（见图13）。

图13 卡车上桥与两圆位置关系的关联样式

实验数据表明：在学生运用已有知识去解决新的问题中，重要的是如何找准其中最本质、最具迁移力的成分—“核心关联”，这样的关联可以(1)缩短新问题与原知识“固着点”间的认知距离；(2)显著提高学习过程中的迁移程度；(3)激发学生数学问题解决的建构性思维。

（五）“变式体验”的中国经验

变式体验的教学，注重学生对数学的概念性领会和解决问题的建构性思维。早期实验表明，它可使中学生的数学思维从直观判断到逻辑推理的转变期至少提前一年（见图14）。经广泛使用、实验和改善后，其成果与欧美学者联名发表在数学教育重要刊物上，现已成为大家熟知的中国经验。

图14 思维转变期的比较

变式用于教学改进，可以从推理计算、情境应用、学习心理三个维度展开。这里需要注意的问题有两点：第一点，变式不是变得越多越好，应以适合不同学生的目标、需求为度；第二点，变式教学的关键是“体验”，不应成为变相的灌输，应给学生亲自投入、尝试和组织表达的机会。

（六）时隔十余年的变化

第二次测量是在2007 年。随着目标分类的改进（如区分知识与认知，认知目标可简化，重视创造与探究思维），从本地区学生的实际出发，对测试题作适量调整。测试时长不变，学生数为4 349 人。这次因子分析的准确度明显提高，各认知目标在两个主因子上的负荷占总方差的85.15%，比1990 年提高了24 个百分点。主要结论有：

（1）得出了符合地区实情而且相对简明、等距的四层次架构，以此推进有深度的学习与教学（见图15）：操作—机械记忆；了解—意义记忆；领会—解释性理解，常规问题；探究—发现性理解，非常规问题。

图15 相对简明的四层次架构

（2）2007 与1990 年相比，学生在操作、了解、领会方面均有较大幅度提高。可是，探究与创造能力的培养，虽几经努力，还是“风景依旧”，探究均值为28.96，略低于1990 年的32.43（见图16），成为需要突破的新难点。

图16 探究能力“风景依旧”

该阶段的主要研究成果有：《教学改革的行动与诠释》（2003）；《变革的见证—顾泠沅与青浦教学实验30 年》（2008）。

三、推进探究与创造

（一）探究与创造能力风景依旧怎么办？

在进入第三阶段前，先看一看2018 年完成的第三次测量。本次测量与2007 年第二次测量的试题、测试时长完全相同，学生数为3 474 人。主要结论是：

（1）2018 年领会均值超过了“合格”的水平，探究均值提升了11.31 个百分点，难点有所突破（见图17）。

图17 三次测量的基本情况

（2）散点图显示，领会与探究总体呈正相关，随着学生领会水平的逐步提高，探究水平呈指数式快速递增（见图18）。

图18 领会与探究总体呈正相关

（二）发现“节点”现象

如图19，考察领会—探究相关系数的变化，领会分值在45～95 之间，图象近乎两段折线，“节点”位于中间。节点前后两侧相关系数递增率呈断崖式落差，从平均8.4%锐减为3.2%。可见节点后的探究水平还受领会之外其他因素的影响。

图19 相关系数出现明显的“节点”

分别按节点前后领会、探究分值平均数作2×2 分割（见表1），分离出A、B 两类值得关注的人群，A 类的特征是固守领会，B 类的特征是走向探究。数据表明：无论节点前后，“双高”“双低”和“交错”类的学生人数均占1/3，其中“交错”类内A、B 两类学生的人数比，从节点前的 61:39转变为节点后的46:54，探究因素的影响十分显著。

表1 不同学生群体的2×2 分类

（三）开展大数据执果溯因的实证研究

为了在教改实践中寻找提高学生探究能力的关键举措，我们根据已有经验的积累，考虑到人为控制实验在教育公平与研究伦理方面的欠缺，设计了“依据大数据抽取可供比较的典型样本组，再通过自然观察、证据推理取得结论”的研究方法，简称“执果溯因”的实证研究法。研究流程如图20 所示。这种方法的显著特征：一是体现了现象和因果说明中的理论渗透，可以发挥研究团队背景知识的主体能动性；二是避免了观察取样的主观随意，可以保持发现逻辑的客观严谨性。因此该方法大大提升了自然观察研究的实际贡献。

图20 大数据执果溯因的研究流程

在本阶段的研究中，我们抽取节点后A、B 两类学生（共516 人）作深入分析。

（1）细化的数据分析发现，节点后A、B 两类学生的认知效果明显不一样。他们在知识领会、常规应用能力等方面差距不大，但在分析、判断、发现等创新能力方面，B 类学生具有明显优势（见图21）。

图21 节点后两类学生的认知效果雷达图

（2）经学生所在学校的实地调研，两类学生的表现性特征如表2 所示。A 类学生有强烈的高分追求，B 类学生会腾出精力钻研自己感兴趣的问题。

表2 节点后两类学生的表现性特征

由此可见，在节点之后，从教学过程到学习结果，可以清楚地发现完全不同的两类学生、两种学习路径和不同的期望结果。看来，过度的机械训练不可取，必须寻找提升探究水平的关键教学行为。

（四）深入典型样本的临床观察与比较

寻求数学教学的合理行为，还应深入到数学问题解决的实际领域，对A、B 两类学生的具体测试反应、所处教学场景进行临床分析和比较，才能找出提升探究水平的关键教学行为。下面列举几个典型的教学案例。

（1）伽利略太空圆形剧场设计的项目（2006 年）

B 类学生相对集中的实验性学校，长期以来坚守“活动—发展”教学场景。图22 是当年的一份项目作业单。太空圆形剧场的设计，既要符合技术安全标准，又要使座位最多，其中辐射通道的多少由设计者自定，通道少座位就多，但受到每排座位不得超过30 个的限制，需要在两难之间解决问题，知识难度不高，对思考力却有很大挑战性。这对驱动学生创新思维来说，无疑是一项很恰当的高水平任务。

图22 初中学生的创意设计作业

（2）非常规行程问题的思维精细加工（2018 年）

这是三次能力测试中探究水平部分的一道题：A、B 两船同时从甲岛出发，在甲、乙两岛间往返行驶。A 船每小时行10 千米，B 船每小时行8 千米，24 小时后刚好同时返回甲岛。问：①甲乙两岛间的距离是多少？②两船同时到达过乙岛吗？

① A 类学生熟知s=vt的公式和“相遇”“追及”的题型，但遇到需要独立分析的“两地往返”问题时，正确率仅为13.8%。B 类学生经分析，认为：

24 小时内A 船比B 船多走了一个来回，所以s=，正确率达到46.2%。

卷面及测试后访谈反应：B 类学生还会对解题过程进行责疑并进一步加工。比如B 类学生这样问：“为什么一定是多走了一个来回？”如把vB改为每小时6 千米，此时，A 船走5 个来回，B 船走3 个来回，24 小时后刚好同时返回甲岛，此时A 船比B 船多走了两个来回。一般情况下应是：

②第二个问题多数学生用列时间表的方法做。B 类学生说：“如果两船同时到达过乙岛，那一定是12 小时后，但这时B 船不在乙岛”，这是反证法的思路，但学生不会表达。在老师指导下，整理出如下结果：

假设两船同时到达过乙岛，此时 2.4m=3n，也就是 4m=5n，这里m、n为奇数，这是不可能的，因此两船没有同时到达过乙岛。

（3）三角形重心的跨学科学习与探究（2018 年）

这是一次课堂上的探究：三角形的重心，力学与几何学的跨学科问题解决。力学知识主要是“悬挂线”方法找重心与质点间力的平衡概念，由此得出用力学方法确定重心与三角形三条中线交于一点相一致的结果，进一步还可以讨论三角形三条角平分线、三条高交于一点的问题，甚至涉及Ceva 定理的力学证明。学科之间的本质联系更加紧密了，解决问题就出现了别开生面的方法。例如，课堂上一道求等腰梯形重心的练习，如图23，AD=6，BC=12，EF=9，学生当堂就有多种解法：

图23 等腰梯形的重心

① 交点作图的方法

连结DF，平行四边形ABFD的重心为M1， △DFC的重心为M2。线段M1M2与中轴线EF的交点就是梯形重心M，如图23（a）。

② 力学平衡的方法

分别延长BA、CD相交于点G，GAD重心为M1， △GBC重心为M2，假设梯形ABCD重心为M，根据力的平衡概念列方程M1M2:M2M=3:1，可解得M2M=2，M的位置便可确定，如图23（b）。

③ 等价推理的方法

将梯形分割为三个全等的等腰三角形，它们的重心分别为M1、M2、M3， △M1M2M3的重心M就是整个梯形的重心，如图23（c）。

面对学生的不同做法，老师十分感慨地说：“学生出示的多种做法，连我都没有反应过来！”

（4）水葫芦繁殖的建模、评估与修正（2021 年）

这是一个真实的问题。江南水乡青浦有一种名为“水葫芦”的水生漂浮植物，这种植物繁殖力极强，生长一段时间就会覆盖大片水面，对环境、水上交通、人畜饮水安全和渔业生产效益造成了负面影响。为了了解水葫芦的繁衍规律，8 年级学生用刚学过的一次函数与折线图的知识去建立水葫芦繁殖的数学模型，结果得到了一条指数曲线：g=25.01×2.16t(g为植物量，25.01 为初始值，t为以10 天为单位的时间）。再把指数模型数据与实测数据相比较，发现到第3 个月出现很大误差；然后查阅文献，请教专业人员，寻找原因，并对模型作出多种修正。令人惊奇的是，有学生自己想出了使每个测试点误差绝对值总和最小的试误方法，这相当于所谓“最小一乘法”的思路。经历了这样的过程后，初中学生有了数学建模和修正模型的初步体验，为日后他们从事科学研究打下了数学建模的重要方法基础。

（五）找出关键教学行为

回顾如前所述的逆推过程：第一，通过测试数据的细化，取得A、B 两类学生完全不同的认知结果；通过实地调研，归纳了两类学生表现性特征的显著差别。第二，既有对B 类学生所在班级教学场景的实例考察，又有对A、B 两类学生测试反应的分析与比较，这是数据导引下的临床观察研究。就这样，通过一步步往回追索，从而选定有效提升学生探究水平的下列关键教学行为：

（1）高水平任务驱动的教学设计

① 遵循知识内在的层次与顺序，组织挑战性的教学任务；

② 适应不同学生的需求，预设个别化目标；

③ 营造宽松而有活力的求知状态，驱动专心投入的学习。

（2）思维精细加工的自主学习过程

① 尝试多种策略，激活先期经验并与探究性任务联结；

② 通过应用体验或知识同化，进行思维活动的精细加工；

③ 评估思维效应量，不断反馈并修正再加工学习。

（六）教研跟进，重视探究性学习

从领会到探究的改变，教研跟进必不可少。青浦实验曾根据江、浙、沪众多名师的个案分析，尤其是上海于漪老师“一篇课文三次备课，坚持三年，一定成为好教师”的经验，2004 年提出教师在职研修的“行动教育”范式（见图24）：三个关注（关注自我经验，关注新理念、新经验，关注学生是否真有收获）；三者之间树立两个反思支架（寻找自身与他人的差距，寻找设计与现实的差距），将其建立在以课例为载体的合作平台上。这样的循环往复，彰显了我国教研特有的组织文化和行动路线。

图24 行动教育范式

有学者提出过人际学习的知识共享模型，开发了两种关键技能：一是“公开自我”（暴露真问题的话语引导与分析）；二是“倾听与回应”（思考性吸纳和回应技能）。由于近年来发现学习、实作学习、项目学习等的兴起，面对这类高水平探究学习的教研实际，教师们常常处于大家都不甚明了的“公共问题区”，此时除了“知识共享（知与不知）”外，新的“教学行为共建（行与不行）”显得尤为重要。青浦实验归纳了如下两种关键技能：一是“问题聚焦”（探究目标的问题梳理与集中，形成“公共问题区”）；二是“设计与改进”（探究路径的设计和基于证据的循环改进技能），由此构成了人际学习的两种模型（见图25）。

图25 人际学习的两种模型

表3 是2015 年“无理数引入”课，从设计到改进，经过三次循环，最后取得让学生在“做数学”中学数学的效果，改变了学习的方式。

表3 视频分析为依据的循环改进（要点）

“教师成为有研究能力的实践者”是青浦实验在培养优秀教师方面的期许和追求。

（1）早期，我们对骨干教师提出课堂现场观察的要求，不放过每一堂课，即时即景，观察其中的利弊得失，思索改进的各种方法，从中锻炼教师的教学敏觉力，很有成效。但这种观察常受信息不全或遗忘的限制。

（2）1990 年代末，引入信息技术，先是录像带，后来是视频光盘，方法带来了研究的突破，多角度的全息记录，可以提取大量数据以供分析；回放、定格与“显微”，可以考察一瞬即逝的细微行为（包括语言、动作与表情）。教师“既是演员又是观众”的角色转变是最重要的一步，它使成就大批好教师有了便捷的途径，大家不妨试一试。

（3）如今，不少教师正在成为基于多种证据的“循环改进者”。这是因为视频分析大大扩展了证据的多样性：数据统计的资源空前丰富，事例分析的素材更为精致。教研过程中，有人可以据此作经验性的解释，理论工作者可以就此作理性的演绎。基于多种证据互相印证的循环改进，使“教师成为有研究能力的实践者”走上了一个新台阶。

该阶段的主要研究成果有：《行动教育—教师在职学习的范式革新》（2007）；《口述教改—地区实验或研究纪事》（2014）。