最值问题求解攻略

宋扬

【摘  要】最大值和最小值统称最值。最值问题历来都是热点所在，不仅有着很大的实用价值，而且具有重要的理论研究价值。本文结合大单元主题教学实践，通过若干典型实例，阐释了求解最值的常用方法、技巧和策略。同时，试图以此作为大单元主题教学的示范，让核心素养在学科教学中深度融合、充分显现，有力推动“双减”目标在学科教学中落实落细，真正达到减负增效。

【关键词】最值;常用方法;类型对策;重要节点;举一反三

在社会生活和生产实践中，时常会遇到“最值”问题。比如，怎样确定最佳方案，使成本最低、产值最高、花费最少、获利最大等。这类问题转化为数学问题，往往归结为求某个解析式（含代数式），或某个函数，或某个有约束条件的数学表达式的最值。求解最值的途径是各种各样的，可谓不拘一格。出于大单元主题教学的需要，现将常用的初等方法、类型对策、重要节点等整理如下。可以看到，所体现出来的数学思想和数学方法是多姿多彩的。

一、配方法

例1 设x>0，求函数y=x2+3x+的最小值.

解：y=（x2-2x+1）+5（x+-2）+9

=（x-1）2+5（-）2+9≥9，

又易知当x=1时，y=9，所以y的最小值为9。

类型对策：凡能配成若干个完全平方式与一个常数之和的形式，通常优先使用配方法。

重要节点：配方时，要特别注意验证取最值的条件是否成立，否则可能会出错。本例如果配成y=（x-1）2+5（+）2-11的形式，就得不到正确答案。

举一反三：设x为正数，求代数式x2+x+的最小值。

二、数形结合法

例2 已知-1≤x≤3，求函数y=-x2-3x+的最值。

解：y=-（x2+6x+9）+7=-（x+3）2+7，

据此顶点式，描出二次函数的图像（示意图，略）。

由于-1≤x≤3，观察图像并经计算易得：

当x=-1时，ymax=5;当x=3时，ymin=-11。

类型对策：二次函数在某一有限区间上（内）的最值，通常先将二次函数通过配方化为顶点式，然后描出其图像（示意图），再考察图像，并作相关数值计算，就能得到结果。

重要节点：应在函数的定义域内考察其图像，不可粗枝大叶。

举一反三：求函数y=-x2-3x+在区间[-5，3）上的最值。

【注】数形结合法有三种基本类型：（1）利用函数图像，如本例;（2）将代数问题用构造法转化为几何问题;（3）将几何图形问题转化为代数问题。

三、判别式法

例3 求分式的最值。

解：令y=原式，将此表达式变形，整理成关于x的一元二次方程，得（y-6）x2+（2y-12）x+2y-10=0。①

当y-6≠0时，即y≠6，方程①有实根的充要条件是根的判别式△=（2y-12）2-4（y-6）（2y-10）≥0，即（y-4）（y-6）≤0，解得4≤y≤6;

当y-6=0，即y=6时，方程①无解，可知y≠6。

综上可得4≤y≤6。

又反代入易知x=-1，y=4。所以原分式的最小值为4，但没有最大值。

类型对策：形如的最值，通常可以考虑将它转化为关于x的一元二次方程，运用根的判别式来求得。

重要节点：（1）对二次项系数等于零、不等于零两种情况要分别讨论，然后综合。（2）此法也有失效的情况，比如其定义域为某个有限区间的情形，运用判别式法可能行不通，须另寻他法。

四、不等式法（运用不等式性质）

仍以例3为题，思路点睛：原式=6- ，

由于（x+1）2+1≥1，根据不等式性质逐步推导而求得。

五、不等式法（利用基本不等式）

例4 若x>0，求y=++的最小值。

解：y=++≥2··+2·=4，

又有当=且=，即x=1时，y=4。所以ymin=4。

类型对策：针对题目的特征（特点），选用相宜的基本不等式.

重要节点：本题利用了基本不等式a+b≥2·（a≥0，b≥0）。

六、增减性法（利用函数的单调性）

例5 求y=++的最值。

解：先确定函数的定义域（自变量的取值范围），

由不等式组x+1≥0，x≥0，x-3≥0，解得x≥3。

经观察函数的表达式知，y在其定义域内单调增加，所以y无最大值;当x=3时，ymin=2+。

例6 求函数f（x）=-的最值。

解：先求定义域，由不等式组8x-x2≥0，14x-x2-48≥0，解得6≤x≤8。

于是有f（x）=（-）=，x∈[6，8].

在定义域内，当x增加时，f（x）的分母单调增加，且分子单调减少，从而f（x）是减函数。

所以fmax（x）=f（6）=2;fmin（x）=f（8）=0。

类型对策：一次函数是单调的;二次函数以顶点为界，最多分成两段，各自单调;某一类函数经观察易知是单调的;某一类函数经适当变形后可知是单调的或分段单调的。

重要节点：通常先确定函数的定义域，一元函数的定义域有时也称为定义区间，闭区间上单调函数的最值，必在区间的端点处取得。

【注】例6运用了“分子有理化”的技巧，将因子（-）作了“有理化”處理。

七、换元法

例7 求函数y=x-的最值。

解：令=t（t≥0，x≤），则x=（1-t2），

于是有y=（1-t2）-t=-（t+1）2+1。

结合二次函数的图像（注意到t≥0），观察并计算可得：

当t=0，即x=时，ymax=;y无最小值。

类型对策：形如y=ax+b+的函数，一般可用换元法将问题转化为二次函数.使用换元法的场景还有很多，其数学思想是化无理式为有理式，化分式为整式，化复杂式子为简单式子，从而有利于问题的解决。

重要节点：考察函数的定义域（包括换元后的定义域），还是很有必要的。

八、消元法

例8 已知x2+4y2=4x，求z=x2+y2的最值。

解：由条件得y2=x-x2，代入消元可得：

z=x2+（x-x2）=x2+x=（x+2）2-1。

由于y2≥0，则x-x2≥0，解之得0≤x≤4，此即为上述函数z的定义域。

画出二次函数z的图像（草图，略），观察之（注意到x=-2不在定义域内），并作相应的数值计算可得：

当x=0时，zmin=0;当x=4时，zmax=8。

類型对策：对于有条件等式的多元函数，往往采用消元法，将其转化为一元函数。

重要节点：要能依据约束条件，求出函数的定义域，这是解题过程中的一个重要组成部分，不可或缺。

举一反三：设x2+4y2=4x，求u=x2-y2的最值。

九、参数法

例9 已知x、y均为正实数，且x+y=1，求1+++的最小值。

解：由已知条件，可令x=sin2α，y=cos2α（α为锐角），则有1+++=（1+）（1+）=·=（2+）（2+）=5+2（

）2+（

）2≥5+2·2··=9，

又易知，当时x=y=，1+++=9，所以所求最小值为9。

重要节点：往往依照题设条件的特征，选用合适的参数，有一定的规律可循。

【注】本例解题过程中利用了基本不等式A2+B2≥2AB，当且仅当A=B时，等号成立。

十、构造法（构建相应的几何图形）

例10 设x、y均为正数，且满足x+y=8，求+的最小值。

解：构建以x、1以及y、5为直角边的两个直角三角形，并拼接成一个大直角三角形（图略），即Rt△ABC。

本题所求，就是求两条线段（长度）PA与PB之和的最小值。

根据题设条件，有+=PA+PB≥AB====10，

当且仅当点P在线段AB上时等号成立。此时利用相似比，有=，易得x=，y=。因此，所求最小值为10。

类型对策：构造法除了上述构图法，另有构建函数、构建坐标系、构造方程（多见于一元二次方程）等手段技巧。

【注】例10也可说是数形结合法的一种类型，将代数最值问题转化为几何问题加以解决。

求解最值问题，可采用的方法还有很多，诸如倒数法、主元法、坐标法、方差法、微分法等，及其几种方法的综合运用.因篇幅所限，不宜赘述。

重要节点：（1）就函数而言，无论用什么方法求最值，都要检查在其定义域内，是否存在相应的自变量的值，使函数在该处取得最值。一般来说，就是验证取最值的条件是否成立。（2）但凡求最值，不言而喻，所有变量都在实数范围内。

【参考文献】

[1]葛军.简单分式函数的最值，奥数教程（九年级）[M].上海：华东师范大学出版社，2018.