一题多解 一题多变

杨宪伟

摘 要：含参函数压轴问题是高考的重点，也是学生学习的难点.本文以一道试题的多解和多变为例，浅析高考试题中含参函数压轴问题的处理策略.

关键词：含参函数;一题多解;一题多变;深度学习

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0037-03

《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）提出，高中数学课程要以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养.通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）;提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）.数学解题教学就是落实“四基”“四能”的重要过程，教师要积极开展一题多解和一题多变活动，引导学生自主探究、克服弱点、攻破难点、解决疑点，总结分析问题、解决问题的策略.

1典例分析

例1 已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，求a的值.

策略1 设切点，方程思想.

设切点的横坐标为m，则

m+1=ln（m+a）.①

又因为y′=1x+a，所以k=1m+a=1.

即m+a=1.代入①式，得m+1=0.

所以m=-1，a=2.

点评 本法涉及的知识是必须掌握的基础知识，蕴含的是解决此类问题的基本方法和基本思想，是变式引申的基础和铺垫.

策略2 借图象，几何直观.

曲线y=lnx在（1，0）处的切线为y=x-1，所以直线y=x+1与曲线y=ln（x+2）相切.故a=2.

点评 本法从熟悉的一个知识结合函数图象平移快速解决问题，是必需积累的基本活动经验.

2变式引申

变式1 已知函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（   ）.

A.（-∞，0）   B.（0，12）

C.（0，1）D.（0，+∞）

策略3 半分离，数形结合.

因为函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，

所以f ′（x）=lnx-2ax+1=0至少有两个解.

即方程lnx=2ax-1至少有两个解.

故函数y=lnx和y=2ax-1的图象有两个交点.

图1

直线y=x-1与曲线y=lnx相切，结合图1可知：0<2a<1.

即0

点评 本法的主要策略就是分而治之，数形结合，这也是常见的处理含参问题的一种方法，我们称之为“半分离，数形结合”.

策略4 不分离，分类讨论.

令g（x）=lnx-2ax+1，则g′（x）=-2ax+1x.

①当a≤0时，g′（x）>0在（0，+∞）恒成立，f ′（x）=lnx-2ax+1在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点，故不满足条件;

②当a>0，00;

当x>12a时，g′（x）<0.

所以g（x）在（0，12a）上单调递增，在（12a，+∞）上单调递减.

所以g（12a）=ln12a>0.

即12a>1.

所以0

策略5 求值域，极限说明.

作为选择题，可以确定选B，但如果是解答题，必须保证图象是图2这样才可以，即函数两侧的图象必须在x轴的下方

.事实上，当x→0时，g（x）→-∞;当x→+∞时，g（x）→-∞，故0

图2

策略6 要证明，严谨找点.

如果作为解答题，要避开极限，可以找点用零点的存在性定理严谨证明.

1e∈（0，12a），g（1e）=-12a<0，1a2∈（12a，+∞），g（1a2）=2ln1a-2a+1≤2（1a-1）-2a+1=-1<0（用到了常见的对數放缩lnx≤x-1，书写步骤时需要证明），故0

点评 本法也是常见的处理含参问题的一种方法，我们称之为“不分离，分类讨论”.若作为解答题，可以用极限思想解决问题，也可以通过找点用零点的存在性定理严格证明，但找点难度比较大，选取的时候要兼顾函数值计算简单和满足要求这两条，有时甚至需要借助指对放缩加以说明.

策略7 全分离，研究函数.

lnx-2ax+1=0，即a=lnx+12x.

令h（x）=lnx+12x，则h′（x）=-lnx2x2.

当00;当x>1时，h′（x）<0.所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.

由h（1e）=0，当x>1e时，h（x）>0，可以画出h（x）的大致图象（图3），h（1）=12，所以得到0

图3

策略8 遇困难，适当放缩.

和刚刚面临的情况一样，0

易证lnx≤x-1，所以lnx≤x-1.

即lnx≤2x-2.

故当x>1时，h（x）=lnx+12x≤2x-12x<12x.

故对于任意的0

点评 这种方法主体是“全分离，研究函数”，若作为解答题，必须要继续严谨证明.但是端点的函数值不确定时可以用极限或洛必达法则说明.事实上，函数y=lnx+1的增长速度比函数y=2x的增长速度慢，所以x→+∞时，h（x）→0.若要避开极限和洛必达法则，可以通过放缩，转化为熟悉函数.

变式2 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x1，x2（x1

A.f（x1）>0，f（x2）>-12

B.f（x1）<0，f（x2）<-12

C.f（x1）>0，f（x2）<-12

D.f（x1）<0，f（x2）>-12

策略9 隐零点，整体代换.

易知：01.

所以f（x1）=x1（lnx1-ax1）<0.

而x2是方程lnx-2ax+1=0的解，

所以lnx2-2ax2+1=0.

即ax2=lnx2+12.

所以f（x2）=x2（lnx2-ax2）=

x2（lnx2-1）2.

令φ（x）=x（lnx-1）2（x>1），则

φ′（x）=lnx2>0.

所以φ（x）在（1，+∞）上单调递增.

而x2>1，故f（x2）=φ（x2）>φ（1）=-12，故选D.

点评 本题中不能准确求出x2，但却满足恒等式，也就是说x2从理论上讲是确定的，我们称之为“隐零点”，处理这种问题的主要手段就是整体代入消元转化为一元函数求解，我们把这个过程称为“隐零点代换”.

策略10 用导数，整体代换.

由变式1可得：当x∈（x1，x2）时，f ′（x）>0，所以f（x）在（x1，x2）上单调递增.

而x1<1又因為0

故f（x1）<0，f（x2）>-12.

以上十种含参函数问题的解题策略中蕴含着的正是解决该类问题的基本方法和基本思想.在解题教学中，我们不仅要关注基础知识和基本技能，更要关注基本思想的渗透和基本活动经验的积累，要注重培养学生高阶思维，提升学生综合能力，帮助学生把握数学本质，发展核心素养.

参考文献：

[1]

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[责任编辑：李 璟]