对一道解三角形题的探究与思考

叶洪清

摘 要：本文通过一道高考数学模拟题，揭示平时学生在学习过程中的易错点，从而有效激发学生的学习兴趣，优化学生的思维，提高创新意识和解题能力，为新高考做好准备.

关键词：三角函数;正余弦定理;数学思维;新高考

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0033-04

三角函数与解三角形是高考重点内容之一，也是学生较容易取得满分的题型，但是笔者在一次参与高三数学联考的阅卷过程中，发现较多学生对解三角形的大题束手无策，阅卷过程中也出现了较多的空白卷，针对该题的低得分率，本文作出了一些思考，现做简要分析.

1 试题呈现

例1 （浙江省新高考联考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cosC=14，a2=b2+12c2.

（1）求sin（A-B）的值;

（2）若c=10，求a和b.

试题分析 本题主要考查学生分析问题与解决问题的能力以及对基础知识的综合运用能力，极大程度上考查了学生的思维能力以及运算能力. 大部分考生对第（1）小题感到束手无策，觉得跟平时的解三角形题型不一样，因此导致该题的得分偏低，但在阅卷过程中也出现了一些解题的亮点，但这些亮点仅仅是来自于平时数学成绩优异的学生.

2 课堂论解

解法1 由正余弦定理与a2=b2+12c2，可得

cosB=a2+c2-b22ac=3c4a=3sinC4sinA.

结合cosC=14，可得cosBsinA=31516.①

同理可得

cosA=b2+c2-a22bc=c4b=sinC4sinB.

所以cosAsinB=1516.②

由①②，得

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=158.

解法2 由条件cosC=14与余弦定理推论，可得

a2+b2-c2=ab2.

再结合a2=b2+12c2，可得2a2+ab-6b2=0.

从而得到2a=3b，103a=c.

所以cosA=108，cosB=104.

所以sinA=368，sinB=64.

所以sin（A-B）=158.

点评 解法1与解法2都可以得到第（1）小题的正确答案，但是对学生的思维能力要求较高，而且运算过程较为繁琐，只有具备较强的运算能力和逻辑推理能力才能得出正确答案.特别是解法2，先求得边长之间的关系，然后再运用同角三角函数关系式求解正余弦值，计算量就会变得很大. 而考卷中给出的正解如下：

解法3 在△ABC中， 因为a2=b2+12c2，所以sin2A=sin2B+12sin2C .

即sin2A-sin2B=1532.

从而1-cos2A2-1-cos2B2=1532.

即cos2B-cos2A=1516.

所以cos[（A+B）-（A-B）]-cos[（A+B）+（A-B）]=1516.

從而2sin（A+B）sin（A-B）=1516.即2sinCsin（A-B）=1516.

又cosC=14，从而sin（A-B）=158.

点评 解法3先采用正弦定理进行边化弦，采用倍角公式变形逆用进行降次，再进行配角，然后用两角和的余弦公式展开化简，最后进行求值，该解法过程非常顺畅，对公式的应用也比较自然.

为何学生给出的解题过程与标准答案大相径庭？是因为题型偏离了常规的命题意途？还是学生缺少这种解决新问题的能力？还是学生并没有掌握课堂上的所学知识？我们再来看一个错解：

错解 由两角和的正弦公式和余弦定理可得，

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

=a·a2+c2-b22ac-b·b2+c2-a22bc=a2-b2c.

注意到a2=b2+12c2，从而sin（A-B）=c2.

又因为cosC=14，从而求得sinC=154.

所以sin（A-B）=158.

点评 该解题结果虽然是正确的，但是解题过程是错误的，而且错的非常明显，学生主要是对于正弦定理认识不足，直接将弦与边等同起来，这也是大多数学生在平时运用正弦定理时容易犯的错误，但为何该解题过程得到了正确的答案？我们是否可以对该解题过程稍加修饰来获得正确的答案呢？答案是肯定的.

解法4 由asinA=bsinB=csinC=k，可得

sinA=ak，sinB=bk，sinC=ck.

则sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

=ak·a2+c2-b22ac-bk·b2+c2-a22bc

=a2-b2kc.

又因为a2=b2+12c2，

从而sin（A-B）=c2k=12sinC=158.从以上错解中可以看出学生对基础知识应用的条件不够熟悉，只有等式两边都含有弦（边）的时候才能通过正弦定理直接化为边（弦），教师在正弦定理的应用教学中应该引入常数，让学生自身去阅读并领悟正弦定理所能应用的条件与情景，亲身体验新知识的接受过程，让学生知其然，知其所以然. 事实上，学生的创造力是无穷的，我们教师在从教过程中也应该时刻满足学生的好奇心，帮助示范引导，千万不要直观地否定学生的解答，尽量放慢课堂教学步伐，倾听学生的奇思妙想，引导学生选择不同的方法去解决各种新颖问题，并学会在不同方法的比较中领悟各种方法的本质以及适用的情境，从而突破解题瓶颈，达到灵活解题的目的.

其实，该试题命题者的本意在于考查学生对于正弦定理以及二倍角公式的运用，也考查学生的逆向思维能力和整体思维能力，但从学生解题的角度来看，学生更加倾向于运用余弦定理，因为题目中给出了条件a2=b2+12c2，形式恰好与余弦定理的形式相似，这与学生平时解题时形成的思维定势有关，因此在平时教学中应该渗透数学思想与解题方法的应用. 另外，学生得分率偏低的原因也在于对求解sin（A-B）的题型感到陌生，一般的思路就是展开后分别求解正弦与余弦值（解法2），再代入求得原式的值，但由于本题的计算量偏大导致学生望而生畏，苦思冥想没结果后最终选择放弃. 而在平时的课堂教学中，教师不可能将所有千变万化的高考题类型囊括在一起，更不可能在短短的一节课上讲授所有高考难点，但是高考题万变不离其宗，在讲解高考知识点的同时，应当回归课本教材，将考点与课本知识相融合，让学生在理解基础知识点的前提上，掌握其运用的前提与要求，加深对基础知识的理解，掌握知识的全面性以及运用的灵活性，以促使学生形成综合性的知识体系，提升学生对知识的敏感性，从而让学生对所学知识点产生更加深刻的印象.

针对以上问题，笔者在讲解该题时除了给出以上解法外，还指出了学生在解题过程中需要避免的问题，而让笔者感到意外的是，学生通过比较条件，提出这么一个问题：是否有sin2A-sin2B=sin（A-B）sin（A+B）成立？如果等式成立，怎么证明？面对学生提出的这一奇怪结论，本人并没有直接否定，而是引导学生思考，从刚才的解答过程与方法中寻找所要证明的元素，动员学生积极思考，运用已有的知识进行论证，因此结论成立是肯定的，证明过程只需运用二倍角公式以及参照解法3的步骤就可以得到此结论（此处省略），而且也为了让学生加深对这一公式的记忆，证明过程由学生自己独立完成，这也体现了学生的奇思妙想与惊人的创造力，敢于大胆猜想 ，积极尝试.

在解答该高考题第（2）小问的过程中，我们不难发现，第（2）小问的解答方法比第（1）小问来得简单，只需将所给条件c=10代入a2=b2+12c2，并用余弦定理结合cosC=14，联立方程组就可以得到a和b的解，因此很多数学学习能力中等甚至偏下的学生都能获得该小题的分数，反而那些中等偏上的学生却因为对第（1）小问感到束手无策的同时也直接放弃了第（2）小问，后来笔者对这些学生都做了一些询问，原来中等偏上的学生对整个大题产生了思维定势，而中等偏下的学生抱着试试看的心态，观察发现第（1）问与第（2）问没有直接联系，就放弃了第（1）小问，直接解答第（2）问，这也不失为好路径，好心态！记得有一年的高考題，出题者故意打乱难易题目的顺序，将难题放置于前，简单题置后，考完后心态好的考生取得了好成绩，心态不好的自然就没能取得理想的成绩，在2018年的浙江省数学高考试卷中，出题者一反常态，将最基本的三角函数基础知识考于第一大题，而将数列压轴改为函数压轴，这给那些平时专攻数列压轴题的优等考生来了个措手不及，而对于那些平时心态好的考生自然而然就能取得良好的高考成绩了.

为加深学生对本节课所学知识的掌握程度，让学生能够将数学知识内容及其形态内化为认知经验，使新旧认知充分碰撞，使所获得的新认知具有心理意义，从而进一步提升学生的数学思维素养，提升解题的驱动力和数学学科的综合素养，笔者给出了如下试题以供学生练习.

例2 （1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足（a2-b2）sin（A+B）=（a2+b2）sin（A-B），试判断△ABC的形状.

（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2sin（A-B）=asinA-bsinB，a≠b.

（1）求边c;

（2）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值.

3 解题反思

在对题目进行求解之后，我们应该让学生进行自我解题反思，特别是进行实践基础上的理性反思，反思如何发现问题以及采取什么方法去解决问题，反思这其中运用了哪些基本的思想方法和技能技巧以及会发生怎样的错误和原因，而在给学生平时的试题训练中，也应当立足通性通法的考查，讲究题型新颖，重在本质，以此来区分学生的数学核心素养，尽量给学生以“眼前一亮，焕然一新”的感觉.浙江省近几年的数学高考命题设计大致也是从数学问题本身出发，构造含朴实的素材和丰富内蕴的试题，充分体现了数学的内在本质与现实背景，回归教材，坚持出基础题，考灵活题，突出对考生综合能力的考查. 因此，我们教师的教学需要合理定位，立足教材，精选习题，在平时数学教学中充分认识学生的个体水平差异性，让每位学生主动学自己的数学，正确应对每位学生的学习要求，给予学生充足的思考求解时间，准确定位高考目标，强调对运算能力和思维能力的培养，让学生形成良好的思维品质，同时，在平时的课堂训练与高考模拟中，也应该强调心态的重要性， 让学生学会调整心态，从而应对纷繁复杂的高考试题.

4 感悟小结

新高考的改革对我们数学教师也提出了新的要求，特别是在平时的教学中，教师应当注重知识与发展的过程，通过一题多解，帮助学生理清知识的发展逻辑和知识网络结构，通过变式拓展领悟知识的发生和发展规律，每一位数学教师都应该深入钻研教材编排的意图，研究教材中教学目标与教学内容，进而确定相应的教学方法和教学策略，提升自己的思想修养、文化素养和专业技能，加强数学知识发展的延续性与连贯性，突出知识点之间本身存在的内在联系，增强数学教学的本质，关注概念的理解和运用，有意识地启发学生多角度思考问题，引导学生学会比较方法的繁简，培养学生透过现象看本质的眼光，拓展学生的数学理性思维，引导学生学会自主探究、自主钻研，提升学生分析问题的能力以及解决问题的能力，帮助建立良好的认知结构，充分实现知识与能力的结合，让学生理解数学知识的本质，积累数学思想和实践的基本活动经验，形成良好的数学学科核心素养.

参考文献：

[1] 郑日峰.特色依然 再现波澜[J].中学教研（数学），2016（8）：32-36.

[2] 华显楠.关于两角和差的三角函数教学中的一个问题[J].数学教学，1992（02）：17-19.

[3] 伍春兰，许文军.论学生思维参与的数学公式教学：以“三角恒等变换”起始课为例[J].数学通报，2020（59）：38-42.

[4] 余建国.三谈好的解题教学应“四有”：以“正弦定理、余弦定理的应用”复习课为例[J].中学教研，2019（10）：1-4.

[责任编辑：李 璟]