基于蚁群算法的子阵级自适应多波束形成

张忠民，李蔚然

哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院, 黑龙江 哈尔滨 150001

现代雷达阵列信号处理中，可以采用大型阵列获取雷达远距离作用等高性能要求，在获得良好的性能同时，庞大的阵元数量必然会导致硬件复杂度和软件计算负担的提高[1]。近些年在雷达和通信领域的研究中，数字多通道的成本随着数字化技术的发展得到大幅降低，数字多波束形成技术引起广泛关注，雷达阵列通过形成多个波束同时接收来自不同方向的信号或实现不同功能，能够有效缩短雷达信号搜索周期，提高接收数据率[2−3]。子阵级的数字波束形成技术通过选择合适的算法，确定子阵划分方案，将每个子阵视为1个数字通道，在子阵级进行自适应阵列处理形成多波束，通过这一思想在减小整体计算量的同时加快了收敛速度，也降低了系统硬件成本和软件复杂度，有利于工程实现和调试[4−5]。选择合适的算法进行子阵划分后，结合子阵级的自适应波束形成，可以实现波束方向图逼近最优阵列处理的优化效果[6]。

在常规的子阵划分中，可以将阵列均匀划分为阵元个数和排列方案相同的多个子阵，自适应处理的维数从阵元级下降到子阵级，加快了算法收敛速度。但是，子阵级的数字波束形成会显著增加方向图的峰值旁瓣电平，影响静态方向图性能，而且子阵数量的增多会导致阵列相位中心距离增大，从而造成严重的栅瓣，影响阵列天线方向图的性能。另外，子阵中包含的阵元数量也会限制天线波束的扫描范围。因此，子阵数量以及子阵划分结构需要在软件计算复杂度和波束方向图期望性能之间折中，研究阵列的子阵划分优化以及自适应波束形成具有重大意义。

针对子阵级波束形成中的栅瓣和高副瓣问题，采用重叠子阵、规则不重叠子阵和不规则不重叠子阵等子阵结构，可以消除扫描中的量化瓣[7]，通过某一有效算法解决子阵划分方案，在子阵划分确定情况下，按照期望方向图优化目标求解最优权即可得到最优波束性能。Nickel[8−9]提出了基于锥削函数量化的子阵结构划分原则，确定子阵结构后求解子阵级最优加权，并对子阵级的信号处理进行深入研究。Manica等[10]对目标函数及子阵划分进行分析，基于激励匹配准则，提出了邻接划分方法（contiguous partition method，CPM），能够高效求解最优子阵划分问题。基于群体智能优化算法，Wang[11]利用遗传算法提出了地震台阵列的子阵划分方案，高效搜索求解子阵数量，与阵元级波束形成相比得到了更优的波束性能，并且基于最优子阵结构的波束形成算法可以使信噪比 （ signal-to-noise ratio, SNR） 进 一 步 增 强 。Xiong[12]、Yang等[13]基于非重叠的子阵结构，将子阵划分问题作为聚类问题，利用聚类算法求解子阵划分方案。郑小雨等[14]根据子阵划分方案和子阵级加权矢量对阵列波束方向图的性能影响，基于粒子群算法将子阵划分方式和子阵级权矢量进行联合优化。随着近些年不断深入的研究，基于子阵级的波束优化方法已经扩展到了面阵的优化[15]，乃至多波束的优化[16]。

本文构建了子阵级自适应阵列模型，研究了蚁群优化算法的基本原理及实现过程，利用该算法搜索确定子阵划分位置，以波束方向图的峰值旁瓣电平为优化目标得到最优子阵划分方案；然后在子阵级进行自适应处理得到多波束方向图；最后，将本算法获得方向图的波束性能与阵元级和均匀划分方式下的子阵级多波束方向图性能进行了仿真对比分析。与现存研究相比，将最优子阵划分方案与多波束形成相结合，解决了大型阵列多波束形成问题中硬件复杂度高等问题，为天线系统的工程实现提供了一种可行的方法。

1 子阵级自适应阵列模型

1.1 LCMV 自适应多波束形成

在阵列信号处理领域，空域滤波需要在期望信号和干扰信号的方向上分别形成主瓣波束和零陷，实现接收期望信号的同时抑制干扰信号，线性约束最小方差准则广泛应用于自适应多波束形成[17]，对输入信号进行处理后自适应地调整阵列加权矢量，从而使波束图实现自适应地调整多个波束指向和零陷方向。

假设天线阵列为均匀线阵，阵元数量为N，接收信号表示为x(n)(n=1,2,···,N)，阵元加权矢量表示为w=[w1,w2,···,wN]，波束形成的本质可以理解为1个相加器，那么空域滤波器输出可以表示为N个阵元输出的线性组合[18]：

则波束形成器的平均输出功率为

式中R=E[x(n)xH(n)]为接收信号的空间相关矩阵。

利用LCMV准则形成多波束方向图能够实现同 时在L个 期 望 信号方向 θr,l(l=1,2,···,L)形 成对应的多个波束，并在预先已知的P个干扰信号方向θc,p(p=1,2,···,P)形成零陷，抑制干扰。LCMV算法的原理就是在满足期望方向信号无失真通过空域滤波器的条件下，计算使输出信号的平均功率P(θ)最小的加权矢量w，可以表示为如下数学形式：

式 中 ：C=[a(θr,1),a(θr,2),···,a(θr,L),a(θc,1),a(θc,2),···,a(θc,P)]，为由L+P个导向矢量组成的集合，其中a(θr,l)和a(θc,p)分别为期望信号方向 θr,l和干扰信号方向 θc,p的 导向矢量；f=[1,1,···,1,0,0,···,0]T，为约束响应向量。对式(1)进行求解，即可得到LCMV波束形成器的最优权向量：

应用上述算法能够实现在多个方向形成波束，接收来自期望方向 θr,l的多个信号，同时形成零陷，抑制来自 θc,p方向的干扰。

1.2 子阵级自适应阵列处理

在大型阵列中采用阵元级的完全自适应波束形成，硬件设备量和软件运算量很大，同时会影响算法的收敛速度。为解决这一问题，多采用自适应阵列降维的处理方式，子阵级加权是降维自适应处理的主要方式[19]。子阵级自适应阵列结构如图1所示。

图1 子阵级自适应阵列结构示意

基于合适的算法，将阵列的N个阵元划分为M个子阵，以子阵为单位计算自适应权值进行多波束形成。为了设计最优子阵划分方案，利用子阵变换矩阵表示法，将子阵结构抽象为数学模型，阵元级的幅度加权通常由衰减器提供，表示为wele=diag(wele_n)n=1,2,···,N，相位加权通常由移相器提 供 ， 表 示 为用一个N×M维的子阵变换矩阵T表示子阵划分：

定义T0为子阵形成矩阵，它是一个N×M维的整数矩阵，可以表示为

矩阵中元素值只取0或1，当且仅当第i个阵元被划分到第j个子阵时，有子阵形成系数T0[i,j]=1，否则T0[i,j]=0。

基于以上的子阵划分，子阵级的接收信号可以表示为

式中m=1,2,···,M，约束矩阵可以表示为

则子阵级接收信号的空间相关矩阵可以表示为

子阵级的加权可以对干扰信号进行自适应抑制， 应用1.1节所研究的LCMV准则进行计算，可以推导出子阵级自适应加权向量：

2 基于蚁群优化的子阵划分算法

2.1 基本蚁群算法及其流程

蚁群优化（ant colony optimization, ACO）是一种基于群体的启发式随机搜索算法，能够通过模拟蚂蚁种群的寻径行为完成搜索。在行进路径中，蚂蚁能够留下并感知一种信息素用于信息传递，并依据此选择下一目的地，路径上的信息素会随着经过蚂蚁数量的增多而增多，这一优质路径被其他蚂蚁选择的概率就越高[20]。蚁群算法是一种正反馈算法，具有全局搜索能力，这是由于其搜索机制是在问题解空间的多个点同时且独立地进行搜索，有效提高了算法的鲁棒性和可靠性。

基本蚁群算法的流程如下：首先进行初始化，假设有K只蚂蚁，通过在S座城市中随机选择确定每只蚂蚁的禁忌表tabu中第1个元素， 在t时刻，城市i到 城市j路径上的信息素表示为 τij(t)，各路径上的初始信息素均设为 τij(0)=c（c为较小常数）。路径上的信息素随着蚂蚁的经过累积增多，影响每只蚂蚁选择下一目的地的概率，在时刻t，蚂蚁k(k=1,2,···,K)从城市i选 择到城市j的概率为

式中： ηij(t)为启发因子，表示t时刻蚂蚁k从城市i到城市j的期望程度；α和 β为按照相对重要程度确定的加权因子。蚂蚁k允许选择的下一城市集合用Jk(i)={1,2,···,S}−tabuk表示，禁忌表 ta buk记录了蚂蚁k走过的城市，当 ta buk中记录了所有城市，即表示蚂蚁k已经完成了一次周游，此时蚂蚁k的路径便是一个可行解。

当所有蚂蚁完成1次周游后，更新信息素：

式中： 1 −ρ(0<ρ<1)表示在蒸发机制下信息素的持久性；当蚂蚁k从城市i转 移到城市j时， ∆ τij表示其本次遗留的信息素。

式中：Lk为蚂蚁k经历的城市间距离，Q为信息素的增强因子。

2.2 基于蚁群算法的子阵划分方案

阵列的子阵划分方案属于1个组合优化问题，可以用蚁群优化算法进行高效求解。基于蚁群优化算法搜索子阵划分点，寻找满足最优目标函数值的子阵划分结构。为了减少算法搜索的数据量，假设将1个N元的均匀直线阵列划分为M个子阵，考虑以中心为原点对称的子阵结构，利用蚁群算法对阵列的一半进行划分，得到优化的子阵结构后使阵列的另外一半保持对称，减少搜索量和计算时间。

对N/2个阵元构成的半个阵列进行子阵划分，构建问题解空间如图2所示，将各个阵元的间隔，即备选分隔点记为 1,2,···,N/2−1，作为解空间的行标，将N/2−1个备选分隔点重复排列M/2−1列作为解空间的级数，那么从M/2−1级中各选择一个备选分隔点，即可构成解空间的1个解，从而构建出可行的目标解空间，利用蚁群优化算法即可搜索出该解空间的最优解。

图2 解空间示意

基于蚁群算法的子阵划分方案步骤如下：

1）设置最大迭代次数Imax， 令I=1并进行算法参数的初始化。

2）将蚂蚁全部随机放置在解空间矩阵第1级（第1列）的N/2−1个备选分隔点上。

3）每只蚂蚁基于转移概率pmn选择下一级的分隔点，走遍M/2−1个分隔点的同时保证在同一路径中不选择重复的分隔点即为完成一次周游。蚂蚁选择下一分割点的概率与点间路径长度无关，当蚂蚁在第m级时，其选择第n个分隔点的转移概率为

4）记录每只蚂蚁在每一级中选择的分隔点，并将每一级中分隔点从小到大排序，即可通过相邻分隔点相减得到每个子阵的阵元数，再根据阵列的对称关系求出N阵元划分为M个子阵的划分结果。然后，计算每一级子阵划分方案对应的目标函数并搜索记录使目标函数值达到最优的子阵划分方案。最后，对每只蚂蚁遗留在路径的信息素进行计算，即

式中：Q为信息素的增强因子，ρ为信息素的挥发因子；fk为蚂蚁k所选路径对应的最优目标函数值，根据本文的研究目的，选择波束方向图的峰值旁瓣电平值作为优化目标；α为信息素释放与目标函数值的关联性系数。

5）令I=I+1，当I达到最大值Imax时，停止迭代并输出最优方案及目标函数值，否则清空解空间禁忌表，跳转步骤2。

蚁群子阵划分程序结构流程如图3所示。

图3 蚁群子阵划分程序结构流程

3 仿真结果与分析

为了验证所提算法的有效性。做如下MATLAB仿真，对阵列波束方向图和最高旁瓣性能进行计算和观察。设天线阵列结构为均匀直线阵列，分别基于32元和128元的全向天线阵列进行仿真，阵元间距d=λ/2，阵列被划分成8个子阵。假设接收信号均为窄带信号，通道噪声为窄带高斯白噪声，信噪比为 0 dB，干噪比为 50 dB，信号、干扰与噪声间相互独立，期望信号方向分别为−30°、0°、20°，干扰信号方向为 60°。根据蚁群子阵划分程序结构流程，将优化参数设置如下：设蚂蚁个数为50，最大迭代次数为100，信息素增加强度系数为2，信息素蒸发系数 ρ =0.6，优化目标函数为波束方向图的峰值旁瓣电平，信息素释放与目标函数值的重要程度参数为7。

子阵级自适应多波束形成采用LCMV算法计算出子阵的对应权值，32元与128元阵列的最优子阵划分结果及子阵对应加权矢量由表1和表2给出。

表1 32 元阵列子阵划分及 LCMV 自适应权值

表2 128 元阵列子阵划分及 LCMV 自适应权值

为了验证算法有效性，仿真结果选自20次独立仿真实验中的一组。图4（a）和 4（b）分别为32元与128元阵列条件下的蚁群算法的适应度进化曲线，显示了多波束方向图的峰值旁瓣电平随迭代次数增多的变化关系。图5（a）和5（b）分别为32元与128元阵列条件下基于蚁群算法的子阵级LCMV自适应多波束形成阵列方向图，并将其与均匀子阵划分方式下的子阵级自适应多波束形成以及阵元级自适应多波束形成的阵列方向图进行对比。

图4 适应度进化曲线

图5 自适应多波束方向图

根据自适应多波束方向图可以看出，本文提出的方法在优化过程中充分利用了子阵划分的自由度，图4(a)显示32元阵列在10次迭代内达到收敛，使方向图峰值旁瓣电平降低到−17.626 4 dB，图4(b)显示128元的大型阵列中仅用不足50 次迭代使峰值旁瓣电平降低到−20.941 5 dB，缩短了阵列设计周期。经过蚁群算法优化的子阵级自适应波束方向图波束主副瓣性能良好，32元阵列方向图峰值旁瓣较阵元级自适应多波束形成降低了5.34 dB，较均匀划分子阵级自适应多波束形成降低了8.90 dB，128元的大型阵列中峰值旁瓣较阵元级自适应多波束形成降低了8.58 dB，较均匀划分子阵级自适应多波束形成降低了6.88 dB，同时，本算法形成的方向图无栅瓣出现且对整体旁瓣抑制更加有效，在干扰方向形成了显著低的零陷。

仿真结果证明本算法在大型阵列中能体现出更明显优势，形成的多波束方向图在保证波束性能的同时，相比阵元级自适应多波束形成，将数字通道数减少了93%，不仅降低了硬件成本，更降低了系统的复杂度，使得整个系统易于调试和控制。

4 结论

针对天线阵列的子阵划分问题，本文基于蚁群优化聚类算法的理论基础，提出子阵划分方案，利用子阵级加权自适应形成性能优良的多波束方向图。对于大型阵列，相比阵元级波束形成，能够在保证波束性能的同时，大大减少了数字通道数，降低天线阵列的系统的复杂度，节约硬件成本，使得整个系统易于调试和控制；相比均匀划分的子阵级多波束形成，对旁瓣抑制更加有效且无明显栅瓣。

本文所提出子阵划分方案与子阵级自适应加权之间的联系具有普适性，子阵聚类划分的思想可以扩展到其他天线阵列结构，对大型雷达阵列的排布设计具有一定的参考价值，对实践工程类问题具有一定的理论指导意义。